РОЗДІЛ 2
ВАРІАЦІЙНА ПОСТАНОВКА КРАЙОВИХ ЗАДАЧ НЕЛІНІЙНОЇ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
2.1. Постановка задачі. Балансові рівняння в актуальній конфігурації
Розглядається пружно деформівне ізотропне тверде тіло . У відліковій конфігурації тіло ненавантажене, однорідне та в евклідовому просторі займає область , обмежену поверхнею . Положення довільної точки у відліковій конфігурації характеризується радіус-вектором .
В часовому інтервалі тіло знаходиться під дією поверхневих та об'ємних сил. В актуальній конфігурації тіло займає область . Положення точки в довільний момент часу визначається радіус-вектором
де - вектор переміщення точки з відлікової конфігурації в актуальну.
При описі нелінійних пружних тіл за базові приймаємо балансові рівняння за підходом Лагранжа для адитивних параметрів (енергії, імпульсу та маси), які записані для довільно виділеної підсистеми тіла . Цій підсистемі в актуальній конфігурації відповідає область з поверхнею .
Рівняння балансу енергії з орієнтацією на актуальну конфігурацію для підсистеми має вигляд
. (2.1)
Тут - енергетична міра локального стану фізично малої підсистеми тіла в ізотермічних умовах пружного деформування;
- вектор швидкості;
і - об'єм фізично малої області і площа фізично малого елемента граничної поверхні відповідно;
, - характеристики поверхневого та об'ємного навантаження, які нормовані щодо метричних характеристик виділеної області в актуальній конфігурації.
Перетворимо ліву частину співвідношення (2.1):
Тоді рівняння (2.1) набуває вигляду
. (2.2)
Тут - тензор напружень Коші.
Після переходу у рівнянні (2.2) від поверхневого інтегралу до об'ємного за формулою Остроградського-Гауса, отримаємо
. (2.3)
Тут - оператор Гамільтона, який діє в актуальній конфігурації.
Оскільки співвідношення (2.3) справедливе для довільно вибраної області , то одержимо наступну локальну форму рівняння балансу енергії з орієнтацією на актуальну конфігурацію:
Тут використано наступне перетворення:
де - вектор силового імпульсу;
.
Рівняння балансу імпульсу, орієнтоване на актуальну конфігурацію, записується у наступному вигляді:
. (2.4)
Перетворимо ліву частину співвідношення (2.4):
З врахуванням цього, а також після переходу від поверхневого інтегралу до об'ємного, отримаємо рівняння балансу імпульсу в інтегральній формі:
. (2.5)
Рівняння (2.5) справедливе для довільної області , тому можна записати локальну форму рівняння балансу імпульсу:
. (2.6)
Рівняння балансу маси для вибраної підсистеми в актуальній конфігурації має наступний вигляд:
, (2.7)
де - маса фізично малого елемента .
Перетворимо цей вираз:
Тут - густина маси , нормована за об'ємом фізично малого елемента в актуальній конфігурації. Тоді, з врахуванням довільності області , отримаємо наступне рівняння:
Якщо , то , тобто
. (2.8)
Тут . Визначимо цю константу. При маємо:
, .
Тоді , а з врахуванням формули (2.8) отримаємо локальну форму рівняння балансу маси
. (2.9)
2.2. Інтегральна та локальна форми балансових рівнянь у відліковій конфігурації
Довільно виділеній підсистемі у відліковій конфігурації відповідає область з границею . Введемо наступні адитивні параметри стану фізично малої області , які є нормованими за геометричними параметрами , цієї області у відліковій конфігурації:
, , , . (2.10)
Тоді з рівняння балансу енергії (2.1) отримаємо
. (2.11)
Тут - одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні .
Після переходу у співвідношенні (2.11) від поверхневого інтегралу до об'ємного за формулою Остроградського-Гауса отримаємо:
. (2.12)
Тут - оператор Гамільтона, який діє у відліковій конфігурації.
З врахуванням у співвідношенні (2.12) довільності вибраної області отримаємо локальну форму рівняння балансу енергії з орієнтацією на відлікову конфігурацію:
. (2.13)
Тут - вектор силового імпульсу.
В рамках потенціального опису диференціальна 1-форма
(2.14)
для функції є повним диференціалом, тобто
, .
Використаємо співвідношення (2.10) і перейдемо у рівнянні балансу імпульсу (2.4) до адитивних характеристик, нормованих за параметрами відлікової конфігурації. Отримаємо:
. (2.15)
Тоді рівняння балансу імпульсу в інтегральній формі запишеться наступним чином:
. (2.16)
Локальна форма цього рівняння є такою:
. (2.17)
З рівняння балансу маси (2.7), з врахуванням (2.10), маємо
Тоді підінтегральна функція і рівняння балансу маси для підсистеми у відліковій конфігурації запишеться наступним чином:
З метою отримання рівняння руху перейдемо від функції до функції Лагранжа за перетворенням Лежандра:
. (2.18)
Диференціальна 1-форма для функції Лагранжа та визначальні співвідношення, з врахуванням (2.14), будуть:
(2.19)
; . (2.20)
На основі отриманих співвідношень (2.17), (2.19), (2.20) сформулюємо крайову задачу фізично нелінійної теорії пружності в циліндрі у локальній постановці:
в області , (2.21)
в області , (2.22)
, в області . (2.23)
2.3. Функціонал Гамільтона. Необхідні та достатні умови мінімуму
З метою варіаційного формулювання математичної моделі нелінійних деформівних пружних тіл за вихідний приймаємо повний енергетичний функціонал Гамільтона, який записаний за підходом Лагранжа для області тіла на проміжку часу :
. (2.24)
Тут - функція Гамільтона;
- заданий вектор переміщення в момент часу ;
.
Тут, як і раніше, всі адитивні параметри фізично малої області нормуються за геометричними параметрами , цієї області у відліковій конфігурації. Зокрема
, ; , .
Тут і - густини адитивних параметрів і ;
, - вектори поверхневих зусиль та масових сил в актуальній конфігурації;
, - геометричні параметри фізично малої області в актуальній конфіг