РОЗДІЛ 2
ЗАГАЛЬНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ ПРУЖНОГО ПРОСТОРУ
З СИСТЕМОЮ ВЗАЄМОНЕРУХОМИХ ТА РУХОМИХ
СТРІЧКОВИХ ВКЛЮЧЕНЬ
У рамках теорії пружності сформульовано нові задачі напружено-деформованого стану пружного тіла, що вміщує систему абсолютно жорстких тонких включень, зв'язаних в єдиний каркас, за умов поздовжнього зсуву. Побудова розв'язку крайових задач для рівняння Лапласа здійснюється методом сингулярних інтегральних рівнянь. Отримано інтегральні рівняння на контурах включень стосовно невідомих стрибків дотичного напруження з додатковими умовами єдиності розв'язку, які для зв'язаних включень полягають у відсутності чи заданні взаємного переміщення між ними та в забезпеченні глобальної рівноваги ансамблю. У випадку незв'язаних включень використовуються умови локальної рівноваги кожного з них.
Описана схема методу механічних квадратур, який використовується в роботі для побудови числових розв'язків.
2.1. Постановка задачі для системи довільно орієнтованих включень
Розглянемо пружний простір , армований системою довільно орієнтованих абсолютно жорстких стрічкових включень, з попереччями, розташованими на розімкнутих контурах , , що не перетинаються і утворюють в сукупності багатозв'язний контур (рис. 2.1). Механічний контакт з матрицею вважається ідеальним. Композиція перебуває в умовах поздовжнього зсуву здовж осі Oz, спричиненого наступними способами навантаження: а) однорідним полем напружень на безмежності , ; б) шляхом витягування стрічок погонними силами, прикладеними безпосередньо до контурів включень; в) заданим зміщенням включень між собою. Належить дослідити напружено-деформований стан такої композиції, коли включення зв'язані між собою в єдиний каркас, та порівняти отримані результати з класичним випадком незв'язаних стрічок.
Рис. 2.1. Безмежний масив з системою довільно розташованих криволінійних включень
За умов антиплоскої деформації тіла відмінними від нуля є лише напруження ?xz, ?yz та z-компонента вектора переміщення uz = w(x, y), яке задовільняє рівняння рівноваги
, . (2.1)
Тут і надалі - модуль зсуву матеріалу матриці, q(x, y) - інтенсивність об'ємних сил, - оператор Лапласа.
На включеннях виконуються крайові умови недеформівності
, , (2.2)
(t - дугова координата).
На безмежності напруження задані:
, , . (2.3)
Для взаємонерухомих включень треба зафіксувати їх переміщення між собою
, (2.4)
та виконати умову глобальної рівноваги ансамблю
. (2.5)
Тут - "центри" включень з координатами ; - задане переміщення k-го включення відносно першого; - стрибок дотичних напружень на контурі включення, - нормаль до контура ; - головний вектор погонних сил, прикладених до жорсткого каркаса.
Зрозуміло, що вибір включення, стосовно якого задаються переміщення інших стрічок, в умовах (2.4) є довільним.
У системі рухомих включень їхня свобода обмежується лише матеріалом матриці і повинні виконуватися умови локальної рівноваги кожного з включень [21, 129, 131, 147, 156]:
, (2.6)
де - задані значення головного вектора погонних сил, прикладених до k-го включення.
Таким чином сформульовано крайові задачі для двох типів систем: задача (2.1) - (2.5) для середовища з взаємонерухомими включеннями та, задля порівняння, задача (2.1) - (2.3), (2.6) для масиву з рухомими включеннями.
Відмінність цих задач полягає у додаткових умовах. За умов (2.4), (2.5) задаються взаємні переміщення ?k та глобальний вектор Z, а розподіл головних векторів по системі включень є шуканим. Натомість за умов (2.6) задаються вектори , а невідомими є взаємні переміщення включень.
Сформульована постановка задачі потребує додаткових пояснень, щодо фізичної інтерпретації досліджуваного об'єкта, у тому числі й стосовно термінології. Виникає питання, а яким чином реалізується в природі взаємна нерухомість включень, що фіксує їх в єдиному каркасі?
Термін взаємонерухомість включень, на наш погляд, найбільш точно відображає сутність сформульованої модельної задачі, проте не містить інформацію про природу носія зв'язку. Якщо ми хочемо пояснити, чому включення взаємно не переміщаються, то треба домовитися, що безмежним простором моделюється протяжний в напрямку z, але обмежений об'єкт, а носій зв'язку винесено за межі тіла (включення з'єднані на безмежності). Інший варіант - включення з'єднані в рідко розташованих по координаті z точках чи коротких відрізках, в околі цих з'єднань спостерігаються тривимірні відхилення від стану антиплоскої деформації, які не досліджуються.
У зв'язку зі сказаним у роботі поряд з прикметниками взаємонерухомі, рухомі, як синоніми часто вживаються слова зв'язані, незв'язані або з'єднані, нез'єднані.
2.2. Інтегральні рівняння задачі
Для розв'язання крайових задач (2.1) - (2.5) та (2.1) - (2.3), (2.6) використовуємо метод сингулярних інтегральних рівнянь [34, 117], який в задачах для тонких включень рівнозначний методу сил.
Включення моделюємо контурами, вздовж яких розподілені об'ємні сили, що діють по осі z. При переході через контур включення дотичні напруження терплять розрив на величину цих зосереджених сил. Розподіл стрибків по ширині кожного включення підбираємо так, щоб виконувалися умови недеформівності (2.2).
Нехай - фундаментальний розв'язок рівняння Лапласа, що відповідає дії зосередженої сили в початку координат (?(x, y) - функція Дірака). Запишемо інтегральне подання переміщення
. (2.7)
У формулі (2.7) - відома функція переміщень основного стану, другий доданок - збурення, викликане стрибками напружень на включеннях, .
Підставляючи вираз (2.7) в умови (2.2), розуміючи при цьому на Lk як півсуму граничних значень на верхньому та нижньому берегах контура, отримаємо систему сингулярних інтегральних рівнянь стосовно стрибків напружень
, . (2.8)
Тут ,
, .
Ядра сингулярні за Коші при i = k, s ? t.
Єдиний розв'язок системи з N сингулярних інтегральних рівнянь у клас