РОЗДІЛ 2
МЕТОД СИНГУЛЯРНИХ ЗБУРЕНЬ ПРИ
МОДЕЛЮВАННІ ПРУЖНО-ДИНАМІЧНОЇ ВЗАЄМОДІЇ
СЕРЕДОВИЩА З ТОНКИМ ВКЛЮЧЕННЯМ
У розділі наведено теоретичні основи дисертаційної роботи. Зроблено
математичну постановку динамічних і відповідних стаціонарних задач, що
розглядаються в роботі, та подано загальну схему методу зрощування
асимптотичних розкладів (методу ЗАР), за допомогою якого досліджуються ці
задачі. Отримано моделі динамічної взаємодії тонкого пружного включення з
матрицею при ідеальному контакті складових композиту.
Матеріали розділу викладені в працях [77, 99, 106, 107, 124–126, 131, 137,
141, 212, 230, 310, 311, 313, 314, 329].
2.1. Математична постановка динамічних задач теорії пружності для тіл з
тонкими неоднорідностями.
Нехай в однорідному пружному середовищі з модулями Ляме , і густиною
знаходиться тонкостінне пружне включення змінної товщини з відповідними
параметрами , , , що займає область (рис. 2.1)
; (2.1)
.
Тут розміщення точок в околі неоднорідності у тривимірному просторі подано в
триортогональній системі координат за допомогою рівності [51, 157], де –
декартові координати, – радіус-вектор серединної поверхні , обмеженої гладким
контуром , – нормаль до , – товщина включення, – достатньо гладка додатно
визначена функція, – характерний розмір поверхні , – малий додатно визначений
параметр, що характеризує малу відносно товщину включення.
Рис. 2.1
Переміщення в пружній системі задовольняють рівняння Ляме [51, 188]
,
, (2.2)
де та – зміщення у дифрагованому неоднорідністю полі та у включенні відповідно,
– час. Пружна система збурюється заданим навантаженням з розподілом зміщень ,
так що повне поле зміщень у матриці .
В роботі розглянуто три випадки умов механічного контакту дефекту з оточуючим
його середовищем. При ідеальному механічному контакті складових композиту
граничні умови на поверхні включення мають вигляд:
, (2.3)
де – компоненти тензорів напружень, що відповідають зміщенням і , – зовнішня
нормаль до поверхні включення.
Розглядалися також випадки, коли включення по частині поверхні (наприклад,
нижній частині ) односторонньо відшароване від матриці або односторонньо
жорстко підкріплене. Тоді відповідні граничні умови матимуть вигляд (на
поверхні виконуються співвідношення (2.3)):
, (2.4)
у випадку відшарування по , та
(2.5)
у випадку жорсткого підкріплення включення.
Для повної постановки задачі слід враховувати також нульові початкові умови
[188, 219, 273]
. (2.6)
Значення константи визначається нижче при розгляді конкретних задач.
В даній дисертації досліджуються, як правило, поля зміщень та напружень
поблизу країв тонких неоднорідностей, що важливо при оцінці міцності
композитів, а також вивчаються поля зміщень у зоні Фраунгофера [148, 273],
необхідні при розв’язанні відповідних обернених задач.
2.2. Стаціонарні задачі взаємодії включення та матриці.
Для розв’язання поставлених вище задач (2.2) – (2.6) скористаємося
інтегральним перетворенням Фур’є за безрозмірним часом :
, (2.7)
, ,
де - швидкість поширення поперечних хвиль у матриці. Тоді рівняння руху (2.2)
запишуться у вигляді
,
, (2.8)
де та – спектри зміщень та відповідно, та – хвильові числа поперечних хвиль в
матриці та у включенні, – швидкість поперечних хвиль у включенні.
Вигляд граничних умов на поверхні включення (2.3) – (2.5) залишається
незмінним; в них замість зміщень та компонент тензора напружень слід брати
відповідні їхні Фур’є-густини. Для повної постановки стаціонарних задач слід
врахувати умову випромінювання на безмежності (умову Купрадзе на безмежності)
[148]:
, (2.9)
де () – векторна комплекснозначна амплітуда (діаграма) розсіяння поздовжніх і
поперечних хвиль, – напрям спостереження розсіяння хвиль, – хвильове число
поздовжніх об’ємних хвиль зовнішнього середовища, асоційоване із швидкістю .
Умова (2.9) задовольняється у випадку тривимірних задач теорії пружності.
Аналогічні умови у двовимірних випадках будуть подані нижче, при розгляді
конкретних задач.
Зауважимо, що в процесі отримання моделей динамічної взаємодії тонкого
включення з оточуючим середовищем замість рівнянь руху Ламе (2.8) зручно
використовувати сукупність відповідних рівнянь руху Коші та співвідношення
закону Гука, які в декартовій системі координат подамо у вигляді [188]:
, ,
, , (2.10)
,
, , (2.11)
де – символ Кронекера.
У випадку неплоских включень будемо використовувати криволінійні координати,
зв’язані із серединною поверхнею неоднорідності , які визначимо наступним чином
[51, 157, 218]. Нехай поверхня у тривимірному просторі задається векторним
рівнянням
,
де – криволінійні ортогональні координати на , причому справедливі
співвідношення
, ,
, .
Тут –приріст, що отримує вектор при переході від одної точки до другої на
поверхні , – коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні , – скалярний
добуток двох векторів. Введемо одиничний вектор до ( – векторний добуток двох
векторів)
.
Для побудови моделей поведінки тонких неоднорідностей в пружному середовищі
зручно користуватися триортогональною системою координат, зв’язаною з
серединною поверхнею включення. У такій системі координат радіус–вектор точки
простору задається співвідношенням
(2.12)
Метричні співвідношення у цьому випадку матимуть вигляд:
, ,
, ,
, (2.13)
де –приріст, що отримує вектор при переході від одної точки до другої у
введеному просторі, – коефіцієнти Ламе, – головні радіуси кривини поверхні .
Корисними у подальшому будуть також співвідношення [51]
. (2.14)
Слід відмітити, що криволінійна система координат
- Київ+380960830922