РОЗДІЛ 2
РОЗПОДІЛ ТЕМПЕРАТУРИ В БАГАТОЗВ'ЯЗНІЙ
НАПІВНЕСКІНЧЕННІЙ ОБЛАСТІ
У даному розділі наводиться опис методики розв'язання задач стаціонарної і нестаціонарної теплопровідності для напівнескінченних багатозв'язних тіл. Наведені приклади розв'язання задач і проведений аналіз отриманих результатів, а також визначені межі застосування зазначеної методики для даного класу задач.
2.1. Опис чисельно-аналітичного алгоритму розв'язання стаціонарної задачі теплопровідності в багатозв'язному напівнескінченному тілі
Як відомо [27], процес розподілу температури в області описується рівнянням Лапласа
(2.1)
Рис. 2.1. Крайова задача стаціонарної теплопровідності
з крайовими умовами типу Діріхлє на ділянці Г1 межі () або типу Неймана на ділянці Г2 межі (), де - зовнішня одинична нормаль до контуру Г, та - задані значення функції та її похідної по нормалі на межі Г=Г1+Г2 (рис. 2.1).
Нижче будуть розглянуті чисельні схеми, що використовують аналітичний апарат функцій Гріна і метод крайових рівнянь та будуть наведені основні процедури для їхньої чисельної реалізації стосовно до двовимірних та тривимірних задач.
2.1.1. Метод функцій Гріна в розв'язанні задач теплопровідності для півпростору
Як відомо [27], розв'язок задачі теплопровідності можна знайти за допомогою методу функцій Гріна. При цьому, якщо для даної області функція Гріна відома, тоді й існує аналітичний розв'язок задачі в цій області. Цим метод функцій Гріна дуже привабливий, однак, функція Гріна в аналітичному виді знайдена тільки для обмеженого класу геометричних тел. Наприклад, для півпростору, чверті простору, для кулі, півкулі, чверті кулі і т.д.
При цьому розв'язок задач теплопровідності для півпростору (півплощини) можна одержати, використовуючи метод функцій Гріна, якщо на границі півпростору (півплощини) задана функція температури, але не похідна від неї, що обумовлено теоремою про існування та єдиність функції Гріна для даної задачі. Тобто, тільки для такого класу задач існують аналітичні розв'язки задачі теплопровідності в будь-якій точці напівнескінченної області.
Для задачі теплопровідності розв'язок для півпростору (півплощини) має такий вигляд:
, (2.2)
де ,
функція -температура, що задана на межі.
У залежності від розмірності простору, інтеграл по Г буде або криволінійним, або поверхневим.
- функція Гріна для заданої області:
при n=3:
де () - координати точки , () - координати точки півпростору, в якій визначається температура.
при n=2:
,
де () - координати точки , () - координати точки півплощини, в якій визначається температура.
2.1.2. Загальна схема методу крайових елементів розв'язання задач стаціонарної теплопровідності
Інтегральне рівняння для розв'язання стаціонарних задач теплопровідності має такий вигляд [16]:
(2.3)
де для гладких областей;
або - фундаментальні розв'язки рівняння Лапласа для площини та простору відповідно;
- похідна по нормалі від фундаментального розв'язку;
та - задані та невідомі крайові умови.
Це рівняння забезпечує функціональний зв'язок між функціями u та q на границі Г. Якщо потрібно знайти розв'язок задачі Неймана, то відомою буде права частина рівняння (2.3), і тоді потрібно розв'язати рівняння Фредгольма другого роду щодо невідомих значень функції u на межі. Якщо потрібно розв'язати задачу Діріхлє, то заданими будуть значення функції на межі, в результаті одержуємо рівняння Фредгольма першого роду для невідомих значень похідних q по нормалі на межі. Розв'язання крайових задач Коші приводить до змішаного інтегрального рівняння щодо значень невідомих функцій на межі. Замість того, щоб намагатися одержати аналітичне рішення інтегрального рівняння для часткового виду геометрії і крайових умов, виконують необхідне зведення вихідного рівняння до алгебраїчної системи рівнянь, для того, щоб можна було скористатися чисельним підходом. Цей підхід, як правило, складається з наступних етапів [16]:
1. Межа Г розбивається на ряд елементів, усередині яких передбачається, що потенціал та його похідна по нормалі змінюються відповідно до обраних інтерполюючих функцій. Ці елементи можна утворити за допомогою прямих ліній, кругових дуг, парабол і т.п.
2. Використовується метод колокацій, відповідно до якого для окремих вузлових точок, розподілених усередині кожного елемента, записується дискретна форма інтегрального рівняння, що пов'язує значення потенціалу та його похідних по нормалі у кожному вузлі.
3. Інтеграли по кожному елементу обчислюються за допомогою однієї зі схем чисельного інтегрування.
4. Шляхом накладення заданих крайових умов виходить система лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв'язок цієї системи рівнянь, який може бути знайдений за допомогою прямого або ітераційного методів, дає інші значення невідомої функції на межі.
2.1.3. Алгоритмічна схема розв'язання стаціонарних задач теплопровідності в багатозв'язному напівнескінченному тілі
Розглянемо процес розподілу температури в багатозв'язній напівнескінченній області під дією теплового потоку та температури, заданих на межі даної області.
Математично процес описується так (рис. 2.2). Знайти розв'язок змішаної задачі теплопровідності (2.1) при заданих крайових умовах.
Рис. 2.2. Багатозв'язна напівнескінченна область з отвором
Крайові умови:
, , , (2.4)
де на Г4 - може бути задано одне з трьох видів крайових умов.
В подальшому, не порушуючи спільності, викладення наведені для випадку, коли усередині напівнескінченного тіла задана одна область.
Рис. 2.3. Багатозв'язна напівнескінченна область з обмежуючим контуром
Обмежимо контуром Г5 напівнескінченне тіло (рис. 2.3). Для одержаної обмеженої області записуємо інтегральне рівняння (2.3) з урахува