РОЗДІЛ 2
ДРУГІ ГАРМОНІКИ НОРМАЛЬНИХ SH-ХВИЛЬ ВЗДОВЖ
НАПРЯМКІВ ПРУЖНОЇ СИМЕТРІЇ АНІЗОТРОПНОГО ШАРУ
КУБІЧНОЇ СИСТЕМИ
2.1. Дисперсійні спектри перших лінійних гармонік досліджуваних хвиль
За обраною концепцією визначення нелінійних ангармонічних ефектів при
розповсюдженні вільних нормальних хвиль в анізотропному кристалічному шарі
тривимірної геометричної будови передбачає попередній аналіз хвилеводних
властивостей шару у першому наближенні, тобто у лінійній постановці.
Таким чином, по-перше, використовуються результати розв’язання задачі про
розповсюдження лінійних нормальних пружних хвиль вздовж одного з
пружноеквівалентних напрямків в анізотропному шарі кубічної системи, за який
без обмеження повноти у даній роботі обирається координатний напрямок .
Безрозмірні нормовані компоненти вектору пружних зміщень у гармонічних
нормальних хвилях з круговою частотою та хвилевим числом вздовж даного напрямку
обираються в комплексній експоненціальній формі
(2.1)
де – комплексні амплітудні хвилеві функції.
Хвилеві функції (2.1) мають задовольняти динамічним рівнянням (1.27), а також
граничним умовам, сформульованим на плоских граничних площинах шару (1.28).
Результатом підстановки представлень (2.1) в динамічні рівняння в зміщеннях
(1.27) є система звичайних диференційних рівнянь другого порядку відносно
амплітудних функцій
(2.2)
яка розпадається на підсистему диференційних рівнянь другого порядку відносно
амплітудних функцій ,
(2.3)
і окреме диференційне рівняння відносно
(2.4)
У співвідношеннях (2.2) є елементами матриці Кристоффеля:
; ; ;
; ,
(2.5)
а є безрозмірним частотним параметром.
Система (2.3) описує розповсюдження вздовж напрямку пружної симетрії шару
нормальних P-SV-хвиль (узагальнених хвиль Релея-Лемба), а окреме рівняння (2.4)
– розповсюдження нормальних зсувних хвиль SH-типу, які є предметом розгляду у
даному розділі.
Загальний розв’язок рівняння (2.4) має вигляд
(2.6)
де є довільними сталими.
Розв’язок (2.6) є лінійною комбінацією доданків, що виражаються через , ,
тобто функція пружних хвилевих переміщень у SH-хвилях є довільною лінійною
комбінацією функцій переміщень у так званих симетричних та антисиметричних
хвилях [42, 43]. Для досліджуваного у подальшому випадку симетричних SH-хвиль в
монокристалічному шарі товщиною з вільними від механічних напружень плоскими
гранями маємо , і амплітудна хвилева функція має задовольняти крайовим умовам
(2.7)
Таким чином, комплексні функції напруженості монохроматичних лінійних
нормальних симетричних SH-хвиль моди вздовж напрямку розповсюдження мають
вигляд
;
; ,
(2.8)
де є довільною константою – амплітудною характеристикою, з точністю до якої
задаються функції напруженості лінійних хвиль.
Формула зв’язку
(2.9)
є дисперсійним співвідношенням, яке визначає залежності між параметрами та у
моді досліджуваного типу хвиль.
2.2. Другі гармоніки монохроматичних нормальних хвиль зсувного типу та їх
властивості
Задача про нелінійні ангармонічні ефекти має декілька різноманітних аспектів
при початковому формулюванні [2, 3, 16, 18, 26, 29, 46, 78]. Зокрема, у
припущенні про те, що досліджуються нелінійні ефекти, які супроводжують
розповсюдження окремої лінійної нормальної хвилі фіксованої частоти з певної
моди спектру, тобто монохроматичної нормальної хвилі, формулюється задача про
визначення других гармонік монохроматичних нормальних хвиль. Альтернативною є
постановка задачі про з’ясування нелінійних ангармонічних ефектів при
одночасному розповсюдженні у шарі декількох (двох або більшого числа) лінійних
нормальних хвиль, які мають відмінні частоти або відмінні довжини (відмінні
хвилеві числа) і можуть належати різним модам лінійного спектра. Подальші
дослідження у цьому підрозділі роботи орієнтовано саме на розв’язання задачі
про другі гармоніки монохроматичних нормальних симетричних SH-хвиль лінійного
спектру.
Згідно з підрозділом 1.2, комплексні амплітудні функції напруженості других
гармонік нормальних SH-хвиль визначаються з неоднорідної крайової задачі
вигляду (1.29)-(1.30)
(2.10)
(2.11)
Задача (2.10)-(2.11) з визначення нелінійних ангармонічних збурень для
симетричної лінійної нормальної монохроматичної SH-хвилі з врахуванням
представлень (2.8) набуває вигляду
(2.12)
(2.13)
У співвідношеннях (2.12), (2.13) введені позначення
(2.14)
де, в свою чергу,
(2.15)
Якісний аналіз задачі (2.12) (визначення структури частинних розв’язків
неоднорідної крайової задачі) показує, що другими гармоніками, які
супроводжують розповсюдження симетричних нормальних SH-хвиль, є тільки
симетричні хвилі P-SV-типу з подвоєною частотою. Компонента , як і в раніше
розглядуваних випадках пошуку нелінійних збурень для об’ємних хвиль зсуву [29,
30, 82], в даному випадку дорівнює нулю. Повний розв’язок неоднорідної системи
рівнянь (2.12) складається з суми загального розв’язку відповідної однорідної
системи та її часткового розв’язку , що відповідає правій частині конкретного
вигляду:
(2.12)
Частковий розв’язок неоднорідної системи рівнянь (2.12), одержаний з
використанням алгоритму аналітичних перетворень, розробленому у середовищі
спеціалізованих математичних комп’ютерних пакетів, має структуру
(2.17)
Константи у співвідношеннях (2.17) визначаються як розв’язки систем лінійних
алгебраїчних рівнянь і мають вигляд
(2.18)
Якщо зроблено припущення, що визначена друга гармоніка, яка є хвилею P-SV-типу
зі сполученням частоти