РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ ВОДОПРОВІДНОЇ МЕРЕЖІ
ЯК ІМОВІРНІСНИХ ВЕЛИЧИН
2.1. Використання детерміністичних залежностей, інтервалів довіри та квантилів
У даний час проектування об'єктів гідромеліоративних систем базується на детерміністичних залежностях. Значна частина цих залежностей досить успішно використовується у практиці. При цьому визначальний параметр У, який характеризує працездатність системи часто є функцією кількох аргументів Xi , тобто маємо функцію [48, 58, 60, 61, 66]
У = F ( X1 , X2 , ...,Xn ) .(2.1) Нерідко природа аргументів X1,X2,...,Xn така, що вони є не детерміністичними, а випадковими величинами. У цьому разі значення функції також є випадковими величинами, які мають відповідну ймовірність.
Очевидно, що отримання визначального параметра У з певною ймовірністю дає відповідну гарантію не перевищення, тоді як детерміністичні параметри та методи їх розрахунків такої гарантії не дають.
Якщо детерміністичні залежності побудовані на базі достатньої кількості дослідних даних, то значення функції при відповідних значеннях аргументів буде дорівнювати математичному сподіванню
.(2.2) Аналітичні детерміністичні залежності можна використати для оцінок середніх квадратичних відхилень функції.
У переважній більшості випадків функція (2.1) нелінійна. Проте у вузькому діапазоні зміни своїх аргументів нелінійні функції можна наближено замінити лінійними. Для цього використовують метод ліанеризації функції [6].
При визначенні дисперсії та середнього квадратичного відхилення функції (2.1) у теорії ймовірностей функцію (2.1) ліанеризують в околиці точки , тобто в околиці значення функції, яке вона набуває при математичних сподіваннях її аргументів.
У цьому разі значення дисперсії та середнього квадратичного відхилення функції визначається за формулами :
,(2.3) ,(2.4)де ki j - кореляційні моменти аргументів Xi , Xj ;
DX i - дисперсії аргументів X1 , X2 ,..., Xn ;
ri j - коефіцієнт кореляції величин Xi , Xj .
Якщо величини не корельовані, то дисперсія і середнє квадратичне відхилення функції дорівнюють :
,(2.5) .(2.6) Частинні похідні у залежностях (2.3), (2.4) з індексом m означають, що їх значення обчислюють при xi = mi . Вирази для визначення частинних похідних отримують диференціюванням аналітичної детерміністичної залежності для функції (2.2).
Для оцінки достовірності (надійності) значень функції потрібно мати не лише її числові характеристики (математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення), але і закон розподілу функції.
У багатьох випадках на значення аргументів впливає значна кількість факторів внаслідок чого розподіл аргументів близький до нормального. Тому і функція має нормальний розподіл з параметрами mУ , ?У , які визначаються за формулами (2.2), (2.3) - (2.6) [6,58].
У цьому разі для визначення функції із заданою ймовірністю можна використати поняття квантиля або довірчі інтервали [58]
P ( У < Уp ) = PU ,(2.7)IУ, ? = ( mУ - t? ?У ; mУ + t? ?У) ,(2.8)де У - таке значення випадкової величини У, для якої умова У < Уp виконується з імовірністю PU, t? = f ( ? );
? - імовірність довіри, з якою випадкова величина У накривається інтервалом (2.8).
Для нормального розподілу функції У одержимо
,(2.9)де UP - квантиль імовірності PU, який дорівнює кількості середніх квадратичних відхилень ?У випадкової величини У, які потрібно відкласти вправо від її середнього значення .
У практичних розрахунках для визначення оцінок можна використати дослідні дані, відповідні аналітичні залежності або поле нормативних допусків [47,48,58]. Наприклад, якщо
,(2.10)то згідно з правилом "трьох сигм" наближено отримаємо
.(2.11) Використовуючи допустимий або бажаний рівень надійності споруди можна визначити величину визначального (головного) параметра споруди. Наприклад, для рівнів надійності P=PU =0,95 і P=PU =0,99 відповідно маємо UP =1,645 і UP =2,326. Тоді отримуємо:
,(2.12) Імовірність того, що споруда з визначальним параметром не виконує своїх функцій дорівнює [58]
,(2.13)? - імовірність довіри, з якою визначальний параметр У накривається інтервалом (2.8).
2.2. Використання залежностей теорії викидів випадкових функцій
При розрахунку параметричної працездатності об'єктів гідромеліорації можна використати теорію викидів випадкових функцій [48, 58, 97]. Згідно теорії викидів, викидом випадкової функції У(х) за даний рівень а називається перетин знизу вверх графіком цієї функції горизонтальної прямої, яка розташована від осі часу на віддалі а (рис. 2.1.).
Рис. 2.1. Схема викидів випадкової функції У(x)
Середнє число викидів за рівень а за час T визначається за формулою
,(2.14)де u - швидкість зміни ординати випадкової функції f(x);
a - рівень.
Середній час перебування функції вище заданого рівня протягом часу T становить
.(2.15) Середня тривалість одного викиду
.(2.16) Середнє число викидів за одиницю часу за рівень а
.(2.17) Якщо рівень а дорівнює середній величині випадкового процесу за час T, то такий рівень називають нульовим.
Середнє число викидів за нульовий рівень за одиницю часу становить
.(2.18) Для процесів з нормальним розподілом випадкових величин за допомогою залежностей (2.14) - (2.18) отримані залежності, які використовуються при розрахунках параметричної надійності гідромеліоративних споруд [47, 48, 58].
Для нормального закону щільність розподілу визначається за залежністю
.(2.19) Швидкість зміни ординати випадкової функції для одних і тих самих моментів часу при нормальному законі є некорельовані незалежні випадкові величини. Тому двовимірна щільність розподілу імовірності f (x,u) розпадається на добуток нормальних щільностей розподілу величин X , U :
,(2.20)де дисперсія швидкості зміни ординати випадкової функції ?u2 дорівнює значенню кореляційної функції швидкості в нулі, тобто
,(2.21)а математичне сподівання M(U)=0.
Підставивши