РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ.
2.1. Аналіз рівнянь руху рідини в рівномірно перфорованих розподільчих трубопроводах.
В даному розділі розглядається усталений рух рідини з розподіленням витрати за довжиною напірного каналу. Схема його роботи приведена на рис. 2.1.
Як було показано в розділі 1, при постійній формі і площі поперечного перерізу каналу рух рідини з від'єднанням витрати вздовж шляху звичайно описують рівняння (1.2), яке представлене І.М. Коноваловим, у вигляді (2.1)
, (2.1)
де .
Виразив середню швидкість через витрату і площу перерізу , тобто , а також записав втрати напору за довжиною на елементарній ділянці за формулою Дарсі, з (2.1) отримаємо [143]
. (2.2)
тут - коефіцієнт, що характеризує вплив змінюваної витрати на величину питомої кінетичної енергії потоку; - гідравлічний коефіцієнт тертя розподільчого трубопроводу.
Рівняння (2.2) містить три змінні величини: п'єзометричній напір , довжину і витрату . Для полегшення аналізу рівняння (2.2) вважаємо і постійними за довжиною.
Для повноти описання процесу останнє рівняння повинне бути доповнене другою залежністю - рівнянням нерозривності, його ще називають рівнянням балансу витрат. Якщо розглядати горизонтальний трубопровід з рядом однакових отворів, розташованих на рівних відстанях між собою, то воно представляє з себе рівняння витікання крізь малий отвір [1, 58]
, (2.3)
де - площа отворів на одиницю довжини труби; - коефіцієнт витрати отворів перфорації.
Таким чином, для описання розглядуваного руху, як вихідну будемо використовувати систему диференційних рівнянь (2.2), (2.3). При цьому коефіцієнти , , вважаються постійними за довжиною каналу.
Для зручності і полегшення узагальнення отриманих результатів використаємо нові безрозмірні змінні у вигляді
, , , (2.4)
де - початкова витрата.
З урахуванням цього система рівнянь (2.2) і (2.3) прийме вигляд
(2.5)
. (2.6)
Підставивши рівняння (2.6) в рівняння (2.5) і провівши необхідні спрощення, а також використав заміну , отримаємо одне нелінійне диференційне рівняння другого порядку, яке будемо використовувати при подальшому аналізі
, (2.7)
де , ;
тут - скважність трубопроводу; - коефіцієнт опору розподільника.
Як відомо другий член цього рівняння враховує втрати напору, що пов'язані з ефектом взаємодії основного і відділяючогося потоків. Третій - враховує втрати напору на гідравлічне тертя за довжиною трубопроводу. Відповідно, другий член має визначальний вплив у відносно коротких трубах, а третій - у відносно довгих.
Рис. 2.1 Схема роботи розподільчого трубопроводу.
Аналіз дослідних даних [44, 72] показує, що до коротких відносяться трубопроводи довжиною з коефіцієнтом опору , у яких п'єзометрична лінія постійно підвищується за довжиною розподільника (втрати напору на від'єднання і за довжиною одного порядку рис. 2.1 криві 1). У труб більшої довжини (рис. 2.1 криві 2) п'єзометрична лінія спочатку знижується, має точку перегину, а потім підвищується. У довгих труб втратами на від'єднання, можна знехтувати. При цьому п'єзометрична лінія постійно знижується від початкового до кінцевого перерізу. В залежності від довжини трубопроводу, максимальне значення діючого напору може бути, або в його кінці (на рис. 2.1 криві 1, 2), або на початку (крива 3). Мінімальне значення діючого напору відповідно буде на початку труби, в точці перегину п'єзометричної лінії, або в кінцевому перерізі розподільника.
Очевидно, що описати однією залежністю характер зміни п'єзометричної лінії для всіх випадків досить складно. Тому, з нашої точки зору, для розрахунку розподільчих трубопроводів довільної довжини доцільно використовувати різні залежності.
Розглянемо спочатку відносно короткі розподільники, де втратами напору на гідравлічне тертя можна знехтувати. В цьому випадку рівняння (2.7) має вигляд
, (2.8)
або . (2.9)
Рівняння (2.9) є лінійним диференційним рівнянням другого порядку, рішення якого у відповідності з [62], може бути представлено у вигляді
. (2.10)
Визначимо постійні інтегрування і , виходячи з граничних умов;
при ; при , тоді =0, і =.
В результаті отримаємо відношення, яке виражає залежність зміни витрати за довжиною дірчастого розподільника
. (2.11)
Враховуючи, що , можна записати
Продиференціювавши останній вираз і, врахувавши (2.6), отримаємо залежність для описання характеру зміни відносного напору за довжиною даного трубопроводу
. (2.12)
При використанні формул (2.11), (2.12) слід витримувати обмеження .
Відносна витрата і відносний напір в довільному перерізі короткого розподільника, при нехтуванні впливом на його роботу втратами на гідравлічне тертя, може бути знайдена за формулами (2.11), (2.12). У випадку ж, коли таким впливом знехтувати не можна (так звані гранично короткі труби), розв'язок рівняння (2.7) будемо шукати у такому вигляді
. (2.13)
Тоді зміна відносного напору, з урахуванням (2.6) визначається за залежністю
. (2.14)
Відносний напір в кінцевому перерізі розподільчого трубопроводу, буде
. (2.15)
На початку ж трубопроводу матимемо . (2.16)
Значення коефіцієнта , який входить до складу залежностей (2.13 - 2.16), слід знаходити з трансцендентного кубічного рівняння, яке отримане після підстановки (2.13) в (2.7), а саме
. (2.17)
Для полегшення вирішення трансцендентного рівняння, розкладемо в ряд [62]; . Так як практично завжди , тому можна знехтувати частиною ряду і . Отримуємо кубічне рівняння (2.17) в такому вигляді
. (2.18)
Дискримінант .
При ; тобто , маємо 1 дійсний і 2 уявних розв'язки: ; ; - не має фізичного змісту.
При ; тобто , маємо: при ; при , тобто .
При ; тобто , маємо 1 дійсн