РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ГЛАДКИХ
МЕТОДОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В этом разделе рассматриваются два линейных метода восстановления функций одной переменной, основанные на бинарном пополнении данных в промежуточных точках с одновременным сглаживанием данных в исходных точках. Вычисляются гарантированные оценки отклонения полигонов или сплайнов а также их производных, построенных на основе данных, полученных после -го шага пополнения, от предельных функций методов и их соответствующих производных. Исследуются свойства базисных функций методов и доказывается существование их второй производной. Для одного из методов приводится доказательство того факта, что два различных предельных перехода (когда, сначала, переход производится по итерациям, а затем по шагу и наоборот) приводят к равным главным членам асимптотики погрешности приближения.
2.1. Метод восстановления функций, основанный на бинарном пополнении и сглаживании данных
2.1.1. Постановка задачи и построение метода. В работах Лигуна А.А., Шумейко А.А. [1] и Де Марчи С., Лигуна А.А., Тимченко С.В., Шумейко А.А. [2] был рассмотрен метод восстановления функций, основанный на формуле бинарного пополнения данных Дубука четвертого порядка точности
. (2.1)
Пусть - значения функции в равноотстоящих точках , . Тогда метод восстановления в бинарных точках будет определяться рекуррентными соотношениями:
, ,
,
,
.
В работе [2] установлено, что если - точки вида и - значения функции f в точках , то имеет место следующее утверждение.
Теорема 2.1. Пусть и . Тогда, равномерно по , выполняется соотношение
где
и .
Здесь - непрерывная на отрезке функция, определенная в точках вида рекуррентным соотношением
. (2.2)
В этой же работе, опираясь на соотношение (2.2), вычислены -нормы функции .
В работе [1] метод, основанный на формуле пополнения данных (2.1), рассмотрен с несколько иной точки зрения. Вначале доказывалось, что если - интерполяционный сплайн первого порядка, принимающий значения в узлах , то предел
существует (в этой же работе указана скорость сходимости при последовательности ломаных к предельной функции ). Из этого факта следует, что если - произвольная функция, принимающая значение 1 в точке и значение 0 в точках вида , то функция определяется однозначно, и метод восстановления представим в сумматорном виде
В этой же работе доказана справедливость следующего утверждения.
Теорема 2.2. Пусть , тогда для равномерно по и по выполняется соотношение
где
Оказалось, что функции и существенно отличаются друг от друга.
В этом подразделе будет рассмотрен метод, в основу которого положено одновременное пополнение данных в промежуточных точках и сглаживание их в исходных точках . Мы получим результаты, аналогичные теоремам 2.1 и 2.2, из которых, в частности, будет следовать, что функции и для рассматриваемого в этом подразделе метода совпадают.
Пусть - базисная функция для рассматриваемого нами метода. Для фиксированного определим формальные производные функции следующим образом:
Тогда о поведении функции , а также ее первой, второй и третьей формальных производных можно судить по рис. 2.1 - 2.4 соответственно:
Рис. 2.1
Как видно из рисунков, рассматриваемый метод обладает тем свойством, что его базисная функция , а, следовательно, и сам метод имеет большую гладкость, чем традиционные методы, построенные на основе пополнения, которые исследовались в работах [1] - [3]. Доказательство этого факта приводится в пункте 2.1.6.
Перейдем к рассмотрению метода. Пусть и - равномерное разбиение действительной оси с шагом h. Значения функции в точках обозначим через .
Приближенное значение функции f в точках будем искать в виде линейной комбинации ближайших к ней значений . Не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что коэффициенты линейной комбинации при значениях и одинаковы. Таким образом,
. (2.3)
Аналогично, будем искать новые значение функции f в точках . Здесь коэффициенты линейной комбинации будем считать одинаковыми при значениях и
. (2.4)
Мы ограничимся рассмотрением случая, когда и .
Коэффициенты и можно находить исходя из различных требований: из условия точности равенств (2.3) и (2.4) на тестовых функциях (в качестве тестовых функций можно выбрать, например, алгебраические многочлены ); из условия наивысшей алгебраической точности и так далее. В нашем случае, коэффициенты и будем выбирать из следующих соображений:
во-первых, потребуем, чтобы для любой функции , при , выполнялись условия
, ;
во-вторых, если эти условия выполняются и
то потребуем выполнения условия .
Первое требование приводит к уравнениям:
а второе - к уравнению
В результате приходим к системе алгебраических уравнений
Решением этой системы будут числа
Таким образом, формулы бинарного пополнения (2.3), (2.4) примут вид:
,
(2.5)
,
(2.6)
где
- вторая центральная разность;
- четвертая центральная разность.
Как хорошо известно, (см. [4]), при любом оператор является оператором сглаживания. Так что формулы (2.5) и (2.6), наряду с прогнозом в точках , сглаживают данные в точках .
Итак, алгоритм пополнения значений функции в бинарных точках построим следующим образом. Пусть . Вычислим значения и по формулам:
, (2.7)
(2.8)
и положим, что первый шаг рекурсии имеет вид:
, ,
, .
Таким образом, мы получим значения функции в точках . Полученный набор будем использовать в качестве исходного. Повторяем процедуру пополнения данных, что приводит к рекуррентным соотношениям:
;
(2.9)
. (2.10)
Для каждого фиксированного строим ломаную , принимающую знач