РАЗДЕЛ 2
МОНИТОРИНГ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ КАК ЗАДАЧА ДИНАМИКИ НАСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
2.1. Постановка задачи мониторинга температурного состояния и температурных напряжений, как задачи динамики систем с распределёнными параметрами
2.1.1. Динамика нестационарных тепловых систем с распределёнными параметрами
Нахождение температурного и напряжённо-деформированного состояния технических объектов относится к краевым задачам теории сплошных сред, основным математическим аппаратом которых являются дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Для описания задач математической физики, в инженерной практике широкое распространение получили методы теории автоматического управления системами с распределёнными параметрами, позволяющие записать решение в замкнутом виде. Эти методы описывают соотношения между входными и выходными сигналами (входными воздействиями и выходными параметрами) системы с помощью интегральных операторов, ядра которых однозначно описывают передающие свойства среды. Входные и выходные сигналы системы в общем случае рассматриваются как распределённые в пространстве и времени. Входными параметрами для этих систем являются краевые условия задачи, выходными - искомые величины (температуры, напряжения, потенциалы и др.). Нелинейные задачи описываются с помощью нелинейных интегральных операторов. Ядра интегральных операторов представляют собой статические и динамические характеристики системы. Количество используемых в решении задачи статических и динамических характеристик системы определяет размерность задачи и, следовательно, общую вычислительную трудоёмкость её численного решения.
Использование методов теории управления для решения задач мониторинга ТС и термонапряжений позволяет построить расчётно-аналитическое решение задачи в одной или нескольких точках (областях) детали не находя всё поле температур и напряжений, что существенно уменьшает размерность задачи по сравнению с сеточными методами. Входными воздействиями системы являются тепловые и механические нагружающие факторы, а выходными -температура или компоненты тензора напряжений (деформаций) в критической точке. Статическими и динамическими характеристиками системы являются: коэффициенты чувствительности - для стационарных и квазистационарных задач и функции чувствительности для нестационарных задач. Характеристики системы могут быть найдены в результате численного или физического эксперимента.
Для уменьшения вычислительной трудоёмкости численного решения задачи и трудозатрат на создание модели мониторинга необходимо по возможности уменьшить количество используемых статических и динамических характеристик системы. Чтобы поведение рассматриваемой системы с распределёнными параметрами могло быть описано конечным числом статических и динамических характеристик, необходимо: 1) чтобы рассматриваемая система бала линейной и стационарной, 2) условия нагружения описывались конечным набором параметров нагружения - вектором управляющих воздействий. Размерность вектора управляющих воздействий задачи зависит от требуемой точности численного решения и количества параметров, описывающих все факторы теплового и механического нагружения.
Нелинейность и нестационарность тепловых и термоупругих систем обусловлена зависимостью физических (плотность, коэффициент линейного расширения), упругих (модули упругости первого и второго родов) и теплофизических (коэффициент теплопроводности, удельная теплоёмкость) характеристик материала от температуры. Вследствие малых деформаций в деталях обычно не учитывают нелинейности вызываемые изменениями формы и размеров тела. Применения методов теории управления требует обеспечения внутренней линейности задачи. Это связано с тем, что в нелинейных тепловых системах статические и динамические характеристики зависят не только от величин соответствующих входного и выходного сигналов, но и от всего температурного поля в объекте, которое, в свою очередь зависит и от других входных сигналов системы. Точный учёт этой зависимости в функциональном виде практически не является возможным. Внешние нелинейности тепловых систем, связанные с зависимостью входных сигналов системы от температуры могут быть учтены введением в рассмотрение нелинейных интегральных операторов (операторов Урысона или Гаммерштейна).
Таким образом, методы теории автоматического управления системами с распределёнными параметрами могут быть применены только к внутренне линейным тепловым системам, что требует линеаризации исходной нелинейной системы. Если линеаризация исходной нелинейной тепловой системы не приводит к существенным погрешностям вычисления температур, то описание нелинейной системы может быть заменено описанием линеаризованной системы. В противном случае, применение методов теории автоматического управления системами с распределёнными параметрами без учёта зависимости статических и динамических характеристик от температуры не приемлемо.
Все нагружающие факторы системы (тепловые и механические) являются распределёнными сигналами и зависят и от пространственной координаты и от времени . Для того чтобы условия нагружения описывались конечным набором параметров нагружения (вектором управляющих воздействий), необходимо чтобы изменение каждого нагружающего фактора с течением времени однозначно описывалось изменением его интенсивности (мощности). Другими словами, это условие равносильно следующему требованию: каждый из распределённых в пространстве и во времени сигналов функционально мог быть представлен в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от пространственной координаты , а другая - от времени .
Таким образом, чтобы использовать методы теории управления для построения моделей мониторинга ТС и термонапряжений, исходные задачи теплопроводности и термоупругости должны быть определённым образом подготовлены. Должна быть решены три задачи 1) выполнена внутренняя линеаризация системы; 2) все тепловые нагрузки описаны вектором у