РОЗДІЛ 2
НОРМАЛЬНЕ ОБТІКАННЯ ТОНКОЇ ПРЯМОКУТНОЇ ПЛАСТИНКИ
2.1. Загальна система рівнянь однорідної нестисливої в'язкої рідини
Перш ніж переходити до безпосереднього розгляду граничної задачі, наведемо необхідні для подальших досліджень відомі гідромеханічні співвідношення, вивід яких можна знайти в багатьох курсах з механіки рідини та газу [25], [31], [32], [35], [36].
Для потоку ньютонівської однорідної нестисливої в'язкої рідини співвідношення - є рівнянням стану суцільного середовища, де - густина рідини. При умові ізотермічності руху коефіцієнт кінематичної в'язкості є величиною постійною. Тоді в інерційній декартовій системі координат рівняння Нав'є - Стокса в ейлеревих змінних (при відсутності зовнішніх сил) і рівняння нерозривності
(2.1)
(2.2)
утворюють замкнену нелінійну систему чотирьох диференціальних рівнянь у частинних похідних для визначення тиску і трьох складових вектора поля швидкості .
Для знаходження конкретних розв'язків при інтегруванні системи рівнянь (2.1), (2.2) необхідно накласти граничні умови, а у випадку нестаціонарного руху додати також початкові умови. Формулювання граничних умов на твердих нерухомих границях пов'язано з результатами великої кількості експериментів, які проводились у XIX столітті. У випадку присутності твердих границь для моделі в'язкої рідини граничними умовами є феноменологічні співвідношення повного прилипання рідини на поверхні тіла обтікання, тобто відносна швидкість між частинками рідини та точками поверхні має дорівнювати нулю. При дослідженні обтікання твердого тіла необмеженим у просторі потоком в'язкої рідини до граничних співвідношень також приєднують умову постійності вектора швидкості на далеких відстанях від тіла. Постійність вектора швидкості на нескінченості в задачах обтікання є обов'язковою [55].
Початкові умови для розв'язання системи рівнянь руху однорідної нестисливої в'язкої рідини представляють собою розподіли полів швидкості та тиску у початковий момент часу.
Добре відомо [4], що розв'язання гідродинамічної задачі суттєво залежить від її постановки, тобто від вибору граничних і початкових умов, а сама гранична задача вважається поставленою коректно, якщо початкові і граничні умови забезпечують існування розв'язку, його єдність, неперервну залежність від параметрів задачі.
Поряд з постановками граничних задач у яких в якості граничних умов вибираються умови відсутності проковзування на твердій поверхні та обмеженість вектора швидкості на нескінченності, можливі також і інші різноманітні типи граничних умов, які відповідають особливостям конкретної задачі (наприклад задачі з вільними границями). Основні типи граничних задач гідродинаміки для рівнянь Нав'є - Стокса наведено у [3].
Безпосереднє розв'язання системи рівнянь Нав'є - Стокса пов'язане з серйозними математичними труднощами, що, очевидно, в першу чергу є результатом нелінійності рівнянь руху. Саме цим фактом пояснюється невелика кількість відомих точних розв'язків повних рівнянь Нав'є -Стокса. Чисельне інтегрування системи рівнянь (2.1), (2.2), незважаючи на досить швидкий розвиток електронно-обчислювальної техніки, також є непростою проблемою, про що свідчить велика кількість літератури присвячена цим питанням [42], [56], [58].
Очевидно, одним із шляхів подолання цих труднощів є спрощення вихідних рівнянь і моделей, які описують природу явища, що розглядається. Що до в'язкої рідини, то добре відомо, що можна абсолютно чітко виділити два класи течій, які характеризують граничні випадки руху рідини: рух в'язкої рідини при малих [57] та великих числах Рейнольдcа [59]. Дана дисертаційна робота повністю присвячена задачам які належать до першого з означених класів течій.
2.2. Постановка задачі про нормальне обтікання прямокутної пластинки
Насамперед розглянемо задачу про обтікання стаціонарним потоком в'язкої нестисливої рідини тонкої прямокутної пластинки, коли потік на нескінченній відстані від пластинки є однорідним і має швидкість, вектор якої направлений по нормалі до площини пластинки - нормальне обтікання.
Задачу розглянемо у прямокутній декартовій системі координат
Рис. 2.1 Нормальне обтікання прямокутної пластинки: геометрія задачі та граничні умови
. За початок координат оберемо центр прямокутної пластинки, координатні вісі , лежать у площині пластинки (рис. 2.1).
Як відомо з теорії [45], для усталеного руху в'язкої течії суттєве значення має число Рейнольдса, причому при відсутності масових сил () число є єдиним параметром, який характеризує з точністю до подібності течію що розглядається.
Вибираючи в якості характерних масштабів задачі:
- половину довжини пластинки,
- густина рідини,
- коефіцієнт динамічної в'язкості рідини (),
- швидкість однорідного потоку на нескінченності,
запишемо безрозмірний комплекс - число Рейнольдса
(2.3)
і будемо вимагати виконання умови малості числа порівняно з одиницею, що є основним припущенням теорії Стокса.
З аналізу формули (2.3) випливає, що до течій з малими числами Рейнольдса можна віднести задачі, в яких розглядаються потоки рідини з великою в'язкістю, рух малих тіл у відносно в'язкій рідині, повільні течії (creeping flow) в'язкої рідини. Для таких течій суттєвими є сили в'язкості , в той час як сили інерції слабко впливають на загальну картину руху.
Таким чином при малих числах Рейнольдса конвективною частиною прискорення в лівій частині рівняння (2.1), яка відповідає інерційним силам можна знехтувати у порівнянні з в'язкими членами і перейти від нелінійних рівнянь Нав'є - Стокса до лінійних рівнянь Стокса.
Для переходу до рівнянь у безрозмірних змінних використаємо наступні заміни
(2.4)