РОЗДІЛ 2
ТЕРМОДИНАМІЧНИЙ ПОТЕНЦІАЛ І МІЖАТОМНІ КОРЕЛЯЦІЇ НЕВПОРЯДКОВАНИХ СПЛАВІВ
2.1. Гамільтоніан системи (сплаву)
Гамільтоніан системи електронів і фононів невпорядкованого кристалу (металевого сплаву, невпорядкованого напівпровідника), що містить два сорти атомів (A, B) представимо у вигляді [177-179]
(2.1)
Гамільтоніан взаємодіючих з коливаннями кристалічної гратки електронів у представленні Ваньє
, (2.2)
де
, (2.3)
.
Тут ,- оператори народження і знищення електрона в стані, що описується функцією Ваньє ; ; індекс стану ? визначається номером енергетичної зони і проекцією спіна ? на вісь Z, n - номер примітивної комірки кристалу, i - номер вузла підгратки в примітивній комірці; - потенціальна енергія взаємодії пари електронів.
Оператор потенціальної енергії електрона в полі іонних остовів кристалу у формулі (2.3) можна представити у вигляді
, ,
де - радіус-вектор електрона, - радіус-вектор рівноважного положення атома у вузлі (ni) кристалічної гратки, - оператор зміщення атома у вузлі (ni). Під інтегруванням по ? в формулі (2.3) мається на увазі інтегрування по координатах радіуса-вектора і підсумовування по значеннях проекції спіна ? електрона.
Гамільтоніан фононної підсистеми у випадку слабо ангармонічного кристалу, коли в розкладі потенціальної енергії по зміщеннях можна обмежитися кубічними членами, має вигляд
(2.4)
У формулі (2.4) - маса атома у вузлі (ni), - оператор a-проекції імпульсу атома на декартові осі координат; , - силові постійні, - енергія електростатичної взаємодії іонів у положенні рівноваги.
Останній член у гамільтоніані коливань кристалічної гратки (2.4) описує ефекти ангармонізму. Електрон-фононна взаємодія описується лінійним членом розкладу потенціалів іонних остовів в ряд по степенях теплових зміщень атомів з положень рівноваги.
Виконуючи вказаний розклад у формулі (2.3) і підставляючи вираз (2.3) в (2.2), отримаємо:
(2.5)
У виразі (2.5) матричний елемент одноелектронного гамільтоніану чистого кристалу, атоми якого знаходяться в положенні рівноваги, дається формулою (2.3), в якій замінено потенціальною енергією електрона в полі іонних остовів чистого кристалу, що складаються з атомів сорту A, яка дорівнює
.
Випадкова добавка до матричного елемента одноелектронного гамільтоніану чистого кристалу, пов'язана з наявністю домішки, дорівнює
,
,
де визначається першою формулою (2.3), в якій одноелектронний гамільтоніан замінений потенціалом іона сорту ?=A,B. Тут - випадкові числа, що приймають значення 1 або 0 в залежності від того, знаходиться атом сорту ? у вузлі (ni) чи ні.
У формулі (2.5) величини виражаються через оператори координат кристалічної гратки таким чином:
,
де визначається першою формулою (2.3), в якій замість одноелектронного гамільтоніана стоїть
, .
Гамільтоніан системи (2.1) з урахуванням виразів (2.2), (2.4), (2.5) може бути представлений у вигляді:
. (2.6)
Гамільтоніан нульового наближення в формулі (2.6)
(2.7)
складається з гамільтоніану підсистеми невзаємодіючих електронів
, (2.8)
гамильтоніану підсистеми невзаємодіючих фононів
(2.9)
і енергії електростатичної взаємодії іонів .
Гамільтоніан збурення в формулі (2.6)
(2.10)
складається з гамільтоніану електрон-іонної (електрон-домішкової) взаємодії
, (2.11)
гамільтоніану електрон-фононної взаємодії
, (2.12)
гамільтоніану парної електрон-електронної взаємодії (останній член у формулі (2.2)), гамільтоніану фонон-іонної (фонон-домішкової) взаємодії
(2.13)
,
,
і гамільтоніану фонон-фононної взаємодії (останній член у формулі (2.4)).
2.2. Функція Гріна системи (сплаву)
Визначимо двочасову запізнюючу функцію Гріна системи таким чином [79, 177-180]
. (2.14)
Оператор у представленні Гайзенберга
де
, - відповідно хімічний потенціал і оператор числа електронів.
У виразі (2.14)
,
де для бозе-операторів A,В і для фермі-операторів; - функція Хевісайда.
Дужки в (2.14) означають операцію усереднення
, ,
- термодинамічний потенціал системи, , - температура. Із визначення середнього випливає, що воно складається з усереднення при заданому розподілі атомів різного сорту на вузлах кристалічної гратки і наступного усереднення по різним розташуванням атомів.
Двочасова випереджаюча функція Гріна визначається виразом
. (2.15)
Функції Гріна (2.14), (2.15) при врахуванні багаточастинкових взаємодій задовольняють нескінченній системі зв'язаних рівнянь. Розв'язок цих рівнянь можливий при певному розчепленні системи рівнянь шляхом зведення середнього від добутку операторів до добутку середніх. Це пов'язано з деякими наближеннями, точність яких часто важко оцінити. У зв'язку з цим вводять допоміжну температурну функцію Гріна, для обчислення якої існує певна діаграмна техніка [79].
Визначимо температурну функцію Гріна таким чином
, (2.16)
де отримується з (2.14) заміною і дорівнює
,
.
Введемо оператор
, (2.17)
де , .
Оператор (2.17) задовольняє рівнянню
, (2.18)
де .
Розв"язок рівняння (2.18) при умові , що випливає із визначення (2.17), має вигляд
. (2.19)
Враховуючи вираз (2.17), для оператора в представленні Гайзенберга можна написати
. (2.20)
Вираз (2.16) для температурної функції Гріна із врахуванням (2.19)-(2.20) можна привести до вигляду
, (2.21)
де , .
Задамо функцію на інтервалі і будемо використовувати відомий розклад в ряд Фурьє [79]. Для одночастинкової функції Гріна підсистеми електронів , .
Розглянемо одночастинкові температурні функції Гріна (2.21), визначені при заданому розташуванні атомів різного сор