РАЗДЕЛ 2. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ И РЕЗОНАНСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРА ПОВЕРХНОСТНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛОВ
2.1. Резонансные особенности плотности состояний ГЦК кристалла со слабосвязанным примесным слоем на поверхности
Неоднократно отмечалось [37-51], что даже малые изменения поверхности кристалла могут существенно модифицировать спектр локализованных и квазилокализованных волн. К таким искажениям относятся, как правило, либо дефекты, образовавшиеся при механической обработке поверхности образца (царапины, ямки) [44-47], либо структуры, сформировавшиеся в результате оседания на поверхности одного вещества атомов или атомных кластеров другого вещества [48, 49].
В этой главе проанализировано влияние слабосвязанного примесного монослоя (ССПМ) на плотность квазилокальных состояний в ГЦК кристалле. Рассмотрим ГЦК кристалл с (ССПМ) на поверхности. Для простоты выкладок ограничимся рассмотрением модели кристалла с центральным взаимодействием ближайших соседей, в которой смещения атомов из положения равновесия характеризуются скалярной величиной , где номер-вектор узлов решетки [52, 53]. Тогда, если ? - силовая константа в объеме кристалла, то ?? - силовая константа связи атомов ССПМ с атомами подложки.
На свободную поверхность (001) полубесконечного кристалла нанесен слабосвязанный слой чужеродных атомов. Считаем, что эти атомы находятся в позициях, соответствующих "правильным" позициям атомов кристалла подложки. Оси координат выберем вдоль ребер элементарной ячейки, ось Oz перпендикулярна плоскости дефекта (кристалл занимает полупространство ). Уравнения движения такой системы в гармоническом приближении имеют вид
, (2.1)
где - масса атома в узле , а матрица силовых постоянных равна
(2.2)
nz нумерует атомные слои вдоль оси Oz, << 1.
Решение уравнения (2.1) можно представить в виде
, (2.3)
В результате подстановки (2.3) в (2.1) получаются следующие уравнения [53]
, (2.4)
, (2.5)
, (2.6)
где , - отношение масс атомов ССПМ и подложки, параметр решетки а взят равным единице. Соотношение (2.4) представляет собой уравнение движения атомов ССПМ; (2.5) - уравнения движения атомов слоя, граничащего с ССПМ; (2.6) - система линейных однородных конечноразностных уравнений, определяющих объемные колебания кристалла при nz 2.
Из (2.6) при следует закон дисперсии объемных колебаний:
. (2.7)
В [53] было показано, что в такой системе существует резонансное состояние внутри сплошного спектра (квазилокализованное состояние) с и поверхностные состояния.
В случае идеального кристалла, когда динамика всей системы описывается системой уравнений (2.6), (при постоянных ) определяет непрерывный спектр частот и, следовательно, плотность состояний идеального кристалла будет равна [54]
. (2.8)
Для вычисления плотности состояний при наличии на поверхности кристалла ССПМ, возьмем решение уравнения (2.1) в виде стоячей волны
. (2.9)
Подставляя (2.9) в граничные условия (2.4), (2.5), получим уравнение, связывающее фазу ?, волновое число и ?.
, (2.10)
(2.11)
(2.12)
Уравнение (2.7) при фиксированных и ? определяет связь между квадратом частоты ? и компонентой волнового вектора . Уравнение (2.9) связывает , ? и значение фазы стоячей волны ? на поверхности . Таким образом, при постоянных в системе, описываемой уравнением (2.6) и граничными условиями (2.4) и (2.5), остается один свободный параметр ?, который и определяет непрерывный спектр частот. Аналогично тому, как это сделано в [55], можно написать:
, (2.13)
где определяется из уравнения (2.10). Нас интересует не полная , а ее "сечение" при постоянных - , которое, следовательно, можно записать в виде
.
Функция в общем случае может быть немонотонной. Это значит, что производная на разных участках может быть как положительной, так и отрицательной. Следовательно, при определении плотности состояний эту функцию необходимо разбить на участки, на которых она монотонна, вычислить на них плотность состояний, а результаты сложить. Иначе говоря, добавка к плотности состояний пропорциональна абсолютной величине , то есть
. (2.14)
Тогда с учетом (2.10) можно вычислить добавку к объемной плотности колебаний:
,(2.15)
где
,
,
а и определяются формулами (2.11) и (2.12)
Видно, что добавка к плотности состояний (2.15) состоит из двух частей: одна отвечает за резонанс и является доминирующей вдали от края спектра, а другая (пропорциональная g0 - множитель при ) перенормирует плотность состояний на краю объемного спектра.
В рассматриваемой системе могут существовать 2 типа локализованных волн:
1 - "медленные" поверхностные волны [53], частота которых при достаточно больших значениях двухмерного волнового вектора стремится к собственной частоте атомов монослоя (кривая 3 на рис. 2.1). В такой волне атомы ССПМ движутся синфазно с атомами верхнего слоя подложки.
2 - локализованные у поверхности волны, закон дисперсии которых имеет точку окончания на границе сплошного спектра:
, (2.16)
Рис. 2.1. Дисперсионные зависимости локализованных и квазилокализованных колебаний при наличии ССПМ.
, .
1 - нижний край сплошного спектра; 2, 3 - законы дисперсии локальных колебаний; 4 - пик плотности квазилокальных колебаний.
Именно к этой точке и подходит кривая, соответствующая максимуму плотности состояний (рис. 2.1). Следует отметить, что волны первого типа являются истинно поверхностными: