РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ ПРО ЗГИН НЕСКІНЧЕННИХ ПЛАСТИН З ДЕФЕКТАМИ ТИПУ ТРІЩИН
У даному розділі описується двовимірна модель гладкого контакту берегів тріщини [89, 90] та формулюється у загальній постановці задача про згин нескінченної пластини з системою довільно орієнтованих прямолінійних тріщин з врахуванням можливості взаємодії їх берегів на одній із лицьових поверхонь. На основі фундаментальних розв'язків бігармонічних рівнянь плоскої задачі та теорії згину пластин Кірхгофа побудовано інтегральні вирази мембранних зусиль та моментів. Отримано систему сингулярних інтегральних рівнянь у дійсних змінних для знаходження розв'язків задач згину пластин з тріщинами при врахуванні контакту їх берегів.
Для знаходження розв'язків системи сингулярних інтегральних рівнянь у класі функцій з кореневою особливістю на кінцях розрізів [129 - 131] використано асимптотичний метод малого параметра [2, 49, 130, 134] та метод механічних квадратур [2, 49, 132, 133, 135 - 137].
2.1. Загальна постановка та інтегральні рівняння задачі про згин нескінченних пластин з системою довільно орієнтованих тріщин
2.1.1. Постановка задачі та модель контакту. Розглянемо нескінченну ізотропну пластину , послаблену системою довільно орієнтованих прямолінійних наскрізних тріщин завдовжки (). У декартовій площині , що співпадає з серединною поверхнею пластини, лінії тріщини утворюють в сукупності багатозв'язний контур . Нехай центрам тріщин відповідають координати , а - кути нахилу лінії тріщини до осі . Вважаємо, що пластина навантажена на безмежності рівномірно розподіленими моментами (рис. 2.1); береги тріщини та лицьові поверхні вільні від зовнішнього навантаження. У загальному випадку навантаження треба задатися функцією основного напруженого стану .
Досліджуємо вплив взаємного розташування тріщин та контакту їх берегів на напружено-деформований стан пластин.
Рис. 2.1. Безмежна пластинка з системою довільно розташованих тріщин під дією згину
Приймемо, що тріщина в недеформованому стані - це наскрізний математичний розріз. Природно припускати, що згин пластин з тріщинами такого типу буде супроводжуватися взаємодією берегів дефектів у підобластях стиску.
Тому антисиметричне по товщині поле згинних доповнюємо в околі тріщини полем напружень плоского напруженого стану, викликаного контактом берегів.
Таким чином напружено-деформований стан в пластині описуємо парою незв'язаних бігармонічних рівнянь узагальненого плоского напруженого стану та технічної теорії згину
. (2.1)
де - функція Ері, - прогин пластини, - оператор Лапласа.
На безмежності задаються умови
(2.2)
Перейдемо до формулювання крайових умов на тріщині. Прив'яжемо до кожної тріщини локальну систему координат таким чином, щоб початок координат співпадав з серединою розрізу, а вісь була напрямлена вздовж його лінії. У загальному випадку орієнтації дефектів розглянемо їх як розрізи з невідомими розривами переміщень в серединній поверхні , прогину та кута повороту нормалі . Тут . Приймаючи гіпотезу Кірхгофа про жорстку нормаль, змоделюємо контакт берегів тріщини як змикання їх вздовж лінії, у яку вироджується деяка реальна двовимірна область контакту. Припустивши, що , вважаємо, що лінія контакту лежить в лицьовій поверхні. Кінематична та силова схеми контакту у відліковій конфігурації зображені на рис. 2.2 та рис. 2.3 відповідно.
Рис. 2.2. Кінематична схема контакту берегів тріщини на нижній (а) та верхній (б) лицьових поверхнях
Рис. 2.3. Статична схема контакту берегів тріщини
Крайові умови гладкого контакту берегів тріщини за геометрично лінійного підходу мають вигляд [127]
, (2.3)
, (2.4)
, (2.5)
, , . (2.6)
Тут - мембранні зусилля в серединній поверхні;
- згинний момент та узагальнена перерізуюча сила.
Умова (2.3) забезпечує неперервність нормальних переміщень на зімкнутих берегах розрізу, співвідношення (2.4) виражає реактивний момент, що виникає внаслідок переносу контактного зусилля в серединну поверхню, (2.5) - нерівність одностороннього контакту, умови (2.6) забезпечують відсутність дотичних напружень на берегах тріщин і служить для знаходження розривів дотичних компонент вектора переміщень та .
Отже, (2.1)-(2.6) - взаємозв'язана крайова задача для пари бігармонічних операторів на площині з розрізами, яка описує контактну взаємодію берегів тріщин у двовимірній постановці.
2.1.2. Інтегральні зображення силових чинників та система сингулярних рівнянь. Для розв'язання сформульованої задачі (2.1)-(2.6) використаємо метод інтегральних рівнянь. Розв'язки бігармонічних рівнянь (2.1) для нескінченної пластини з прямолінійними тріщинами під дією згинних навантажень на нескінченності подамо у вигляді [11]
,
, (2.7)
де ;
,
; (2.8)
.
Тут , - мембранні зусилля, а , - згинний момент і узагальнена поперечна сила в перерізі з нормаллю , які відповідають фундаментальним розв'язкам та рівнянь (2.1); - функції стрибків переміщень, кута повороту нормалі та прогину при переході через контур , .
Запишемо подання (2.7) в термінах похідних від невідомих функцій розривів. Для цього зінтегруємо по частинах та використаємо співвідношення , яке має місце в пластинах Кірхгофа. Отримаємо:
,
,
або ,
(2.9)
Тут , .
У різних системах координат вирази функцій та будуть мати дещо різні ядра. Так в основній системі з урахуванням перетворення операторів диференціювання при зміні системи координат
,
та співвідношень
(2.10)
отримаємо інтегральні зображення зусиль та моментів у довільній точці пластини
(2.11)
Тут , , , , , , - відповідають функції основного напруженого стану, яка характеризує прогин пластини без дефектів.
Використовуючи формули перетворення компонент тензорів зусиль та моментів при переході до іншої системи координат
,
,
,
,
,
(2.12)
підставимо зображення (2.11) в крайові умови (2.3)-(2.6) та, перейшовши до змінних л