РАЗДЕЛ 2
МЕТОДИКА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛА
С УЧЕТОМ УПРОЧНЕНИЯ КАНАТНОЙ ПРОВОЛОКИ
Приведены исходные допущения и уточненные сведения о параметрах
идеализированной диаграммы растяжения стальной канатной проволоки. Выбраны
базовые уравнения для описания плоского напряженного состояния
упругопластического материала с линейным изотропным упрочнением. Выполнен
системный анализ проблемных вопросов решения уравнений пластического течения
при нелинейной траектории деформации материала.
Принятые гипотезы и параметры идеализированной диаграммы растяжения
Теоретический анализ напряженного состояния стальной канатной проволоки в
настоящей работе выполняется на основе следующих гипотез, принятых с учетом
опыта предыдущих исследований [17, 32, 58, 59, 70, 71]:
* поведение материала при чистом растяжении и чистом сдвиге описывается
идеализированными кусочно-линейными диаграммами (рис.2.1), состоящими из
участков: упругой - 1 и пластической - 2 деформаций нагружения, а также упругой
разгрузки - 3;
* материал не сжимаем, т.е. коэффициент Пуассона м = 0,5, а модули упругости
при растяжении E и сдвиге G связаны соотношением ;
* при плоском напряженном состоянии переход материала из упругого состояния в
пластическое определяется условием текучести , где – текущее значение предела
текучести;
* выполняется закон линейного изотропного упрочнения материала, т.е. параметр
определяется функцией , где: – начальное значение предела текучести, –
интенсивность приведенной пластической деформации, – коэффициент упрочнения
материала.
Рис. 2.1. Идеализированные диаграммы растяжения и сдвига.
В нормативных технологических документах на стальную канатную проволоку
указывается только предел прочности , а для расчетов с учетом принятых гипотез
необходимы параметры E, идеализированной диаграммы. Модуль упругости проволоки,
как и других стальных изделий, многократно исследовался, и для него обычно
принимают среднее значение из диапазона E = (1,9–2,1)·105МПа [15]. Информация о
параметрах в литературе очень ограничена и недостаточна для принятия
обоснованных решений. Лишь в нескольких работах указаны конкретные значения
параметров, при этом не приведены сведения о методике их выбора. Например, в
[30] принято , , в [54] задают , . Для получения уточненных данных в настоящей
работе выполнена математическая обработка нескольких вариантов действительной
диаграммы растяжения круглой канатной проволоки, два из которых приведены
ниже.
В первом случае проволока диаметром dпр = 1,22 мм с пределом прочности МПа
испытана на растяжение в лаборатории СевНТУ [49], действительная диаграмма
представлена на рис. 2.2 точками 1. Компьютерная обработка диаграммы,
выполненная в пакете Mathcad [22] с использованием линейной регрессии (метод
наименьших квадратов), дает следующие значения для искомых характеристик: , l =
0,11 (линия 2 на рис. 2.2).
Рис. 2.2. Диаграммы для канатной проволоки мм:
1 – экспериментальная; 2 – идеализированная.
Аналогично выполнена обработка второго варианта диаграммы растяжения,
полученной в ЦЗЛ ОАО «Силур» на разрывной машине фирмы «Zwick» (Германия) для
проволоки диаметром d = 2,8 мм с пределом прочности МПа [приложение А].
Графические результаты компьютерной обработки диаграммы представлены на
рис.2.3. Для исследуемых параметров получены следующие значения: , l = 0,1.
Рис. 2.3. Диаграммы для канатной проволоки мм.
На основании полученных данных сделан вывод, что значения параметров
идеализированной диаграммы отечественной канатной проволоки для всех диаметров
примерно одинаковы и находятся в интервалах: коэффициент упрочнения , предел
текучести – .
Анализ возможных вариантов аналитического решения дифференциальных уравнений
пластического течения
Рассмотрим физические уравнения, описывающие связь напряжений и деформаций в
малой окрестности произвольной точки поперечного сечения проволоки, с учетом
принятых выше гипотез. Для упрощения формы уравнений далее используем следующие
безразмерные параметры [12, 29, 39]:
безразмерные нормальное и касательное напряжения;
приведенные деформации удлинения и сдвига ;
где: , - деформации удлинения и сдвига, соответствующие пределам текучести
материала (рис. 2.1).
Пусть материал испытывает бесконечно малые изменения деформаций удлинения de и
сдвига dg при некоторых текущих значениях нормального s и касательного t
напряжений. На стадии упругих деформаций материала (участки 1 и 3 на рис. 2.1)
выполняется закон Гука:
, . (2.1)
Для описания изменения напряжений в пластической стадии деформации материала
используем дифференциальные уравнения теории пластического течения [59]:
, , (2.2)
где функции и определяются по формулам:
, , (2.3)
и напряжения удовлетворяют условию текучести Мизеса .
Для прикладных расчетов представляет интерес вопрос о возможных вариантах
аналитического решения уравнений (2.2). Поскольку в литературе на этот вопрос
нет достаточно полного ответа, выполним в данном подразделе специальный анализ.
Запишем исходные уравнения в другой форме с использованием условных угловых
параметров [39, 59] и кинематической модели Прагера. Согласно этой модели
напряженное состояние определяется вектором с направляющим углом a в системе
координат, связанной с центром подвижного кольца, имитирующего поверхность
текучести (рис. 2.4). Компоненты указанного вектора определяются по формулам ,
, а его модуль – по первой из формул (2.3). Далее вводят бесконечно малый
вектор приведенной деформации с компонентами , , где - направляющий угол
вектора . Компоненты вектора и траектория