РАЗДЕЛ 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАСТРОЙКИ РЧВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК ТЕПЛОВОЗОВ
2.1. Оценка точности автоматических систем
Для частных задач оценки точности автоматических систем существуют методы определения законов распределения выходных сигналов. Это возможно, в частности, если процессы в исследуемой нелинейной системе являются марковскими; а в основе методов лежит использование дифференциальных уравнений в частных производных для плотностей вероятности. Однако эти способы при их реализации приводят к сравнительно сложным алгоритмам [76], которые, как правило, на практике могут быть реализованы лишь приближенно. В общем случае решение задач определения статистических характеристик выходных сигналов нелинейных систем можно выполнить лишь приближенными методами.
Наиболее универсальным приближенным методом является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Этот метод в принципе позволяет находить статистические характеристики выходных сигналов любых нелинейных систем, если известны статистические характеристики входных случайных сигналов или их реализации. При этом не нужно иметь аналитическую связь между статистическими характеристиками входа и выхода системы [9].
Одним из приближенных методов определения моментов выходных случайных сигналов нелинейной системы, приспособленных для использования на вычислительных машинах, является метод эквивалентных возмущений, разработанный проф. Б.Г. Доступовым [52]. Этот метод основан на разложении случайных входных сигналов в степенной ряд по частным значениям случайных коэффициентов канонического разложения входных случайных сигналов. Метод позволяет находить моменты выходных случайных сигналов любого порядка, если известны соответствующие моменты случайных коэффициентов канонического разложения входных сигналов и случайных параметров системы.
Необходимо отметить, что определение моментов высших порядков представляет собой достаточно громоздкую вычислительную задачу. Поэтому практически при статистическом анализе точности систем часто ограничиваются определением первых двух моментов выходных сигналов - математического ожидания и корреляционной функции (дисперсии).
Наиболее простым приближенным методом, позволяющим определить указанные оценки точности нелинейных систем, в том числе содержащих существенные нелинейности с разрывными характеристиками, является метод статистической линеаризации, предложенный проф. И.Е. Казаковым [10, 52]. В этом методе нелинейная система представляется как совокупность безынерционных нелинейных элементов и инерционных линейных частей.
Если нелинейные характеристики элементов автоматической системы таковы, что в диапазоне практически возможных значений сигналов их можно аппроксимировать линейными характеристиками, т.е. осуществить обычную линеаризацию, то при этом нелинейную систему можно рассматривать как линейную и к ней могут быть применимы методы линейной теории. Статистическая линеаризация отличается от обычной линеаризации. Сущность статистической линеаризации и ее применение к оценке точности нелинейных систем заключается в следующем.
Методом статистической линеаризации называют метод замены истинной зависимости между входным и выходным сигналами безынерционного нелинейного звена такой приближенной зависимостью, линейной относительно центрированного входного случайного сигнала, которая в статистическом смысле является эквивалентной. Звено, обладающее такой приближенной зависимостью между входным и выходным сигналами, называют эквивалентным данному нелинейному звену.
Пусть дано нелинейное звено (рис.2.1а) для которого зависимость между входным и выходным сигналами определяется нелинейной функцией
. (2.1)
Для эквивалентного звена (рис.2.1б) зависимость (2.1) заменяется приближенной зависимостью вида
. (2.2)
а) б)
Рисунок 2.1 - Нелинейное (а) и эквивалентное (б) звенья
Найдем характеристики и эквивалентного звена.
Величина представляет собой математическое ожидание выходного сигнала эквивалентного звена и ее называют статистической средней характеристикой эквивалентного звена.
Величину выбирают так, чтобы математические ожидания выходных сигналов эквивалентного звена и данного нелинейного звена были равными, т.е.
. (2.3)
Для нелинейных звеньев с нечетными характеристиками, т.е. при статистическую характеристику удобно представить в виде
. (2.4)
Коэффициент называют статистическим коэффициентом усиления эквивалентного звена по средней составляющей (математическому ожиданию).
Коэффициент на основании равенств (2.3) и (2.4) определяется формулой
(2.5)
Характеристику эквивалентного звена называют статистическим коэффициентом усиления эквивалентного звена случайной составляющей (флуктуацией).
Коэффициент выбирают двумя способами.
Первый способ. Значение выбирают из условия равенства дисперсий выходных сигналов эквивалентного звена и данного нелинейного звена:
. (2.6)
Тогда
(2.7)
Знак коэффициента определяется характером функции Если функция возрастает вблизи точки , то принимается , а если она убывает, то .
Второй способ. Значение выбирают из условия минимума средней квадратической ошибки при замене нелинейной зависимости (2.1) приближенной зависимостью (2.2)
(2.8)
Принимая во внимание формулы (2.2) и (2.3) и свойства математических ожиданий, условие (2.8) можно записать в виде
(2.9)
Условие минимума (2.9) по параметру запишем, приравнивая частную производную по нулю:
(2.10)
Решая уравнение (2.10) относительно , получим
(2.11)
Искомые характеристики эквивалентного звена можно найти по приведенным формулам, если известны одномерная плотность вероятности входного сигнала и характеристика данного нелинейного звена. В этом случае формулы (2.3) - (2.7) и (2.11) на основан