РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ,
ЩО РЕАЛІЗУЮТЬСЯ У СИЛОВИХ ЗВ'ЯЗКАХ РЕЙКОВИХ ЕКІПАЖІВ
Прогнозування експлуатаційних характеристик силових зв'язків, що мають еластомери, можливе за умови математичного опису процесів, що протікають у них, під впливом зовнішніх і внутрішніх силових збурювань. З цією метою введемо допущення, що еластомер вважається суцільним середовищем у виді реологічного тіла Кельвіна-Фойгта, де непружний опір пропорційний швидкості деформації. Це допущення припускає математичну модель у виді системи диференціальних рівнянь у частинних похідних з визначеними початковими і граничними умовами. Розв'язок таких задач, як правило, пов'язаний з подоланням математичних складностей, основною з яких є одержання стійких чисельних алгоритмів розв'язку математичних моделей [85,239].
2.1. Стійкість розв'язку диференціальних рівнянь у частинних похідних методом кінцевих різниць із застосуванням теорії марківських процесів
При чисельному розв'язку диференціальних рівнянь у частинних похідних головними вважаються два аспекти: точність і стійкість розв'язку. Проблема точності розв'язку досить добре висвітлена у відповідній літературі. Зупинимося більш докладно на питанні досягнення стійкості розв'язку.
У роботах [115, 179, 284] доводяться умови стійкості для деяких простих випадків. При цьому наводяться трудомісткі доведення. Однак, як буде показано нижче, доведення можна виконати на фізичному рівні, спираючись на існуючі аналогії між різницевими рівняннями і ланцюгами Маркова.
Виконаємо доведення стійкості розв'язку для деяких випадків, наведених у [115], на підставі ланцюгів Маркова. Розглянемо для цього рівняння теплопровідності (параболічного типу) за явної і неявної схем розв'язку рівняння Фоккера-Планки, а також рівняння коливань пружно-в'язкого середовища для одномірної і двомірної задачі за явної і неявної схем розв'язку (гіперболічного типу).
1. Рівняння теплопровідності (явний метод).
Розглянемо рівняння виду[95]:
, (2.1)
де , а .
Кінцево-різницевий аналог рівняння (2.1) має вид:
, (2.2)
У даному випадку - відповідно індексація вузлів сітки по і ,
- сіткова функція, , , ,
Уводячи позначення , одержимо розрахункову формулу у виді:
, (2.3)
У [107] доведено, що достатньою умовою стійкості є нерівність:
,
Тепер розглянемо марківський ланцюг, що відповідає схемі різницевого розв'язку (2.3).
За цією схемою маємо:
, (2.4)
де величини , і позначають перехідні імовірності переносу тепла. Індекси показують напрямки теплопереносу у вузлах сітки.
Порівнюючи вирази (2.3) і (2.4), одержимо:
и ,
У марківських ланцюгах
,
що погоджується з (2.4). Усі перехідні імовірності повинні знаходиться в межах
, (2.5)
що вимагає виконання нерівності виду:
чи , (2.6)
Як бачимо, умова стійкості (2.6) рівняння (2.1), наведеного в [115], може бути отримана з умови (2.5) для перехідних імовірностей марківських ланцюгів.
2. Рівняння теплопровідності (неявний метод).
На підставі цієї схеми кінцево-різницевий аналог рівняння (2.1) прийме вид[95]:
,
звідки
, (2.7)
Вимога (2.5) витримується за будь-якого значення , що збігається з умовою стійкості методу прогону розв'язку (2.3). Перевага неявного методу полягає в незалежності вибору кроків і [115], тому що перехідні імовірності
, ,
у рівнянні (2.7) підкоряються умові (2.5) за будь-якого значення
3. Гіперболічне рівняння (явна схема).
Розглянемо рівняння виду [183]:
, (2.8)
де .
Кінцево-різницевий аналог розглянутого рівняння має вид:
,
Позначимо через ,
Тоді одержимо
, (2.9)
Вираз (2.9) не має виду марківський ланцюга. Однак цю схему можливо звести до марківського ланцюга, вважаючи, що кожен такт поділяється на два напівтакти таким чином, що в першому напівтакті обчислюється:
, (2.10)
а в другому
,
де уже відома величина.
Умова (2.5) вимагає, щоб і
чи .
Звичайно вважають [115, 179], що додає виразу (2.10) найбільш простий вид.
4. Гіперболічне рівняння (неявна схема).
Кінцево-різницевий аналог для неявної схеми розв'язку розглянутого рівняння має вид [183]:
,
Звідки
,
Умова стійкості (2.5) вимагає, щоб
і чи ,
Неявна схема розв'язку рівняння коливань гіперболічного типу (2.8) дозволяє вибирати кроки інтегрування і незалежно один від одного.
5. Параболічне рівняння Фоккер-Планки (явна схема).
Це рівняння має широку область практичного застосування. Зокрема, воно є математичною моделлю явища дифузії в полі сили тяжіння і має вид [183]:
, (2.11)
Кінцево-різницевий аналог для двошарової явної схеми має вид:
, (2.12)
звідки
, (2.13)
де , і .
Умова (2.5) вимагає, щоб і . Як і в попередніх випадках явної схеми константи обмежені зверху і, отже, обмежені кроки інтегрування: і .
Наприклад, можна зобразити у виді . Але . Отже, із другої умови , звідки і .
З останнього можна визначити , а потім з умови визначити .
Розглянемо це ж рівняння у випадку неявної схеми.
6. Параболічне рівняння Фоккер-Планки (неявна схема).
Кінцево-різницевий аналог рівняння має вид [183]:
, (2.14)
Після перетворень, як і в попередньому випадку, одержимо
, (2.15)
Відповідно до умови (2.5) необхідно, щоб . З урахуванням прийнятих раніше позначень останню нерівність можна зобразити у виді , звідки , що обмежує знизу.
Розглянемо тепер різні математичні моделі процесу поширення коливань у суцільному середовищі за наявності тертя.
7. Одномірне рівняння коливань (явна схема).
Різницеве рівняння для явної схеми розв'язку диференціального рівняння
, (2.16)
має вид [95]:
, (2.17)
де суцільне середовище моделюється у виді пружно-в'язкого cередовища,
- в'язкість, - швидкість звуку в середовищі, - переміщення, - координата, - час.
Уведемо позначення і ,
З урахуванням уведених позначень рівняння (2.17) набуде