РОЗДІЛ 2
Х - ПРОМЕНЕВІ ДИФРАКЦІЙНІ ЗОБРАЖЕННЯ
ДИСЛОКАЦІЙ ТА ДИСЛОКАЦІЙНИХ ПЕТЕЛЬ В УМОВАХ
АНОМАЛЬНОГО ПРОХОДЖЕННЯ Х - ПРОМЕНІВ
Сучасні досягнення у технології вирощування високодосконалих моно-кристалів
германію і кремнію дозволяють позбавлятися від об'ємних, плоских і лінійних
дефектів. Проте, як свідчать експериментальні дослідження, для бездислокаційних
кристалів характерні великі густини мікродефектів. У дислокаційних кристалах
кремнію точкові дефекти концентруються поблизу ліній дислокацій, а в
бездислокаційних – утворюють скупчення – кластери, які класифікують за
розмірами і за особливостями їх декорації домішками: А-кластери розмірами
~50–100 мкм, В-кластери ~3–10 мкм і ще більш мілкіші С- кластери – менші за 1
мкм [93,94,97].
Серед сучасних топографічних методів дослідження структурних спотворень
кристалічної гратки одним із найбільш інформативних методів є метод аномального
проходження Х-променів (метод Бормана). Він володіє високою чутливістю до
різного типу дефектів і дозволяє визначати характер зміни їх пружного поля.
Х-променеве хвильове поле, яке розповсюджується в кристалі, можна описати
системою рівнянь Такагі [23,25]. У багатьох випадках ця система рівнянь у
частинних похідних розв'язується за допомогою чисельного методу кінцевих
різниць [59,60]. Оскільки за допомогою ЕОМ можна розрахувати об'ємний розподіл
поля деформацій і відповідно функцію локальних розорієнтацій атомних площин, а
також розподіл інтенсивності дифрагованих променів у борманівському трикутнику
розсіяння, то моделювання зображень дефектів є одним з найбільш ефективних
методів дослідження механізмів формування Х- променевого контрасту і дозволяє
встановити роль кожного із них.
2.1. Прямолінійні дислокації в анізотропному середовищі
Гвинтова дислокація в безмежному ізотропному середовищі. Розглянемо праву
гвинтову дислокацію Вольтера, яка може бути отримана в досконалому циліндрі
зсувним зміщенням вздовж осі z по площині xy [165]. Для утворення зазначеного
вище розриву зміщення uz рівномірно зростає із збільшенням кута q [165]:
. (2.2.1)
Ця залежність задовольняє в середині циліндра умову С2uz=0 для поля зміщення
чисто гвинтової дислокації.
Зміщення і напруги для гвинтової дислокації, розміщеної вздовж осі
незакріпленого циліндра, визначаються співвідношеннями [90]
, (2.1.2)
(2.1.3)
де R – радіус циліндра, b – вектор Бюргерса. Із збільшенням радіусу циліндра R
ефекти закручування зменшуються і при .
Крайова дислокація в безмежному ізотропному середовищі. Її зміщення згідно
роботи [165] задаються співвідношеннями:
, (2.1.4)
. (2.1.5)
Компонента uy містить логарифмічний член, який є розбіжним по r. Ця розбіжність
фізично пояснюється згином площин гратки навколо осі z, викликану введенням
екстраплощини. Розглянемо дислокацію, яка розміщена вздовж осі правильного
круглого циліндра із внутрішнім і зовнішніми радіусами r0 і R відповідно. Ця
модель відповідає незвичайному, але фізично реальному випадку дислокацій із
дуже великими векторами Бюргерса. Пружна енергія поблизу ядра є настільки
велика, що виявляється більшою поверхневої енергії пустої трубки. Для такої
дислокації напруги srr і srq, не рівні нулю ні на зовнішній вільній поверхні
r=R, ні на внутрішній r=r0. Тому необхідно ввести компенсуючі фіктивні напруги
на зовнішній поверхні циліндра [165]:
. (2.1.6)
Аналогічна введена функція, яка призводить до компенсації сил, нормальних до
внутрішньої поверхні циліндра r=r0
, (2.1.7)
де yR відповідає за вклад поверхневого натягу, відповідає за вклад, який
пов’язаний із ядром дислокації.
Прямолінійні дислокації в анізотропному середовищі
Для прямолійної дислокації в анізотропному середовищі вирази для зміщень,
напруг та енергії є досить складними. Основне рівняння теорії пружності, що
використовується для їх отримання має вигляд [165]:
, (2.1.8)
де .
Напруги повинні задовольняти умові рівноваги
(2.1.9)
Координатні вісі орієнтуються таким чином, щоби вісь х3 (вісь z) параллельна
дислокаційній лінії, а сijkl визначаються відносно цієї системи координат. Якщо
ефекти зображень виключаються, то зміщення, деформації і напруги не залежать
від х3. Це дає змогу ввести деякі умовні позначення. Після математичних
перетворень і комбінацій отримаємо [165]:
(2.1.10)
Індекси a і b вважаються рівними 1 або 2, індекси i, j – 1, 2 або 3.
Вираз (2.1.10) представляє собою систему трьох рівнянь для трьох функцій uk. .
Розв’язок його шукають у вигляді:
(2.1.11)
де h=х1+рх2, а р і Аk – константи. Після перетворень отримаємо загальне
рівняння, яке виявляється наступним:
(2.1.12)
Коефіцієнт D(n) визначається системою із шести рівнянь
(2.1.13)
Знак плюс використовується, коли уявна частина р додатня, і мінус, коли вона
відємна. Цей вираз представляє собою набір трьох рівнянь із шістьмома
невідомими – невідомі дійсні і уявні частини D(n). Три інших рівняння,
необхідних для визначення D(n), дають умову рівності нулю результуючої сили,
яка діє на ядро дислокації.
Результуюча сила, яка відноситься до одиниці довжини та діє на поверхню
стержня, паралельного дислокації рівна [165]
, (2.1.14)
де е - тензор напруг,
Після проведення інтегрування по контуру інтегрування вздовж поверхні циліндра,
паралельного дислокації отримаємо наступні три рівняння для визначення D(n):
(2.1.15)
де .
Для певних орієнтацій координатних осей зміщення u3 може бути зумовлене тільки
гвинтовою компонентою, а зміщення u1 і u2 – тільки крайовою компонентою.
Вважатимемо, що вісь х3 є паралельною до дислокаційної лінії , а сijkl (пружні
константи) заданими відносно системи координат х1, х2, х3, зв’язаної із
дислокацією. Щоби отримати простий розв’язок суто гвин
- Київ+380960830922