РАЗДЕЛ 2
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА РУЛОНИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ В МАШИНАХ ЛЕГКОЙ
ПРОМЫШЛЕННОСТИ
2.1. Общие положения формирования намоточных изделий
В процессе намотки материала в рулон витки непрерывно накладываются друг на
друга. Под действием усилия натяжения материала каждый последующий виток
деформирует нижележащие слои и вызывает изменение изначального напряженного
состояния и, соответственно, изменение прочностных и деформационных свойств
материала. Характер этого изменения зависит в первую очередь от величины
анизотропии материала и заданного закона натяжения.
Исследование уравнений математической модели рулонированого материала [95, 96]
показывает, что определение радиальных sr и окружных sQ напряжений, а также
окружных eQ и радиальных er деформаций по радиусу рулона сводится к вычислению
интеграла
(2.1)
значение, которого зависит от величины параметра анизотропии материала m.
Для дробных значений параметра анизотропии материала m, которое характерно для
большинства материалов легкой промышленности (искусственная кожа ГОСТ 939-75
m=1,19; костюмная ткань, артикул «Альп» m=1,85; полиэтилентерефталатная (ПЭТФ)
пленка m=1,85) вычисление интеграла осуществляется численными методами,
например, по формуле Симпсона, Ньютона-Котеса и др. [83]. Под этой задачей
понимается приближенное нахождение значения определенного интеграла при
условии, что известны отдельные значения подынтегральной функции .
При равноотстоящих узловых точках используются формулы, называемые формулами
Ньютона [83]
, (2.2)
где n – количество узловых точек (порядок метода); a=r, b=rn – пределы
интегрирования; pjn – весовые коэффициенты, зависящие от метода; h=(b-a)/n –
шаг; Rn[f] – погрешность метода; – коэффициент.
Параметры формул Ньютона представлены в приложении А. Вычисление интеграла
(2.2) с заданной точностью, определяемой на основании формул для погрешности
Rn, трудно осуществимо из-за сложности получения производных высокого порядка,
поэтому на практике уточнение интеграла производится обычно последовательным
увеличением вдвое числа делений отрезка интегрирования с помощью
соответствующих программ [84].
Выигрыш точности, достигаемый при повышении порядка метода n, частично
уменьшается вследствие одновременного увеличения погрешности метода. Чаще всего
интегрирование осуществляется по формулам невысокого порядка, например, по
формулам Симпсона или Ньютона-Котеса. При этом алгоритм Ньютона-Котеса требует,
по сравнению с алгоритмом Симпсона, значительно меньше вычислительных затрат
при одной и той же точности и использует следующее выражение
, (2.3)
где h=(rn-r)/2К; yj=f(r+jh); j=0,1..2К; К – количество узлов интегрирования,
ѓ(4)- производные подынтегральной функции.
Интеграл (2.3) имеет переменный нижний предел интегрирования, равный текущему
значению радиуса рулона r, что достаточно сильно усложняет его вычисление без
применения современных программных комплексов [85,91]. Поэтому для численного
вычисления интеграла (2.3) по формуле Ньютона-Котеса для любых действительных
значений параметра анизотропии m нами разработана компьютерная программа с
автоматическим выбором шага интегрирования h, которая обеспечивает
относительную точность вычислений, равную 10-4 (приложение А). При
необходимости программа выводит график выбора узлов интегрирования на отрезке,
ограниченном нижним и верхним пределом интегрирования.
2.2. Формирование рулонов при намотке материалов в режиме постоянного удельного
натяжения
Напряженно-деформированное состояние наматываемого материала в рулон в режиме
намотки с постоянным удельным натяжением формируется при условии
N(r)=N0=const. (2.4)
Изменения радиальных sr и окружных sQ напряжений в витках определяется после
подстановки условия (2.4) в уравнение (1.9) с учетом (2.3)
. (2.5)
Вычисление интеграла в уравнениях (2.5) для дробных
значений параметра анизотропии m выполнено численным методом по формуле
Ньютона-Котеса по методике, представленной в приложении А.
Из уравнений (2.5) следует, что величина радиальных sr и окружных sQ напряжений
в любом витке рулона в первую очередь пропорциональна удельному натяжения N0.
На рис. 2.1 показано распределение по радиусу рулона относительных окружных
напряжений sQ/N0 для искусственной кожи, ткани и пленки, имеющих дробный
параметр анизотропии m, равный 1,19; 1,85; 2,37 (кривые 2, 4 и 6
соответственно). Решение осуществлено с помощью численного метода
Ньютона-Котеса с относительной точностью 10-4 (приложение А). Материалы
наматываются на жесткий товарный ролик радиусом r0=0,05 м до конечного радиуса
rn=0,2 м.
На этом же рисунке представлены относительные окружные напряжения sQ/N0 для
целых значений параметра анизотропии m, равного 1, 2 и 3 (кривые 1, 3 и 5
соответственно), изотропного и анизотропных материалов. Эти решения получены
аналитическим методом по зависимостям, представленным в работе [80]. Так как
получить зависимости напряжений от радиуса рулона для дробных значений
параметра анизотропии m аналитическим путем невозможно, то намотка материалов,
например, искусственных кож, тканей и пленок, производилась ранее с
существенной ошибкой между требуемым и действительным распределением
напряжений. Как видно из рисунка, максимальная относительная ошибка окружного
напряжения для искусственной кожи с параметром анизотропии m=1,19 и ближайшим
аналитическим решением для m=1 составляет DsQ=23 %. Аналогично для ткани с
параметром анизотропии m=1,85 и ближайшим аналитическим
- Київ+380960830922