РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГІЧНІ ЗАСАДИ МОДЕЛЮВАННЯ ФОНДОВИХ РИНКІВ
Необроблені часові ряди містять величезну кількість економічної інформації.
Головна проблема – збір, обробка та інтерпретація цієї інформації [55].
Останнім часом все частіше застосовуються методи нелінійної динаміки, теорії
хаосу для дослідження часових залежностей економічних величин [50, 54].
Розглянемо деякі з них.
2.1. Моделювання фрактальних характеристик динамічного ряду
Гіпотеза ефективного ринку, у своїй основі стверджує, що оскільки поточні ціни
показують усю наявну в розпорядженні або відкритій інформації, майбутні цінові
зміни можуть визначатися тільки новою інформацією. Оскільки вся попередня
інформація вже знайшла відображення в цінах, ринки додержуються випадкового
блукання. Щоденна зміна ціни не має відносини до подій попередніх днів.
Гіпотеза ефективного ринку непрямим чином припускає, що інвестори негайно
реагують на нову інформацію, і, таким чином, майбутнє не зв'язане з минулим або
сьогоденням. Це припущення було введено для того, щоб застосувати до аналізу
ринку капіталу центральну граничну теорему. Остання була необхідна для
виправдання правомірності використання імовірнісного обчислення і лінійних
моделей.
Метод R/S-аналізу, розроблений Мандельбротом та Уоллесом, базується на
попередньо створеному методі гідрологічного аналізу Херста, і дозволяє
обчислювати параметр самоподібності H, який вимірює інтенсивність довготривалих
залежностей у часовому ряді. Коефіцієнт H, який називають коефіцієнтом Херста,
містить мінімальні прогнози стосовно природи системи, що вивчається, і може
класифікувати часові ряди.
Аналіз починається із побудови ряду логарифмічних прибутків, , де – значення
вихідного часового ряду у момент , – часовий крок. Отримана послідовність
розбивається на підпослідовностей дожини . Для кожної підпослідовності :
1) знаходиться середнє значення та стандартне відхилення ; 2) дані
нормалізуються шляхом віднімання середнього значення послідовності , ;
створюється послідовність накопичень , ; знаходиться розмах , який нормується
середнім квадратичним відхиленням ; 5) обчислюється середнє нормованих значень
розмаху для всіх підпослідовностей довжини .
R/S-статистика, обрахована таким чином, відповідає співвідношенню , де значення
може бути отримане шляхом обчислення для послідовності інтервалів зі
збільшенням часового горизонту:
.
(2.1)
Знайти коефіцієнт Херста можна, побудувавши залежність у подвійному
логарифмічному масштабі і взявши коефіцієнт нахилу прямої, яка інтерполює точки
отриманого графіка. Якщо , говорять про послідовність, що представляє собою
білий шум; свідчить про персистентний ряд, коли існує тенденція слідування
великих значень ряду за великими і навпаки; вказує на антиперсистентний ряд.
Розрахунки у цьому розділі, якщо не вказується окремо, будемо проводяться на
прикладі денних прибутковостей динамічного ряду S&P 500, довжина якого вибрана
такою ж, як і аналогічного ряду для ПФТС.
На рис. 2.1 показано, як вказаним методом можна знайти коефіцієнт Херста.
Рис. 2.1. Коефіцієнт Херста для прибутковостей динамічного ряду S&P500,
знайдений по методу R/S-аналізу.
Відомо, що розглянутий метод завищує значення коефіцієнта Херста. Як ми
побачимо пізніше, це не єдиний недолік методу R/S-аналізу. Тому перейдемо до
більш сучасних методів дослідження фрактальних властивостей.
2.2. Аналіз детрендованих флуктуацій (АДФ) нестаціонарних часових рядів
Аналіз детрендованих флуктуацій. АДФ базується на гіпотезі про те, що
корельований часовий ряд може бути відображений на самоподібний процес шляхом
інтегрування [148, 156]. Таким чином, вимірювання властивостей самоподібності
може непрямо свідчити про кореляційні властивості ряду. Переваги АДФ порівняно
з іншими методами (спектральний аналіз, R/S-аналіз [50]) полягають в тому, що
він виявляє довгочасові кореляції нестаціонарних, на перший погляд, часових
рядів, а також дозволяє ігнорувати очевидні випадкові кореляції, що є наслідком
нестаціонарності.
Існують АДФ різних порядків, що відрізняються трендами, які вилучаються з
даних. Розглянемо АДФ найнижчого порядку.
Часовий ряд довжини інтегрується, , де – і-те значення часового ряду, – його
середнє значення, . Ця дія повторює процес знаходження накопичень у
R/S-аналізі. Отриманий ряд розбивається на підпослідовностей (вікон) однакової
ширини і для кожної підпослідовності (у кожному вікні) виконується наступне: за
допомогою методу найменших квадратів знаходиться локальний лінійний тренд ;
підпослідовність детрендується шляхом віднімання значення локального тренду від
значень ряду , що належать підпослідовності ; 3) знаходиться середнє
детрендованих значень.
Для отриманих таким чином значень на всіх підпослідовностях знаходиться:
, (2.2)
де – кількість точок у підпослідовності (ширина вікна), – кількість
підпослідовностей, – середнє детрендованих значень для підпослідовності .
Вказана процедура повторюється для вікон різної ширини, внаслідок чого
отримується набір пар точок . Побудова залежності від та інтерполяція отриманих
значень прямою дає змогу обчислити показник скейлінга , що є коефіцієнтом кута
нахилу інтерполяційної прямої і характеризує зміну кореляцій логарифмічних
прибутків часового ряду при збільшенні часового інтервалу.
На рисунку 2.2 цей показник знайдений для того ж ряду прибутковостей, що і в
попередньому параграфі методом R/S-аналізу. У цьому випадку . Значення Н менше,
ніж одержане методом R/S-аналізу і, не дивлячись на відносно короткий ряд,
ближче до реального значення коефіцієнта Херста для американського
- Київ+380960830922