РАЗДЕЛ 2
Описание метода моделирования нестационарного течения совершенного газа в
решетках турбин
2.1. Математическая модель течения совершенного газа в решетках турбин
Исходная точка любого численного метода - математическая модель, то есть набор
уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных уравнений и
граничных условий. Модель выбирается для конкретного приложения (несжимаемая,
невязкая или турбулентная среда; двух - или трехмерное пространство, и т.д.).
Попытка разработки универсальной модели и метода решения, является
непрактичной, так как большинство универсальных инструментов, обычно не
являются эффективными для конкретного приложения.
Уравнения сохранения, в зависимости от системы координат и используемых
базисных векторов, могут принимать множество различных видов.
2.1.1. Выбор системы координат при описании движения среды в турбомашинах
От выбора системы координат зависит эффективность решения практической задачи.
При неудачном сочетании выбранной системы с геометрией расчетной области и
структурой течения, может существенно усложниться решение задачи. Можно выбрать
декартову, цилиндрическую, сферическую или криволинейную ортогональную или
неортогональную системы координат, которые могут быть фиксированными или
подвижными. Выбор зависит от исследуемого течения и может влиять на метод
дискретизации и используемый тип сетки. Форма представления векторных величин
также зависит от используемых базисных векторов.
Часто, имеет смысл, при расчете течения сделать так, чтобы стенки канала
совпадали с координатными линиями, в двумерном случае, или координатными
поверхностями - в трехмерном. Расчет течений с границами, не совпадающими с
координатными линиями, часто требует, при реализации граничных условий,
применять сложную интерполяцию на линии сетки.
Границами потока в турбомашине являются поверхности вращения, и использование
здесь декартовой системы координат может быть серьезным препятствием в
достижении практического результата.
Для описания течения среды в турбомашинах выберем криволинейную систему
координат (m, h, j), связанную с поверхностями вращения (рис. 2.1) [28]. Здесь
j - направление вращения, m – направленный по потоку вектор, касательный к
среднегеометрической поверхности вращения и нормальный к окружному направлению,
h – вектор нормальный к направлениям m и j.
Рис. 2.1.
При введении некоторых ограничений, накладываемых на течение, справедливо
трехмерное течение рассматривать как двумерное.
Допустим, что координатные поверхности h=Cкор и h=Cпер, ограничивающие область
течения, близки друг к другу, то есть величина Cпер?Cкор мала по сравнению с
радиусом r. Малость этой величины предопределяет малость изменения по
координате h значений плотности r, давления P, температуры T и компонент
вектора скорости Wm, Wj, что позволяет свести движение между поверхностями
h=Cкор и h=Cпер к двумерному движению на средней поверхности тока, где Wh = 0.
Таким образом, все параметры и компоненты вектора скорости являются функциями
координат m, j и времени t:
(2.1)
2.1.2. Уравнения законов сохранения массы, импульса и энергии в декартовой и
криволинейной системах координат
В рассматриваемой области пространства введем в направлении течения подвижные,
бесконечно тонкие, невесомые, непроницаемые для основного потока поверхности.
Физически такими поверхностями могут быть поверхности раздела струй течений,
которые разделяют среду с различной плотностью, температурой и другими
параметрами.
В случае нестационарного течения газа такие поверхности являются поверхностями
контактного разрыва параметров. В случае же стационарного течения такие
поверхности являются к тому же поверхностями тока.
Рассмотрим в момент времени t (рис. 2.2) произвольный элементарный объем V(t)
идеальной, сжимаемой среды. Пусть боковыми поверхностями элемента будут
введенные подвижные поверхности As(t) раздела струй течений. Поступление среды
в элемент происходит только через поверхность Ain(t) – входа. Истечение
происходит через поверхность Aou(t) – выхода.
Рис. 2.2. Элемент пространства
Для непрерывно распределенных в рассматриваемом объеме функций плотности (r),
компонент скорости (Wx, Wy), внутренней энергии (E), давления (P) законы
сохранения массы, импульса и энергии можно представить в интегральной форме. В
декартовой системе координат (x, y), при отсутствии кориолисова ускорения, они
выглядят следующим образом:
(2.2)
где: Wb- скорость движения подвижной границы элемента; A(t)- поверхность
расчетного элемента; V(t)- объем расчетного элемента.
- полная энергия единицы массы, e=СVT – внутренняя энергия единицы массы. Для
замыкания представленной системы уравнений используется уравнение состояния:
(2.3)
Система уравнений сохранения в виде (2.2), была успешно использована при
моделировании двумерных течений [24].
Опираясь на предложенную профессором Харьковского авиационного института Д.А.
Мунштуковым форму записи уравнений законов сохранения [28] в криволинейных
координатах (m, j) для неинерциальной системы, запишем основные уравнения для
моделирования течения среды в турбомашинах применительно к, рассмотренным выше,
непроницаемым поверхностям раздела:
(2.4)
где w - угловая скорость вращения неинерциальной системы координат относительно
инерциальной.
Предложенная математическая модель движения сплошной среды с подвижными,
непроницаемыми для основного потока, боковыми поверхностями требует для своей
реализации специфического численного метода. Перейдем к изложению этого
метода.
2.2. Проблемы дискретизации расчетной области при численном моделировании
течений
П
- Київ+380960830922