РАЗДЕЛ 2
ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
2.1. Выбор метода исследований
Решение задач устойчивости цилиндрических оболочек, частный случай которых
представляют вертикальные цилиндрические резервуары, состоит в определении
критических нагрузок и соответствующих им форм потери устойчивости. Тематика
исследований диссертационной работы связана с необходимостью решения задач
устойчивости цилиндрической оболочки при действии на нее внешнего давления,
характер распределения которого соответствует нагрузкам ветрового типа.
В общем случае уравнение устойчивости цилиндрической оболочки при действии
внешнего давления можно представить в виде:
; (2.1)
где - цилиндрическая жесткость оболочки;
- функция прогиба;
- координаты, направление которых показано на рис. 2.1;
- внутреннее усилие в кольцевом направлении, см. рис. 2.1;
- двойной оператор Лапласа, ; .
Решение однородного уравнения (2.1) при соответствующих однородных граничных
условиях сводится к решению двумерной задачи на собственные значения.
Аналитически решение таких задач возможно только для каких-то частных случаев:
равномерное внешнее давление, идеализированные граничные условия и т.д.
Рис. 2.1. Схема цилиндрической оболочки
В общем же случае для решения задачи приходится применять те или иные
математические приемы, позволяющие в принципе получать решение (2.1) в
аналитическом виде. Однако алгоритмы таких решений становятся очень громоздкими
и применение их для инженерных задач весьма проблематично. Тем более, что в
последнем случае, как правило, необходимо дополнительно учитывать, или, по
крайней мере, исследовать влияние целого ряда специфических для конкретных
конструкций факторов. Для цилиндрической стенки вертикальных резервуаров такими
факторами являются разнотолщинность поясов, коррозия, начальные несовершенства
геометрии и др.
Альтернативой аналитическим методам являются методы численные, позволяющие
решать задачи устойчивости с учетом всех основных конструктивных особенностей
рассчитываемых сооружений и различных законов распределения действующих на них
внешних нагрузок. В настоящее время среди численных методов наибольшее
распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). Метод построен на
известных классических принципах строительной механики, подкрепленных хорошо
развитым математическим аппаратом. Расчеты конструкций с использованием МКЭ
могут выполняться в линейной, а также в физически, геометрически и
конструктивно нелинейных постановках.
Все выше сказанное обусловило создание большого количества различных
программных комплексов (ПК) на основе МКЭ. В диссертационной работе все
исследования проводились с использованием программного комплекса ЛИРА 9.2,
разработанного Киевским НИИАСС, представляющего собой многофункциональный
программный комплекс для расчета, исследования и проектирования конструкций
различного назначения, а также с использованием универсального расчетного
комплекса COSMOS/М 2.6.
Во всех случаях общий алгоритм исследований поставленных в диссертации задач
сводился к тому, что для исходных оболочек с геометрическими параметрами,
охватывающими весь возможный диапазон параметров резервуарных оболочек,
выполнялись следующие операции:
Расчет бифуркационной задачи устойчивости при действии на цилиндрическую стенку
резервуара внешнего равномерного давления, на основе чего определялась
эффективная для рассматриваемой задачи конечно-элементная модель оболочки, а
также значения критического давления для различных параметров оболочек.
Расчет бифуркационной задачи устойчивости (линейная задача) при действии на
цилиндрическую стенку резервуара ветрового давления, на основе чего
определялось значение критического давления .
Расчет задачи нелинейного деформирования цилиндрической стенки резервуара при
действии ветрового давления, в результате чего определялось значение
критической нагрузки .
Определение предельной нагрузки , которую может выдержать оболочка: по меньшему
из двух значений ( или ) определялась нагрузка .
Определение коэффициента приведения ветровой нагрузки к равномерному давлению
по формуле:
. (2.2)
Применение при оценке устойчивости коэффициента , полученного по указанному
выше алгоритму, позволяет любой возможный закон распределения внешнего
давления, например, от сочетания ветровой нагрузки и вакуума, свести к
условному (эквивалентному) значению равномерного внешнего давления и
использовать для оценки устойчивости нормативное условие (1.1). Значения и
определялись как значения параметра неравномерного ветрового давления,
представляющего собой амплитуду активного ветрового давления в точке с угловой
координатой .
2.2. Теоретические основы программного комплекса ЛИРА 9.2
Программный комплекс (ПК) ЛИРА 9.2 построен на основе метода конечных
элементов, который по сути своей является вариационным методом. Реализованный в
ПК ЛИРА 9.2 вариант МКЭ использует принцип Лагранжа, т.е. принцип виртуальных
или возможных перемещений. Этот принцип состоит в том, что если какое-либо тело
находится в равновесии, то полная потенциальная энергия системы имеет
стационарное значение, т.е.:
, (2.3)
где , - соответственно, приращение элементарной работы внешних сил и
элементарной потенциальной энергии деформирования.
Интегрируя (2.3) получим:
или:
, (2.4)
Из (2.4) следует:
; (2.5)
где - полная потенциальная энергия системы;
- потенциальная энергия деформировани