РАЗДЕЛ 2
Методика численных расчетов. Результаты решения тестовой задачи
Уравнения Навье-Стокса, входящие в систему уравнений, описывающую процессы тепломассопереноса в расплаве, являются нелинейными и в общем случае не могут быть решены аналитически. В такой ситуации, когда получение аналитического решения по каким-либо причинам осложнено, широко и успешно применяют численные методы.
Одним из наиболее распространенных численных методов решения дифференциальных уравнений в частичных производных является метод конечных разностей. При использовании этого метода непрерывная область изменения параметров системы заменяется некоторым дискретным множеством точек. Такое множество точек называется сеткой, а отдельные точки - узлами сетки. Производные заменяются (аппроксимируются) при этом величинами типа
где , - узлы сетки, , а выражение означает аппроксимацию в точке , которые называются конечными разностями или разностными производными (говорят также, что дифференциальный оператор заменяется разностным оператором). Использование конечных разностей позволяет свести дифференциальное уравнение к системе алгебраических уравнений. Значения неизвестных в узлах сетки, полученные в результате решения такой системы, называют численным решением исходного дифференциального уравнения.
Если для некоторой краевой задачи определена сетка и с помощью нее задан способ аппроксимации уравнений и граничных условий, а также указан способ решения полученных в результате дискретизации алгебраических уравнений, то говорят, что для данной краевой задачи на этой сетке построена разностная схема. Свойства численного решения и, в частности, его близость к точному решению зависят от типа выбранной разностной схемы.
Аппроксимация дифференциальных уравнений, описывающих процессы переноса в жидкостях и газах, разностными уравнениями фактически сводится к решению двух сравнительно независимых задач: дискретизации по пространству диффузионного и конвективного членов этих уравнений и дискретизации по времени полученной в результате дискретизации по пространству задачи Коши.
Методы численного решения задачи Коши хорошо известны (см., например, [85, 86]), поэтому дискретизация по времени не вызывает проблем. Дискретизация диффузионного члена также не вызывает затруднений. Простая замена производных в соответствующем дифференциальном операторе конечными разностями позволяет обеспечить необходимую точность аппроксимации, не приводя к искажению численного решения.
Несколько большие трудности связаны с дискретизацией конвективного члена. В основном это обусловлено невозможностью построения схемы высокого порядка точности без нарушения условия монотонности схемы (теорема Годунова [87]). При этом, как известно, нарушение условия монотонности может приводить к качественному искажению численного решения. Так, например, при использовании схем с центральными разностями, имеющими второй порядок точности, в областях с большими градиентами потоков возникает нелинейная неустойчивость, приводящая к нефизическим осцилляциям решения. С другой стороны, строго монотонные схемы, такие как, например, схемы с разностями против потока, обладают большой схемной вязкостью, что приводит к потере точности схемы.
Одним из способов, позволяющим обойти указанные трудности, является использование так называемых гибридных схем. Они объединяют в себе свойства монотонных схем и схем повышенного порядка точности: в тех областях, где решение является гладким, применяются схемы повышенной точности, а в окрестности разрывов - схемы с искусственной вязкостью или монотонные схемы низкого порядка [88].
Другой путь заключается в использовании схем, не являющихся монотонными в строгом смысле, но обладающих близкими к этому свойствами. Преимущество их использования основано на том, что небольшое ослабление требования монотонности, с одной стороны, не приводит к искажению решения, как в случае схем с центральными разностями, а с другой - позволяет повысить точность схемы до второго и даже третьего порядка. К указанному типу относятся TVD-схемы, удовлетворяющие критерию невозрастания полной вариации (total variation diminishing) решения, и так называемые позитивные схемы, удовлетворяющие принципу максимума [88 - 91]. Несмотря на то, что требование позитивности является более мягким, чем критерий TVD, оба типа схем обладают свойством сохранения монотонности (monotonicity preserving) численного решения, что позволяет при их использовании избежать появления нефизических осцилляций. Преимуществом позитивных схем является сохранение ними высоких порядков точности при переходе от одномерных задач к двух- и трехмерным, что, строго говоря, невозможно для схем, удовлетворяющих условию TVD [91, 92].
Построение разностных схем для систем уравнений, описывающих процессы переноса в несжимаемых средах, осложнено отсутствием явного уравнения для определения поля давления. Существует два принципиально различных подхода, позволяющих преодолеть эту трудность.
Первый подход основан на использовании физических переменных - давления и скорости. В рамках данного подхода можно выделить две основные группы методов - это итерационные методы типа SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) [93] и разновидности так называемого метода маркеров и ячеек (Markers and Cells, MAC) [94, 95]. К первой группе относятся такие процедуры как SIMPLEC, PISO, SIMPLER. При использовании этих методик на каждом шаге по времени организуется итерационная процедура, в результате которой поля скорости и давления находятся из уравнений движения и уравнения неразрывности с помощью последовательных приближений. При использовании методов второй группы для определения скорости и давления на каждом шаге по времени решается уравнение Пуассона. В частности, в методе SMAC (Simple MAC) вводится потенциал скорости, решая уравнение Пуассона относительно которого, можно одновременно определить поправки, как к составляющим скорости, так и к полю давления. Характерной особ