РОЗДІЛ 2
Занурення твердого циліндричного тіла в рідину
через поверхню циліндричної порожнини
У даному розділі досліджується процес занурення нескінченно протяжного твердого
циліндру в акустичне середовище через поверхню циліндричної порожнини (плоска
задача).
Розглянуто різні моделі взаємодії циліндру з поверхнею порожнини, що
відрізняються граничними умовами на недеформованій поверхні порожнини: моделі
зі стисненою та з нестисненою вільною поверхнею порожнини. Проведено їх
порівняльний аналіз.
Постановка з нестисненою вільною поверхнею порожнини адекватно описує ранній
етап занурення циліндру в стисливу рідину через поверхню циліндричної
порожнини. На проміжку часу, поки акустична хвиля знаходиться в межах області
контакту (швидкість розширення області контакту більша за швидкість звуку в
рідині), вільна поверхня порожнини залишається недеформованою. На цьому
проміжку часу дана модель адекватно описує фізику процесу. З виходом акустичної
хвилі на вільну поверхню порожнини (швидкість розширення області контакту менша
за швидкість звуку в рідині) остання починає деформуватися. Відбувається підйом
рідини поблизу тіла, що занурюється. Це призводить до збільшення площі області
контакту, що впливає на величини основних характеристик процесу. Однак на
початковому етапі підйом рідини буде незначним. Крім того, зі зменшенням
значення зазору між порожниною та тілом вплив підйому рідини поблизу області
контакту на гідродинамічні і кінематичні характеристики процесу суттєво
зменшується. Таким чином, на розглянутому етапі процесу підйомом рідини можна
знехтувати.
Модель зі стисненою вільною поверхнею порожнини також адекватно описує процес
ударної взаємодії тіла з поверхнею порожнини на інтервалі часу, поки акустичні
збурення не вийдуть за межі області контакту. З виходом збурень на вільну
поверхню порожнини більш “жорсткі” умови на ній вносять певну похибку у
значення гідродинамічних навантажень, але оскільки, як буде показано нижче,
різниця в значеннях даних характеристик незначна, то цю спрощену методику можна
рекомендувати для одержання інженерних оцінок розвитку процесу, що суттєво
скоротить затрати комп’ютерного часу.
Також розглянуто випадок, коли зазор між порожниною та тілом близький до нуля.
Дана модель адекватно описує процес співудару тіла з поверхнею порожнини,
оскільки за нульового зазору підйому рідини поблизу тіла, що занурюється, не
спостерігається.
Постановка плоскої задачі удару кругового циліндра по поверхні циліндричної
порожнини
Розглянемо механічну систему: у безмежній рідини знаходиться
нескінченно-протяжна кругова циліндрична порожнина радіуса , всередині
порожнини знаходиться нескінченно-протяжний твердий круговий циліндр радіуса ,
вісь якого паралельна вісі порожнини, причому . Позначимо через величину зазору
між порожниною та тілом. Тіло під дією сили тяжіння робить поперечні удари по
поверхні порожнини. Нехай в початковий момент часу циліндр досягає поверхні
порожнини і починає занурюватися крізь неї зі швидкістю , причому початкова
швидкість занурення значно менша за швидкість звуку в рідині.
Рідину будемо вважати невагомою, баротропною, ідеальною, стисливою, а глибини
занурення у неї тіла крізь поверхню порожнини – малими, що дозволяє
скористатися для описання руху рідини хвильовим рівнянням в акустичному
наближенні і знести граничні умови на незбурену поверхню порожнини.
Рис.2.1
Зв'яжемо поверхню порожнини з нерухомою декартовою системою координат : центр
розмістимо на вісі порожнини, вісь направимо горизонтально; ось – вертикально
вниз, вісь – по вісі порожнини. Оскільки гідродинамічна картина процесу
занурення циліндричного тіла в рідину через поверхню порожнини в довільному
поперечному перерізі повторюється, то можна обмежитися розгляданням руху в
одному з перерізів, наприклад, у площині .
Контур перерізу порожнини (тобто, коло) в площині зв'яжемо з полярною системою
координат: центр перерізу – полюс полярної системи, – полярний кут, що
відкладається від додатного напряму вісі , – полярний радіус (рис.2.1).
Нагадаємо, що для плоского випадку вводилися наступні безрозмірні змінні:
, ,,
де – декартові координати, – полярні координати, – час, – радіус порожнини, –
густина рідини, – гідродинамічний тиск, – швидкість деформування поверхні
порожнини, – гідродинамічна сила, – швидкість звуку в рідині, – погонна маса
циліндра. Оскільки надалі будемо використовувати тільки безрозмірні змінні, то
риску над ними опустимо.
Рух ідеальної стисливої рідини в акустичному наближенні щодо хвильового
потенціалу описується в циліндричних координатах хвильовим рівнянням [60]
. (2.1.1)
Гідродинамічний тиск і швидкість деформування поверхні порожнини визначаються
за формулами:
, . (2.1.2)
Граничні умови представимо у вигляді:
у межах області контакту задана умова непроникності поверхні тіла для рідини
; (2.1.3)
на вільній поверхні порожнини тиск сталий і для спрощення приймаємо його рівним
нулю
. (2.1.4)
Збурення, викликані в рідині тілом, що занурюється у неї крізь поверхню
порожнини, на нескінченності затухають
. (2.1.5)
Оскільки до початку занурення рідина знаходилася в стані спокою, то будемо мати
нульові початкові умови
. (2.1.6)
Закон руху тіла в порожнині визначається диференціальним рівнянням
, , (2.1.7)
де гідродинамічна сила опору зануренню тіла з боку рідини обчислюється за
формулою
. (2.1.8)
Границя області контакту визначається, як точка перетину двох кіл, що обмежують
поверхні тіла та порожнини, та обчислюється зі співвідношення
, (2.1.9)
де – глибина занурення тіла в рідину через поверхню порожнини. Зазор в
безрозмірних позначеннях
- Київ+380960830922