Розділ 2
Математична модель еквівалентної
діелектричної проникності неоднорідного сипкого середовища
Особливістю діелектричної проникності сипких матеріалів є те, що вона має
щонайменше дві складові: діелектричну проникність власне матеріалу та
діелектричну проникність наповнювача (наприклад, повітря). Тому для правильного
визначення діелектричної проникності досліджуваного сипкого матеріалу треба
знати діелектричну проникність досліджуваної суміші.
Як вже зазначалося у розділі 1, робоча зона вимірювальної камери ємнісного
первинного перетворювача для вимірювання діелектричних параметрів СМ
представляє собою неоднорідне середовище, яке створене випадковим чином
орієнтованими зернами СМ різної форми та повітрям.
Для визначення ємності такого ЄПП необхідно знати так звану еквівалентну
діелектричну проникність неоднорідного сипкого середовища.
Нами запропоновано аналітичний метод визначення еквівалентної діелектричної
проникності неоднорідних систем, який базується на наступних припущеннях:
1. Враховуючи випадкову орієнтацію зерен і їх різну в деякій мірі форму, згідно
закону великих чисел можна усереднити вплив зернин на електричне поле,
приймаючи їх у вигляді кульок з певним статистично усередненим зовнішнім
радіусом R0. Якщо ж зерно має еліпсоїдну форму, з діаметрами а, b, c, то кулька
того самого об’єму буде мати еквівалентний радіус .
2. На підставі попереднього допущення і враховуючи реальну структуру зерна
(наявність зовнішньої оболонки), зернина розглядається як двошарова кулька з
шарами різної діелектричної проникливості та різного радіуса.
3. Для спрощення робоча зона вимірювальної камери ЄПП розбивається на
елементарні куби з довжиною ребра 2R0, у кожний з яких вписана зернина у
вигляді двошарової кульки.
4. Електростатичне поле в межах кубу розглядається як рівномірне поле
спотворене такою зерниною діелектричного СМ.
5. Очевидно, що при допущенні, зробленого в п. 4, протилежні сторони куба
перпендикулярні до вектора напруженості рівномірного поля вже не будуть
еквіпотенціальними, а будуть представляти собою обкладинки умовного плоского
конденсатора.
Виходячи з вищевказаного розглянемо спочатку задачу визначення ємності між
протилежними сторонами елементарного куба, описаного навколо зернини сипкого
матеріалу, яка представляє собою двошарову кульку.
Позначимо зовнішній радіус оболонки зернини R0, внутрішній радіус ядра зернини
Rn. Нехай середовище, в яке внесена діелектрична зернина, має відносну
діелектричну проникливість ec. Відносні діелектричні проникливості зовнішньої
оболонки зернини і внутрішнього ядра зернини позначимо через eз і eв відповідно
(рис. 2.1).
Рис. 2.1. Елементарна комірка із зерниною у вигляді двошарової кулі
Для більшої достовірності вираз для визначення еквівалентної діелектричної
проникності будемо шукати двома способами:
1. Методом середніх потенціалів [[i]], який базується на тому, що дві
протилежні сторони куба розглядаються як обкладинки елементарного конденсатора
і, визначивши потенціал у будь-якій точці куба (зовні діелектричної кулі, у
зовнішній оболонці та у внутрішньому ядрі діелектричної кулі), визначаємо
різницю потенціалів між обкладинками елементарного конденсатора та заряд на цих
обкладинках. Тоді ємність C між обкладинками цього куба визначаємо як
відношення заряду Q на обкладинках до різниці потенціалів U між обкладинками:
2. Метод еквівалентних ємностей складових досліджуваного неоднорідного
середовища [[ii]], який базується на визначенні еквівалентної ємності кожного
середовища, виходячи з енергії електричного поля We, яка накопичується у
кожному з цих середовищ:
2.1 Аналіз еквівалентної діелектричної проникності неоднорідного сипкого
середовища методом середніх потенціалів
2.1.1 Визначення потенціалу кожної складової неоднорідного сипкого середовища
(повітря, зовнішньої оболонки і внутрішнього ядра). Проведемо розрахунок
потенціалу у будь-якій точці елементарного куба за таких умов.
Нехай рівномірне електричне поле направлене вздовж осі Оz і має напруженість
електричного поля . Внесемо в це поле двошарову діелектричну кулю. Для опису
поля використаємо сферичну систему координат. Будь-яка точка цієї системи
описується поточними координатами R, q і y (рис. 2.2).
Рис. 2.2. До розрахунку потенціалу у будь-якій
точці простору елементарного куба
Внаслідок симетрії поле не залежить від координати y. Тоді згідно [42] рівняння
Лапласа має такий вигляд:
(2.1)
де ц – потенціал поля.
Застосуємо метод розділення змінних. Розв’язок будемо шукати у вигляді добутку
двох функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї координати:
(2.2)
тоді вираз (2.1) приймає такий вигляд:
(2.3)
У результаті рівняння (2.3) розпадається на систему рівнянь:
(2.4)
де А – довільна стала.
Якщо А = 0, тоді система (2.4) має такі розв’язки:
(2.5)
(2.6)
Якщо A № 0, тоді система (2.4) набуває наступного вигляду:
(2.7)
Останнє рівняння системи (2.7) можна записати так:
(2.8)
Рівняння (2.8) є рівнянням Лагранжа, частковим розв’язком якого є тільки при А
= 2. Такий розв’язок зумовлений тим, що кулі потенціал повинен прямувати до
виразу (як потенціал рівномірного поля).
У цьому випадку знаходимо розв’язок першого рівняння системи (2.7).
і отримуємо:
(2.9)
Отже, враховуючи (2.2), (2.5), (2.6) та (2.9) потенціал у будь-якій точці
простору описується у загальному випадку виразом
(2.10)
Якщо ж записати вираз (2.10) для кожного середовища, то отримаємо:
* для точок зовні діелектричної кулі:
(2.11)
* для точок у зовнішній оболонці діелектричної кулі:
(2.12)
* для точок у внутрішньому ядрі діелектричної кулі:
- Київ+380960830922