РОЗДІЛ 2
КАПІЛЯРНО-ГІДРОДИНАМІЧНІ ЕФЕКТИ ПРИ ФОРМУВАННІ БУЛЬБАШОК НА ТОНКИХ КАПІЛЯРАХ В РІДИНІ АБО РОЗЧИНІ ПАР
2.1. Математична модель утворення бульбашок на тонких капілярах
2.1.1. Вплив стисливості газу на процес зростання бульбашок
Розглянемо капіляр, один кінець якого сполучений з газовим резервуаром великого об'єму, а другий кінець занурений в досліджувану рідину. Внутрішню поверхню капіляра вважатимемо гідрофобною, внаслідок чого досліджувана рідина не проникає в капіляр після відриву бульбашки. Об'єм резервуару VS набагато більший об'єму бульбашок Vb, що формуються на капілярі, тому тиск газу в резервуарі PS практично постійний. На кінці капіляра, зануреному в рідину, тиск газу змінюється. Він залежить головним чином від капілярного тиску під викривленою поверхнею меніска. При не дуже великих швидкостях росту меніска його форма мало відхиляється від сферичної [75]. В цьому випадку капілярний тиск можна вважати рівним 2?/a, де ? - поверхневий натяг на межі рідина/газ, а - радіус кривизни меніска. Капілярний тиск максимальний, коли форма меніска наближається до півсфери з радіусом, рівним радіусу капіляра (а = aC). При швидкому зростанні бульбашки на тиск у ній впливають інерція і в'язкий опір рідини, тому тиск у бульбашці може залежати також від швидкості збільшення її об'єму. Різниця тиску між резервуаром і атмосферою PS - Patm повинна дещо перевищувати максимальний капілярний тиск у бульбашці 2?/aC, щоб забезпечити можливість її відриву. Капілярний тиск звичайно малий у порівнянні з атмосферним, тому відносні зміни тиску в системі в процесі формування бульбашок є малими.
Для аналізу впливу стисливості газу в капілярі розглянемо рівняння неперервності, яке може бути приведене до вигляду (Додаток А)
(2.1)
де t - час, x - координата, направлена уздовж капіляра, P - тиск, - середня по перерізу швидкість течії газу в капілярі і - модуль об'ємної пружності газу (с - густина газу). Звичайно швидку течію газу у великих об'ємах вважають адіабатичною, в цьому випадку B = ?P, де ?- адіабатична константа (для повітря ? = 1.4). Проте під час течії газу в тонкому капілярі істотну роль може відігравати теплообмін із стінками. При швидкому теплообміні течія буде ізотермічною, для якої B = P. Ясно, що ці два режими характеризують граничні випадки, і в реальному випадку модуль пружності матиме величину P < B < ?P.
В циліндричній системі координат з віссю x, направленою вздовж осі капіляра, рівняння руху газу чи рідини може бути приведене до вигляду (Додаток А)
(2.2)
де ux - компонента швидкості вздовж осі капіляра, - кінематична в'язкість середовища. У рівнянні (2.2) швидкість ux є функцією координат, x і r, та часу, тиск P є функцією координати x і часу. Це рівняння справедливе як для стисливого, так і для нестисливого середовища.
У довгих вузьких капілярах течія газу є повільною, тому профіль швидкості газу в капілярі мало відрізняється від стаціонарного [167, 168]. Для квазі-стаціонарної течії рівняння (2.2) може бути приведене до вигляду
(2.3)
де м - динамічна в'язкість газу, яку ми вважатимемо постійною, aC - внутрішній радіус капіляра. Стисливість газу характеризується модулем B в рівнянні (2.1). Чим більше цей модуль, тим менше стисливість газу впливає на його рух. При B > ? можна знехтувати залежністю швидкості газу v і градієнта тиску ?P/?x від координати x. В цьому випадку рівняння (2.3) переходить у рівняння Пуазейля.
Два доданки в правій частині (2.1) характеризують два різні механізми впливу стисливості на потік газу в капілярі. Перший доданок відображає нестаціонарність потоку, обумовлену зміною тиску в бульбашці при її зростанні. При швидкій зміні тиску в капілярі не встигає встановлюватися лінійний профіль тиску, характерний для Пуазейлівської течії. В результаті маси газу, що втікають в капіляр і витікають з нього в одиницю часу, можуть бути різними. Газ може або накопичуватися в капілярі або витікати з нього в більшій кількості, ніж втікає з резервуару. Це залежить від напряму зміни тиску (Рис.2.1). При збільшенні тиску в бульбашці (на стадії часу життя, поки меніск менший за півсферу) витікання газу з капіляра сповільнюється, і газ накопичується в середині капіляра. При зниженні тиску в бульбашці (на стадії мертвого часу) газ витікає з капіляра в більшій (ніж той, що втікає) кількості. Хоча ця кількість газу мала, вона може бути порівняною з кількістю газу у бульбашці. У випадку стаціонарної течії перший доданок в правій частині (2.1) не дає внеску.
Рис.2.1. Розподіл тиску в капілярі при підвищенні (a) або зниженні (б) тиску у бульбашці. Локальна швидкість газу визначається градієнтом тиску.
Другий доданок відображає ту обставину, що внаслідок різниці тисків газ на вході в капіляр і на виході з нього має різну густину. При цьому швидкість газу на виході з капіляра виявляється дещо більшою, ніж на вході, навіть якщо маса газу, що втікає і витікає, є однаковою. Ця обставина зберігається й у разі стаціонарної течії. Таким чином, слід розрізняти дві складові впливу стисливості газу - "нестаціонарну" і "стаціонарну".
У більшості випадків другий механізм впливу стисливості газу ("стаціонарна" складова) вносить малий внесок у порівнянні з першим. Це пов'язано з тим, що різниця тиску на кінцях капіляра, яка має той же порядок, що і капілярний тиск в бульбашці (~1000-2000 Па), є набагато меншою за атмосферний тиск (~105 Па). Дійсно, відповідно до (2.3) швидкість газу можна оцінити як , де ДP - різниця тиску на кінцях капіляра, l - довжина капіляра. Звідси для лівої частини (2.1) і для другого доданку у правій частині отримуємо такі оцінки і . Другий доданок у правій частині (2.1) набагато менший за ліву частину, оскільки включає малий у порівнянні з одиницею множник ДP/B (величина B того ж порядку, що й атмосферний тиск). Тому, як правило, другим доданкам в правій частині (2.1) можна знехтувати. Виключенням є випадок дуже повільних змін тиску, коли перший доданок в правій частині (2.1) теж малий. Це відповідає двом