Радиационная кинетика и нелокальный перенос энергии в высокотемпературной плазме

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
КОЇ-ПДЕПЦИИ "КРАМЕРСОВСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ" (КрЭД). ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ ИОНАХ.
1.1. Метод 2-мерной квазиклассики в теории неупругих (включая многоквантовые) переходов электрона в центральном поле притяжения. Принцип соответствия и критерии классичности
1.1.1. Квазиклассическая волновая функция задачи рассеяния в центральном поле
1.1.2. Квазиклассический матричный элемент радиационного перехода в центральном поле
1.2. Обоснование КрЭД - нового классического метода расчета радиационно-столкновительных электрон-атомных процессов
1.2.1. Высокочастотная асимптотика классического спектра излучения электрона в центральном поле притяжения
1.2.2. Обобщение "вращательного" приближения
1.2.3. Квазиклассическое описание высокочастотного спектра. Критерии классичности спектра и сублинии.
1.2.4. О связи квазиклассичности движения электронов с классичностью спектра их излучения
1.3. Тормозное излучение (ТИ) электронов на многоэлектронных атомах и ионах
1.3.1. ТИ на многоэлектронных атомах. Сравнение с экспериментом
1.3.2. Универсальная формула для спектра ТИ электронов на многоэлектронных ионах
#
4
Глава 2. ПОЛЯРИЗАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ ФЕРМИ. 68
2.1. Поляризационное излучение как нерезонансное рассеяние эквивалентных фотонов (ЭФ). Универсальная связь спектров поляризационных и обычных радиационых
переходов. Обобщение метода ЭФ на квантовое движение 70
2.1.1. Метод эквивалентных фотонов Ферми для радиационно-столкновительных процессов 70
2.1.2. Возбуждение как поглощение ЭФ атомом 74
2.1.3. Диэлектронная рекомбинация как резонансная флюоресценция эквивалентных фотонов 77
2.1.4. Поляризационное излучение как нерезонансное рассеяние эквивалентных фотонов 79
2.2. Поляризационный связанно-связанный переход - новый
механизм релаксации возбуждения атома 82
2.3. Разрушение метастабильиого атомного уровня как нерезонансное комбинационное рассеяние ЭФ. Универсальное аналитическое описание ударного и статического механизмов 87
2.3.1. Ударное уширение как нерезонансное комбинационное рассеяние эквивалентных фотонов 88
2.3.2. Обобщение поляризационного подхода на случай
статической поляризации 89
2.3.3. Поляризационный вклад электронов в интенсивность запрещенных линий в плазме с многозарядными ионами 93
3
9
*
2.4. Многофотонное вынужденное поляризационное излучения
многозарядных ионов в гшазме в сильном лазерном поле 93
2.4.1. Многофотонное вынужденное тормозное излучения при произвольной квантовости движения. Приближение заданного тока для многофотонных процессов при столкновениях заряженных частиц с МЗИ. 95
2.4.2. Метод заданного тока для многофотонного вынужденного поляризационного излучения. Обобщение метода ЭФ на многофотонный случай 101
Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В РАДИАЦИОННОЙ КШШТИКЕ 109
3.1. Радиационный каскад в ридберговском атоме. Кинетика рекомбинации электронов на водородоподобный ион (обобщение радиационной части задачи Беляева-Будкера на квантовый случай). Законы подобия и универсализация результатов квантовых численных расчетов 110
3.1.1. Классическое кинетическое уравнение 112
3.1.2. Квантовое кинетическое уравнение в квазиклассическом
случае 114
3.1.3. Связь квазиклассического решения с квантовой каскадной матрицей. Алгоритм построения решения в общем квантовом
случае 119
3.1.4. Населенности атомных уровней при фоторекомбинационном источнике заселения 123
3.1.5. Квазиклассические законы подобия. Сравнение с квантовыми численными расчетами 126
3.2. Нестационарная кинетика ионизации/рекомбинации многоэлектронного атома в плазме 132
3.2.1. Ионизация тяжелой примеси в горячей плазме 133
3.2.2. Обобщение модели на случай переменной концентрации электронов 140
4
Глава 4. НЕЛОКАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ В
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЕ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
4.1. Обобщенный метод прострельного выхода в теории переноса излучения в дискретном и непрерывном спектрах
4.1.1. О проблеме нелокальности в теории переноса излучения
4.1.2. Основные определения нелокальности переноса
4.1.3. Основные уравнения
4.1.4. Формула для полных потерь энергии конечным объемом
4.1.5. Примеры нелокальности переноса в спектральном континууме
4.2. Самосогласованное описание переноса излучения в непрерывном спектре и квазилинейной диффузии электронов
4.3. Перенос тепла ЭМ волнами в непрерывном спектре. Нелокальность переноса тепла продольными волнами в плазме.
4.3.1. О возможности обобщения концепции нелокального переноса на перенос в непрерывном спектре и перенос продольными волнами
4.3.2. Уравнение перенос тепла ЭМ волнами в непрерывном спектре
4.3.3. Нелокальность переноса тепла продольными волнами в плазме
Глава 5. ЗАДАЧИ НЕЛОКАЛЬНОГО ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ В ЛАБОРАТОРНОЙ И КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ
5.1. Пространственное распределение мощности потерь на электронное циклотронное излучение (ЭЦИ) в токамаках-реакторах
5.1.1. История проблемы и современный статус задачи
5.1.2. Расчет полных потерь на ЭЦИ плазмы токамака: тест обобщенного метода прострельного выхода
5.1.3. Пространственный профиль энергобаланса воли в среде при нелокальном переносе
5.1.4. Численный код СУЛЕС>
5
5.1.5. Бенчмаркинг численных кодов 219
5.1.6. Подобие профилей потерь и новая возможность оценки
точности кодов 224
5.1.7. Быстрый упрощенный код ("симулятор") профиля
потерь на ЭЦИ 229
5.2. Кинетическая нсравновссиость электронов вследствие переноса собственного ЭЦИ плазмы в токамаках-реакторах 234
5.2.1. Численный код СУЫЕр-КШ для самосогласованных расчетов радиального профиля потерь на ЭЦИ и кинетики надтепловых электронов в плазме токамака 235
5.2.2. Влияние переноса собственного ЭЦИ на профиль
потерь на ЭЦИ 237
5.3. Рассеяние резонансного излучения в газах, испытывающих квазисвободное расширение в среде. Эффект неравновесного
допплеровского уширения в тяжелом газе, инжектированном в разреженную атмосферу 245
5.3.1. Актуальность задачи 245
5.3.2. Пространственно-временная динамика газа тяжелых атомов,. инжектированного в разреженную атмосферу 246
5.3.3. Уравнение переноса излучения в неравновесном газе 251
5.3.4. Оптическая длина пути и функция перераспределения фотона в неравновесном искусственном газовом образовании 255
Глава 6. НЕКОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМОЙ И ТОМСОНОВСКАЯ ДИАГНОСТИКА 259
6.1. Эффект конечности времени пребывания электрона в
рассеивающем объеме 259
6.1.1. Эффект КВП электрона в рассеивающем объеме 260
6.1.2. Анализ предшествующих работ. Об иллюзорности
эффекта конечного объема 266
#
%
6.2. Поляризационные характеристики излучения
6.2.1. Формулы для квантового сечения рассеяния в случае произвольных поляризационных состояний фотонов
6.2.2. Сравнение с классическим сечением рассеяния.
Об ошибочности ряда предшествующих работ
6.3. Спектры томсоновского рассеяния лазерного излучения высокотемпературной плазмой и диагностика ее температуры
6.3.1. Формулы для спектра томсоновского рассеяния
6.3.2. Численные расчеты и корректировка аппроксимационных формул
6.4. Определения энергетических характеристик различных групп электронов при ЭЦ нагреве плазмы в открытой ловушке
6.4.1. Основные характеристики функции распределения электронов
6.4.2. Алгоритм гомсоновской диагностики энергетического спектра электронов
6.5. Алгоритм однозначного восстановления одномерной функции распределения (ФР) электронов при поддержании тока в токамаке.
6.5.1. Постановка задачи
6.5.2. О возможности однозначного восстановления ФР по спектру томсоновского рассеяния
6.5.3. Оценка возможности восстановления ФР в стандартной схеме измерения
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Благодарности
ПРИЛОЖЕНИЯ
1.1. Преобразование поправки в двумерном методе
стационарной фазы
1.2. Схема демонстрации принципа соответствия для
матричного элемента одноквантового перехода
7
271
271
276
279
280
283
288
288
292
301
301
303
306
312
315
317
318
1.3. Получение квантовой поправки к сечению ТИ в крамерсовской
области для степенных потенциалов из результатов двумерной квазиклассики
1.4. Схема демонстрации принципа соответствия для матричного
элемента многоквантового перехода
3.1. Квантовые поправки к вероятности радиационного перехода
3.2. Аппроксимация источника фоторекомбинационного заселения
5.1. Расчет сечений столкновения атомов бария и кислорода ЛИТЕРАТУРА
/
*
л
320
323
327
328 330 332
8
Радиационная кинетика и процессы нелокального переноса энергии в
высокотемпературной плазме играют важную роль в расчетах энергобаланса
плазмы и ее диагностике. Поэтому для плазменных систем со сложной
радиационной кинетикой значительный теоретический и практический интерес
представляет разработка аналитических методов и получение результатов, как
выявляющих основные физические закономерности (включая законы подобия),
так и пригодных к использованию в качестве универсальных блоков в численном
моделировании. Развитие таких методов наиболее актуально для систем,
характеризуемых сильной взаимозависимостью физических процессов с
существенно различными пространственными и временными масштабами.
Фактическим механизмом такого рода взаимозависимости в
высокотемпературной плазме является прямой обмен энергии между различными
точками среды путем поглощения/испускания квантов электромагнитного поля -
как поперечного (фотонов), так и продольного (плазмоиов) - с длиной пробега,
сравнимой с размерами системы. Формируемый таким образом перенос энергии
оказывается нелокальным (недиффузионным), а характерная для него резкая
чувствительность к спектральным/угловым зависимостям локальных
характеристик среды (коэффициентов поглощения/испускания) приводит к
взаимозависимости переноса и сложных макро- и микроскопических процессов -
от кинетики ионизационного распределения и распределения частиц по скоростям
до элементарных радиациоино-столкновителытых процессов, кинетики
населенности атомных уровней, включая такие процессы формирования
населенностей и спектральных функций как многочастичные механизмы
уширения спектральных линий. Среды, в которых реализуется такая
радиационная кинетика, достаточно разнообразны и охватывают, в частности,
высокотемпературную плазму в термоядерных системах магнитного и
инерционного удержания [1-3], оптически плотную горячую плазму с
многозарядными ионами (МЗИ) в источниках коротковолнового излучения [4,5],
оптически плотную плазму с сильно неравновесной динамикой и др. В этих и
9
других исследовательских проектах [1-6] важной задачей является разработка методов спектроскопической диагностики.
В диссертации представлены результаты разработки универсальных методов радиационной кинетики на трех различных уровнях описания:
• вероятностей элементарных радиационио-столкновитсльных процессов,
• кинетики радиационно-столкновительных процессов (расчет населенности атомных уровней и ионизационного распределения),
• процессов нелокального переноса.
Разрабатываемые методы являются развитием существующих методов на всех трех вышеуказанных уровнях описания (см. монографии и обзоры [7-20]).
Основное внимание уделено радиационно-столкновительным элсктрон-атомным процессам в плазме с МЭИ и нелокальному (недиффузионному) переносу тепла электромагнитными волнами в высокотемпературной плазме в непрерывном и дискретном спектрах. Эффектам нсравиовесности в ее "диагностическом" аспекте посвящена заключительная часть диссертации, где проведен критический анализ и развиты методы лазерной диагностики плазмы/газов в различных плазменных системах в условиях существенной неравновесности функции распределения по скоростям (токамаки и открытые ловушки при электронно-циклотронном нагреве плазмы и поддержании тока, искусственные газовые образования в ионосфере).
Соответственно, основные цели работы формулируются следующим образом:
(1) разработка аналитических методов описания вероятностей и кинетики радиационно-столкновительных электрон-атомных процессов в плазме, позволяющих использовать их в качестве универсальных блоков в численном моделировании плазменных систем со сложной радиационной кинетикой;
(2) исследование механизмов нелокального (недиффузионного) переноса тепла электромагнитными волнами в высокотемпературной плазме в дискретном и непрерывном спектрах, существенных для ее энергобаланса и диагностики, и разработка универсальных аналитических методов их описания;
(3) анализ и развитие методов лазерной диагностики плазмы/газов в различных плазменных системах условиях существенной неравновссности распределения по скоростям (токамаки, открытые ловушки, искусственные газовые образования в ионосфере).
Основное содержание настоящей работы представлено следующими задачами радиационной кинетики и нелокального переноса энергии в высокотемпературной плазме.
1. Метод 2-мерной квазиклассики для неупругих (включая многоквантовые) переходов электрона в центральном поле притяжения. Квантовомеханическое обоснование выдвинутой В.И.Коганом концепции "Крамерсовской электродинамики" - нового классического метода расчета радиационно-столкиовительных электрон-атомных процессов. Универсальная формула для спектра тормозного излучения электронов на многоэлектронных атомах с произвольной кратностью ионизации.
2. Универсальное аналитическое описание спектров поляризационного излучения в непрерывном и дискретном спектрах, в том числе нового процесса - связанносвязанных поляризационных переходов, а также миогофотонного вынужденного поляризационного излучения. Аналитическое описание - в рамках единого поляризационного подхода - ударного и статического механизмов разрушения метасгабильного атомного уровня в плазме .
3. Аналитическое описание радиационного каскада в ридберговском атоме методом квазиклассической атомной кинетики (обобщение радиационной части задачи Бсляева-Будкера на квантовый случай) и нестационарной кинетики ионизации многоэлектронного атома в горячей плазме.
4. Обобщенный метод прострельного выхода в теории нелокального
(недиффузионного) переноса тепла электромагнитными волнами в дискретном и
непрерывном спектрах (обобщение метода Л.М.Бибермана в теории переноса
резонансного излучения на случай непрерывного спектра и полного
перераспределения по произвольным переменным фазового пространства).
Аналитическое представление полной мощности и плотности мощности потерь
11
энергии горячей плазмой на циклотронное излучение на случай произвольного механизма излучения/поглощения и неоднородной среды. Самосогласованное описание переноса излучения в непрерывном спектре и квазилинейной диффузии электронов по скоростям, исследование роли неравновесности электронов, обусловленной переносом интенсивного излучения.
5. Аналитическое описание нелокального переноса тепла продольными волнами в плазме в формализме теории переноса резонансного излучения (уравнения Бибермана-Холстейна). Качественная модель переноса тепла волнами в плазме с сильным отражением на границе среды.
6. Аналитическое описание рассеяния резонансного излучения в газах, испытывающих квазисвободиое расширение в среде. Эффект неравновесного допплеровского уширения в тяжелом газе, инжектированном в разреженную атмосферу. Алгоритмы диагностики распределения электронов но скоростям по спектрам томсоновского рассеяния лазерного излучения (при электронноциклотронном нагреве плазмы в открытой ловушке и поддержании тока в токамаке, в релятивистских электронных пучках).
Разработанные аналитические методы описания радиационной кинетики и
нелокального переноса энергии представляют практический интерес для расчета
энергобаланса и диагностики плазмы в силу их пригодности к использованию в
качестве универсальных блоков в численном моделировании плазменных систем
со сложной радиационной кинетикой. Использование развитых универсальных
методов для получения целого ряда конкретных аналитических результатов дает
хорошее согласие последних с результатами существующих численных расчетов
и экспериментом. Полученные результаты позволили, в частности, получить
универсальные формулы для ряда радиационно- столкновительных процессов,
определяющих поведение плазмы с многозарядными ионами, провести расчеты
полных потерь на электронное циклотронное излучение и его локального
энергобаланса для условий магнитного термоядерного реактора (типа токамако
ITER). Разработаны алгоритмы диагностики по спектрам томсоновского
рассеяния лазерного излучения для целого ряда плазменных систем (токамаков,
12
открытых ловушек, релятивистских электронных пучков) в условиях неравновесности, развиты теоретические основы для экспериментов по лидарному зондированию искусственных оптически плотных газовых образований в ионосфере.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях (МК) и симпозиумах: XIX МК по явлениям в ионизованных газах (ICPIG, Белград, 1989), 14-й, 20-й, 21-й и 22-й конференциях МАГАТЭ по физике плазмы и управляемому синтезу (Wuerzburg, Германия, 1992; Vilamoura, Португалия, 2004; Chengdu, Китай, 2006, Женева, 2008 ), 17-й, 20-й, 24-й, 31-й, 32-й, 33-й и 34-й конференция Европейского физического общества по физике плазмы и управляемому синтезу (Амстердам, 1990; Лиссабон, 1993; Berchtesgaden, Германия, 1997; Лондон, 2004; Tarragona, Испания, 2005; Рим, 2006; Варшава, 2007), III МК по диагностике плазмы (Дубна, 1983), Советско-Британские Симпозиумы по спектроскопии многозарядных ионов (Москва 1986, 1991), XI и XII МК по уширению спектральных линий (ICSLS) (Carry La Rouet, Франция, 1992; Торонто, Канада, 1994), МК но физике плазмы (Нью-Дели, Индия, 1989), III и IV МК по плотным Z-пинчам (Лондон, 1993; Ванкувер, 1997), МК по открытым плазменным системам для управляемого синтеза (Новосибирск,
1993), Советско-Американский симпозиум по физике D-3He реакторов (Москва, 1991) и Американо-Японское совещание по физике D-JHe плазмы (Нагоя, Япония,
1994), 6-м и 7-м Симпозиумах «Современные направления в международных термоядерных исследованиях» (г. Вашингтон, CIIIA, 2005 и 2007 гг.) и других.
Основные результаты опубликованы в работах [21-52].
Глава 1. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ КОНЦЕПЦИИ "КРАМЕРСОВСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ" (КрЭД). ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА МНОГОЭЛЕКЗ РОННЫХ ИОНАХ. 123,25,31,32,37]
В настоящей главе дано квантовомеханическое обоснование [23,25,31,37]
концепции "Крамсрсовской электродинамики" (КрЭД)- нового, классического
метода расчета радиационно-столкновительных электрон-атомных процессов, а
также представлен один из конкретных результатов применения метода -
универсальная формула для спектра тормозного излучения электронов на
многоэлектронных атомах с произвольной кратностью ионизации [25,32].
В разделе 1.1 развит метод 2-мерной квазиклассики в теории неупругих (в
том числе многоквантовых и индуцированных) переходов электрона в
центральном поле. Здесь путем предельного перехода Ь=>() получены принцип
соответствия для матричного элемента неупругого перехода в непрерывном
спектре и квантовые поправки к нему, что позволяет установить критерии
классичности соответствующих вероятностей перехода. Здесь решены такие
задачи как получение квазиклассической волновой функции (ВФ) задачи
рассеяния в центральном поле - ее предельной формы и квантовой поправки к
ней, явное прослеживание перехода к траекторному описанию, анализ условий
классичности вероятности неупругого перехода в зависимости от
квазиклассичности движения частицы (для произвольного неупругого процесса в
центральном поле последнее возможно только в рамках 2-мерной квазиклассики).
Применение полученных в этой главе общих результатов к неупругим процессам
в центральном поле притяжения показало (раздел 1.2), что достаточным условием
классичности спектрального распределения для вероятности (радиационного)
перехода на частоте со оказывается квазиклассичность движения электрона в той
области пространства, которая ответственна за излучение этой частоты.
Практически это означает классичность спектров тормозного и
14
рекомбинационного излучений электронов горячей плазмы в широком диапазоне частот (значительно превышающем начальную энергию электрона Е), причем не только для кулоновского случая, но и для широкого класса потенциалов, включающих атомный и ионный. Проведенное рассмотрение дает квантовомеханическое обоснование выдвинутой В.И.Коганом (см.[53,54,31,37]), в развитие [55-59,25] (см. также [60,61]), концепции "Крамерсовской электродинамики" - нового, классического метода расчета радиационно-столкновительных электрон-атомных процессов, одним из ключевых элементов которой является исправление постоянно встречающейся в литературе ошибочной трактовки роли параметра неупругости Ьсо/Е « 1 как необходимого условия классичности спектра (см. напр. [62] (2-е изд., 1980, с.436,438), [63] (с.329), [64-66], а также подробнее - [37], раздел 1) . В целом концепция КрЭД может рассматриваться как прямое и должным образом квантовомеханически обоснованное обобщение подхода Крамерса [67], впервые распространившего классический подход к описанию тормозного излучения медленной (ге^/Ьу » 1) частицы в кулоновском поле на область сильной неупругости относительно начальной энергии частицы Е (т.е. на тормозное излучение для частот йсо ~ Е и даже на фоторекомбинацию) на
(1) некулоновский случай;
(2) переходы в дискретном спектре;
(3) безызлучательные неупругие процессы.
Формированию этой концепции во многом способствовали квазиклассические и полуклассические подходы, развитые (главным образом для кулоновского случая) в работах [57,58,68-78].
Практические возможности КрЭД в описании элементарных радиационно-
столкновительных процессов проиллюстрированы в разделе 1.3 на примере
универсального аналитического описания спектров тормозного излучения
электронов умеренных, квазиклассических энергий, наиболее характерных для
плазмы с многозарядными ионами. Там дано аналитическое описание спектров
15
тормозного излучения электронов на многоэлектронных атомах и его обобщение на случай тормозного излучения на ионах с произвольной кратностью ионизации.
1.1. Метод 2-мерной квазиклассики в теории неупругих (включая
многоквантовые) переходов электрона в центральном поле притяжения. Принцип соответствия и критерии классичности
1.1.1. Квазнклассическая волновая функция задачи рассеяния в центральном поле
(1а). Рассмотрим волновую функцию (ВФ) задачи рассеяния в центральном поле в виде разложения по парциальным волнам ([79], параграфы 32, 123). Для нахождения квазиклассической ВФ используем квазиклассическое решение для ВФ радиального движения. Разделяя ВФ на падающую ("іп")и рассеянную ("out") волныпо асимптотике на больших расстояниях, получаем:
(г.*)
(2£+l)P£(costf)
ЫО 2ikr (1-иг/Е)
(1.1)
г (г)
wr*#) = 1
(гг+i) p£(cosd)
1/4 {е
2і6г+ІФг
г=о
U =U (г) +h2£ (г+1) /2тг2 где і ;
(1.2)
5^- фазы рассеяния, q2 = 2тЕ s
*
%
В суммах (1.1), (1.2) отброшены члены с £>£%(т), так как при h-»0 они дают экспоненциально малый вклад. На больших расстояниях Ф^—>0, и формулы (1.1),
(1.2) переходят в соответствующие формулы теории рассеяния [79].
(2а). Поскольку при основной вклад в суммы (1.1), (1.2) дают значения 6>1, можно перейти к соответствующему интегралу, заменив P£(cos(«9)) его
асимптотикой по С из [80]. Подынтегральные выражения при fc—»0 являются
быстроосциллирующими функциями, что позволяет вычислять интегралы методом стационарной фазы. Так, для действия, соответствующего рассеянной волне, из (1.2) находим:
h
S (r.tf) = S = lim —г In Ф.в S (М(г, #), г, tf)
out 3 fHO 1 out 3 (1.4)
CD Г
= M(n + ö) + J* (pCr^.Ml-q) dr^- qrQ(M) + J p(r/,M}dr/
г (M) г (M)
° ° (1.5)
где p2(r,M) 3q2-2mU(r)-M2/r^, а функция координат M(r,.9) является решением уравнения
л + # = Y (M,cd) + у (М, г) (1.6)
г
Y(M, г) = J Mdr'V р(/,М)(/)2
го(М) (1.7)
верхний знак в (1.5) и (1.6) соответствует случаю поля отталкивания, а нижний -притяжения.
Функция М(г,.9) представляет собой первый член разложения по h значения
переменной интегрирования t в точке стационарной фазы подынтегрального
выражения,
17
£*(г,£,їО = — М (г,#) -Ь
1
2
(1.8)
Сказанное можно рассматривать как на более прямую демонстрацию принципа соответствия для момента количества движения, поскольку уравнение (1.6) является не чем иным, как параметрическим уравнением траектории (точнее,ее части, см. ниже) для частицы в центральном поле, обладающей моментом, равным М(г,.9). Соотношение (1.8) демонстрирует приближенный характер известной замены £(£+1) на (£+1/2)2. Вышеизложенное дополняет существующие
обоснования вышеуказанной замены (см. например [81,82]).
В поле оггалкивания единственное решение уравнения (1.6), удовлетворяющее условию
существует только для сильного поля (которое по определению удовлетворяет условию {тах[и(г)] > Е} в области классической доступности).
Для поля притяжения предварительно сделаем следующую оговорку. Уместно выписывать все промежуточные результаты только для наиболее простого случая отсутствия интерференции классических ветвей рассеяния. (При наличии последней терялась бы возможность единой записи промежуточных формул для полей притяжения и отталкивания). Для атомных потенциалов в практически интересующем нас интервале значений параметров (начальных энергий электрона, заряда ядра) указанное требование, как можно показать, выполняется. Что касается окончательного результата для матричного элемента (его классического предела и квантовой поправки), то он представлен в форме, допускающей непосредственное обобщение на случай произвольной конечной степени интерференции ветвей рассеяния (т.е. исключая лишь падение на центр и закручивание).
Для оговоренного класса полей притяжения единственное решение уравнения (1.6), удовлетворяющее условию (1.9), существует во всей области г и 3 или, по
(М(г,.9)—»сопб!} при {г—Но, .9=СОП5І},
(1.9)
18
меньшей мере, в ее части (последнее относится к случаю аЬз(51пи/Э1пг)<1). Заметим еще, что как раз для этого класса потенциалов оказывается достаточной простая замена суммы по £ в (1.1), (1.2) интегралом (в общем случае такая замена
дать лишь один из членов некоторого ряда).
Действие (1.5) удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби и имеет правильную асимптотику: 8з(г,^) -к}г при г-»со.
Отметим, что эффективные значения дающие основной вклад в интеграл,
удовлетворяют, как видно из (1.8), условиям (1<<: ^я ИРИ г-*00»
(2) /*»!•
В поле притяжения часть траектории, описываемая уравнением (1.6), соответствует, углу поворота частицы, большему я, и лежит в другой полуплоскости по отношению к начальной части траектории. Можно сказать, что в поле притяжения деление классической волны на падающую и рассеянную происходит на оси рассеяния (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Схема "формирования" падающей (области 1 и 2)и рассеянной (область 3) волн классическими траекториями частиц с одинаковыми начальными скоростями (направленными по оси Т) и различными прицельными параметрами в центральном поле притяжения. Кривая между областями 1 и 2 - геометрическое место точек поворота радиального движения различных траекторий.
В поле отталкивания в рассеянную волну дает вклад часть траектории, лежащая за точкой ее соприкосновения с областью классической недоступности, находящейся в свою очередь заточкой поворота радиального движения (рис. 1.2).
Рис. 1.2. То же для центрального поля отталкивания. Кривая из точек перехода между частями траектории 2 и 3 является границей классически доступного движения. Соответственно, область 4 классически Fie доступна.
(За). В отличие от рассеянной, в падающей волне основной вклад в интеграл дают такие значения I, что при г -»со имеем £ « ^eff <^(г). Это соответствует
тому, что в уравнении для точки стационарной фазы, определяющем функцию М(г, »9 ), нас будет интересовать решения, удовлетворяющие условию
M(r,.9)~qr при {r-»oo,*9=const} (1-10)
Падающая волна оказывается разбитой на две области, в которых действие выражается различными формулами. В первой области
S.Cl) з S.Cr.el з S. (М(г, О), г,й)
1П 1 1
СО
§1(М, Гу’д) = М(лН?) + J (р(гЛ М) - q) dr^ -qr
(1.11)
где M(r, «9 ) определяется из уравнения
-1
п - в = у(м,сп) - у(м, г) = І маг^г/2р(гЛм)|
(1.12)
Эта область является частью полуплоскости {г,«9}, ограниченной линией поворота (ЛП) - геометрическим местом точек поворота радиального движения, так что в нее дают вклад начальные участки траектории вплоть до точки поворота. Уравнение для ЛП имеет вид
00 . /чх /2 -1/2 . /
СІГ
(Е - и(г ))г
- 1
(Е - и(г))г2
/
(1.13)
Во второй области (в поле притяжения - остальная часть полуплоскости (г, 3), а в поле отталкивания - область между ЛП и границей классической доступности) имеем
(2)
Б іп = 52(г,0) = §2 (М (г,0),г,0)
ш Г
/
Б2 (М, г,0) = М (л-0) + J |р (/,М) ~ч| сі/ - чго(М)+ J р(г/,М) сіг'
(1.14)
г (М) г (М)
о о
с соответствующим уравнением для М(г, 3 )
п-д = У (М, ю) + У (М,г). (1.15)
Отметим,что в поле отталкивания уравнение (1.15) совпадает с (1.6), но нас в этом случае интересует другая ветвь решения, а именно удовлетворяющая условию (1.10).
Напомним, что подробная запись интегралов в (1.5), (1.7), (1.11), (1.12), (1.14) имеет вид типа
Г Г М2Гг Л) 1/2
/ рс/.юа/-! {ч2 - гшіЛ - —
г (М) г (М) /
о о
сі/
21
Уравнения (1.12), (1.15) также являются параметрическими уравнениями соответствующих частей траектории частицы с моментом, равным величине
мм).
Полученные действия (1.12),(1.15) удовлетворяют уравнению Гамильтона-Якоби, и обладают асимптотической плоской волны, 8!->-цг аЬз(со8.9 )^г при г—>00.
(4а). Результаты п.п. 2а,За справедливы в пределах применимости исходных формул фазовой теории рассеяния. Однако их нетрудно обобщить и на случай полей, убывающих как кулоновское или еще медленнее. Это достигается путем переопределения фаз рассеяния 5^, которые фактически заменяются на разность
§£-5о, что соответствует поиску решений уравнения Шрсдингера с асимптотикой
вида
1кг-16 (г) 1 1кг+15 (г)
= е ° + — Г (О) е °
г-»00 г (1Л6)
где
5о(г) = I (р<Лч) ар/ - чгоо; ро = ^ Ч2-2"0 ’ гоо=гои=0)
г
оо
Тогда описанным выше способом получаем для действия в медленно убывающих полях:
© ©
Б^СМ.г,#) = М(тт~£) + J Р(г/,М)с1г/ - J роСг/)<1г/
Гоо (1.17)
© © ©
§? (М, г,0) = М(л-Ф) + J р(г/,М)бг/ - J ро(г/)(±г/ + J рСг^,МЫг7,
г (М) г г (М)
о оо о
22
CD
œ
§3(М, г,г?) = М(тг+#) + J p(r/,M)dr/ - J pQ(r/)dr/ + J
г (M) о
oo
г (M) о
где зависимость M(r,«9) дается соответственно уравнениям (1.12), (1.15), (1.6).
(5а). Метод стационарной фазы, использованный при нахождении действия, позволяет найти и следующие члены разложения по h в квазиклассической ВФ. Из соответствующих формул [83] (стр. 103) путем перегруппировки членов асимптотического ряда по h для вклада невырожденной стационарной точки получаем (см. также Приложение 1.1).
X +Ô о
[* f(x)exp
х -5 о
- S(x) h
dx
h-*o
Znh
ts"(x )l
1/2 iS(x )
O 171
exp-{------------- + — sgnS (x)
h 4 °
ih
f +
f -
4S
if's'" * fSIV
5 • Г" 2
12 s" ✓
X=X
(1.18)
где штрихи обозначают производные.
Для вычисления предэкспоненты в квазиклассической ВФ с точностью до членов ~ Й необходимо с такой же точностью знать входящие в интеграл по £
функции Р^(соб^) и Хк€(Г) •
Для радиальной ВФ Хк£(г) поправку ос й можно извлечь из соответствующей
формулы (46.11) [79] (см. функцию а2), подставляя в нее в качестве нижнего предела интегрирования радиус точки поворота (г0) и интегрируя затем по частям до исчезновения расходимости в интеграле, с отбрасыванием при этом бесконечных констант. Тогда получаем
X - ехр-Ы
1 г / / 1 h :
— J (р(г ,M))dr - — lnp + — О)
с. с.
(Ы9)
23
-w =
1 r , / 1 p dr г /А g 2 //A g 1 // P / P
24 J , A p(r ) / g / g ‘ + 24 / PP 6p2
+ const
(1.20)
где р2(г) =& = я2-2ши(г)-Ь2^(^+1)/г2, а штрих обозначает частную производную
по г.
Этот результат, однако, еще не является окончательным, так как, в соответствии со сказанным выше (см.формулу (1.8) и пояснение к ней), необходимо перейти к (£+1/2)2 вместо £(£+1), тогда как в (1.19), (1.20) пока всюду
содержится только последнее. И, наконец, приводя хкС К необходимой
асимптотике на больших г (см.формулу (33,20) в [79], полагая в ней, по определению,
V* м +бм +мм
получаем искомый результат - формулу (1.19) с заменой в ней со на со, для которой имеем
1 Г А / о /// // о /
1 - <1г. / 3 ( й ч2х 1 р
1 г (
- й(М,г) = —j ——
. Р(г ’М) Г
г (М) о
г //
14+]
^ v рр ;
/2 / g
// Р
(+)} - 4
g
РР/у
г=г
(1.21)
где уже & = р2(г,М) = ц2-2ти(г)-М2/г2. Отсюда получаем дефинированнос выше $2)> совпадающее с результатом [84]. В частном случае кулоновского поля,
и=а/г, находим выражение, совпадающее с получаемым из точных квантовых формул [79]:
hd
(2)
М
1 qh
24 m| ос|
1 +
24
qM
ma
-1
(1.22)
Применяя теперь метод стационарной фазы (см. (1.18)) к интегралам, заменяющим суммы (1.1), (1.2), в которых уже
1 ®
фн(г) = — Дд - р(г/,М)|с1г/ - Ьо)(М, г)
г (1-23)
и отбрасывая экспоненциально малые по Ь члены, окончательно приходим к следующему результату для предельной квазиклассичсской ВФ и поправок к ней:
і іті
— Б.(г,д) + ------------ sgn
//
м
іл
► *
*
1 ам^(г,*)< 1/2 1 + іїис (г,Ч)[
4
ЯзіпФ дг )
(1.24)
где М)(г,,9) задаются соответственно уравнениями (1.12), (1.15), (1.6), .9)
даются формулами (1.11), (1.14), (1.5), штрихи обозначают частные производные, и А\ - - Д2 = 1, Аз = -2±1.
Для квантовых поправок к имеем
к1.2(г>в) = + ‘ " (М1,2'Г) + Т (М1,2>Г’в) + “Й
1.2
К1.2(М1.2>Г--9)
(1.25)
к3(г,3) = - о)(М3,г) ± Т(М3>г,^) +
3 (1.26)
где, как и выше, верхний знак соответствует полю отталкивания, нижний -
притяжения,
м
/
Т(М,г,*Э =
(С}2+1) (5Я2-1)
М
///
4М
2 7/ (Я +1) м^2
4(<13 /А 2
2М
оф2
. (V) 1 3 <<>4
(1.27)
25
где (3=М/гр(г,М). Приведем также соотношения между величинами, фигурирующими в (1.24) - (1.27):
м„МзЧ-Н
-«О <■*>
Поскольку при получении (1.24)-(1.27) учитывался только вклад точек стационарной фазы и не учитывался вклад границ области интегрирования (см.( 1.18) и подробно [83], справедливость этого результата следует проверить путем подстановки его в известные уравнения для членов квазиклассического ряда для ВФ - уравнение Гамильтона-Якоби для действия и уравнения для величин о и к:
1Б
ф = ехр + сг +
К - Л *.]
V Г
Асг +
/ д 1
Б = О, А = 2Б -------------------- + 2Б
г аг 9 г2 аа
(1.29)
(1.30)
-А к + (дг + - Дй]а + (/) + (- о/) = О
3
А
(1.31)
где Аг и - радиальная и угловая части лапласиана, оператор А/ч - производная вдоль траектории. Для любой гладкой функции ф имеем
А0(М(г,£))=О.
Указанная проверка сводится к принципиально простым, хотя и громоздким (в силу параметрического задания функции М|(г,,9)) выкладкам, которые тем не менее, благополучно приводят к обращению уравнений в тождества.
Как видно из (1.24) - (1.26), а и к имеют особенности:
_//
(1) на каустике - границе классической доступности, где 5м2=0 в поле отталкивания;
26
00 на оси рассеяния, 3 = 0, п .
Хотя вблизи ЛП производные 8 имеют особенности, в а и к последние оказываются взаимно скомпенсированными (для <т это было показано в [85]). Это и следовало ожидать, поскольку а и к являются решениями уравнений (1.30),
(1.31), а расходимости в отдельных членах обусловлены исключительно выбором конкретного способа получения результата (разложение по функциям радиального движения).
1.1.2. Квазиклассический матричный элемент радиационного перехода в центральном поле
(1Ь). Используя результаты раздела 1.1.1, перейдем к рассмотрению квазиклассического матричного элемента перехода в непрерывном спектре.
Для выполнения предельного перехода й—>0 в матричном элементе необходимо перейти от интегрирования по пространственным координатам .к интегрированию по классическим траекториям. Последнее достигается путем выбора соответствующих новых переменных. Для рассматриваемого случая движения в центральном поле такими переменными являются величины {МД,^}, где М - момент импульса частицы на траектории, у - полярный угол относительно оси рассеяния, 1 - время движения по фиксированной (в смысле задания М и <р ) траектории.
Очевидно, что роль уравнений связи между координатами {М,1,^} и сферическими координатами {г, 3, у) играют уравнения движения, записанные в форме равенства производных действия некоторым константам (см. [86]) и в конечном итоге (с учетом наличия в обоих наборах одной и той же переменной у) сводящиеся к виду
п-т?1 2=У(М,т) - + У(М,Г1 2) ГЛ,2 шйг7
-+ І
/
г (М) Р(Г ’М)
гг+1?3 = У(М, со) + У(М,І~3)
= 1
Г л /
з шсіг
р(Г/, М)
5Б
^~ = М Р
-Т7Г- = І + і о Е о
(1.32)
(1.33)
(1.34)
(1.35)
где З р - полярный угол начального импульса электрона. При стандартном выборе
оси рассеяния «9р=0, поэтому уравнение в правой колонке (1.Э2) следует
вычислять в пределе 3 р-»0, что фактически соответствует дифференцированию 5
по 3 , в результате которого получаем уравнение
М = М(г, 3 ,Е),
где М слева является траекторией константой метода нахождения уравнения траектории по действию, а М(г,«9,Е) является соответственно решением уравнений (1.12), (1.15), (1.6). Разрешение полученного уравнения относительно 3 и приводит к (1.32), (1.34).
Для якобиана перехода к новым переменным из (1.32) - (1.35) получаем
тгу*Р р(г^.М)
0(М, и т
(1.36)
Таким образом, исходный интеграл для матричного элемента разбивается на
сумму слагаемых,
2п со о (1) Т (2) <3
Л Пг..#1п +|ат2...^п <■} мо3...фоиЬ}
О О
-О)
(1.37)
где 1=0 - момент прохождения точки поворота радиального движения, т - момент пересечения оси рассеяния в случае поля притяжения или момента соприкосновения с границей классической доступности в случае поля отталкивания.
28
(2Ь). ВФ конечного состояния в новых переменных выражается в виде полученных в разделе 1.1.1 структур, обобщенных на случай несовпадения оси рассеяния и направления падающей плоской волны, причем эта ВФ должна быть связана с начальной ВФ известной операцией комплексного сопряжения и замены знака у импульса (см. [79]), что в квазиклассическом пределе допускает наглядную интерпретацию: комплексное сопряжение ведет к обращению времени на траектории, а дополнительная замена знака у импульса делает сферическую волну падающей, а плоскую - рассеянной.
Для ВФ конечного состояния, соответствующей }-тому участку траектории в £-той области ВФ начального состояния имеем
вектора р')у а зависимости г^(МД,Е) и 3£ (г&М,Е) находятся из уравнений (1.32) -
В итоге интеграл (1.37) разбивается на четыре слагаемых. Его вычисление с помощью двумерного метода стационарной фазы (необходимые для которого формулы, выводимые из [83], приведены в Приложении 1.1) в главном члене по Ь кратко изложено в Приложении 1.2. Для матричного элемента величины А (г) получаем:
= ф* (М^г^.е"'), г£>гг,Е/)
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(для выбранной нами системы координат с 0 , где <р!.и 31 - сферические углы
(1.35).
29
<f1А|i>=
2nh
m
d cr 1/2 * ІФ І7Г ( / /\ *
neat A exp 0) r "STM2j 11 — \ f / %
— — . Ї» 4 it w ■ 0 J
(1.41)
где
d<r . M (00, &) scat з
da
2 . _/ q sintf
/
есть классическое сечение рассеяния электрона из состояния с начальным
импульсом р в состояние с импульсом р' |Ц!т, Аш - фурье-компонента величины
\р\
А(г{Х)) для траектории г (І), соответствующей указанному акту рассеяния, со = (Е-Е/УЙ,
Ф(М,0) = §1(М, г,д) + §3(М,г,д); ф* = ф (М3Кі/:), /)
Выражение для квантовой поправки к классическому пределу однофотонного матричного элемента получается из второго члена ряда по Ь в методе стационарной фазы. Переходя обычным образом от матричного элемента к сечению перехода в непрерывном спектре, выпишем в явном виде окончательный результат для интересующего нас случая ТИ:
4
dtr
da)
2a>
Зле
3 KcatH'2 + 2№е(3Ы'ё)}
2nMdM
d<r
scat
(1.43)
= J dteiG)t d^(M, t) |u13 (M, t)-rj(-t-T) + u12(M, t) jrj(-t)-
-m
~т\(—Ь—т+и21(М, О £гї(т-и + и31 (М, |
где q=^7i, г|(х)=0 при х<0 и ц=1 при х>0 (единичная функция),
(1.44)
ЗО
£
*-* t/l
N>1
*
ГО *-*
л»
ft
с,
t— t:
з: \ u ч —' ч
N
U
з: ч
ГО 4 •6 \
*4
S
з: \
N
“П
з: \
з: \ w \
X 4 •6 \ ro \
з: <
"CO
*4
з: \ to \
3 N •6 \
ro
СП I
111
CO I
N C,. *
m
N
*
COI
2 \
ro 4
M \
CO I
ro
4
N
CO I
и
N
\
\
(^5
COI
\
N
U
VS*
ГО
І
ГО
*1
J*
•Ф
x
£
COI
N
\
CO I
\
4
+
N І Є
ГО
СЛІ
m \
N \
СЛІ
COI
ro
N
\
I
ro
\
J4
ro
COI
з: \
.10 N
+
ro і є
•a
ro
3
44
ON
44
СЛ
*
<£ = О
в иоле отталкивания зі , а в поле притяжения
* * ■* *
(р =0у <р =<р =<р = л
*31 13 12 21
Зависимости і](М,1), 5](МД) и ^ =^(}А,\,(р ') даются формулами (1.32) - (1.35),
(1.39), (1.40).
Отметим, что примененный при получении (1.43)-(1.49) метод стационарной фазы (по переменным Ми ^ для фиксированного 1) естественным образом отражает преимущество вычислений в траекторных координатах, где его использование значительно проще но сравнению с применением метода в других переменных.
(ЗЬ). Обсудим результат (1.43) - (1.49). Уже главный по Й член представляет определенный интерес, поскольку его вывод (включая, разумеется, и вывод
предшествующей формулы (1.41) для матричного элемента) является явной
демонстрацией предельного перехода и тем самым дает аналитическое выражение принципа соответствия для переходов между состояниями непрерывного спектра в центральном поле. Такая демонстрация по существу отсутствует в литературе -прежде всего для наиболее важного (и к тому же единственного, допускающего полную классическую аналогию) процесса ТИ. Так, краткое обсуждение этого вопроса в [62,79] относится только к переходам в дискретном спектре ([62], стр. 194), а для непрерывного спектра - к одномерному случаю ([79], стр.209). Отметим, что для частного случая кулоновского поля в работе [87] получено (правда, без должной записи в терминах сечения рассеяния) некоторое "операторное" соотношение (формула (6) [87]), из которого легко получить принцип соответствия для матричного элемента (1.41) в кулоновском ноле.
В квантовой поправке к классическому пределу матричного элемента отдельные ее слагаемые могут быть интерпретированы как обусловленные, во-первых, отклонением движения рассеиваемой частицы от классического (члены с к| и к^) и, во-вторых, некпассичностью самого процесса излучения, вклад которой