РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ
МНОГОСВЯЗНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
2.1. Основные соотношения электроупругости анизотропного тела
Основные соотношения трехмерной электроупругости. Рассмотрим однородное анизотропное тело из пьезоэлектрического монокристалла. Будем предполагать, что
1. Тело является однородным диэлектриком с пренебрежимо малым намагничиванием, его материал обладает прямолинейной анизотропией.
2. Деформации тела малы и подчиняются обобщенным уравнениям электроупругого состояния.
3. Объемные силы, начальные и моментные напряжения пренебрежимо малы; свободные заряды отсутствуют.
Отнесем тело к прямоугольной декартовой системе координат . Основная система уравнений электроупругости будет состоять из
уравнений равновесия сплошной среды [98]
, ,
; (2.1)
уравнений вынужденной электростатики [39]
, ,
, ; (2.2)
термодинамических уравнений состояния [44]
,
,
,
,
,
,
,
,
(2.3)
и уравнений совместности Сен-Венана [111]
, ,
,
,
,
. (2.4)
Здесь
, , ,
, , ; (2.5)
, , ; (2.6)
, , , , , и , , , , , - компоненты тензоров напряжений и деформаций; , , - проекции вектора перемещений; , , , , , и - компоненты векторов индукции, напряженности и потенциал электростатического поля; - коэффициенты деформации материала тела, измеренные при постоянной напряженности поля; - пьезоэлектрические модули индукции и деформации; - коэффициенты диэлектрической проницаемости, измеренные при постоянных напряжениях. Уравнения состояния (2.3) можно записать и в матричном виде
, , (2.7)
где
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , , ; (2.8)
, , - соответствующие матрицы коэффициентов в соотношениях (2.3). Здесь и далее, повторяющиеся индексы означают суммирование по ним. Уравнения состояния (2.3) записывают и в виде [44]
,
,
,
,
,
,
,
,
. (2.9)
Здесь - коэффициенты деформации материала тела, измеренные при постоянной индукции; - пьезоэлектрические модули напряженности и деформации; - коэффициенты диэлектрической восприимчивости, измеренные при постоянных напряжениях. Уравнения состояния (2.9) в матричном виде записываются так
, . (2.10)
Решая системы (2.3), (2.9), найдем и такие формы записи уравнений состояния:
, ; (2.11)
, , (2.12)
где и - модули упругости, измеренные при постоянной напряженности и индукции соответственно; и - пьезоэлектрические модули напряженности и упругости и индукции и упругости; и - коэффициенты диэлектрической восприимчивости и проницаемости, измеренные при постоянной деформации.
Заметим, что по коэффициентам матриц одной из форм записи уравнений состояния можно получить другие, используя формулы пересчета [44]
, , ,
, , ,
. (2.13)
Систему уравнений (2.1) - (2.4) необходимо интегрировать при определенных условиях на границе тела, где могут задаваться значения усилий, перемещений, индукции или потенциала электростатического поля. После решения этой системы станут известными основные характеристики электроупругого состояния, т.е. напряжения, деформации, перемещения, напряженность, индукция и потенциал поля. Тогда можно найти и приводимую ниже плотность внутренней энергии в теле.
Плотность внутренней энергии. Для деформируемого пьезоэлектрического тела первый закон термодинамики в дифференциальной форме записывается в виде [39]
, (2.14)
где - функция внутренней энергии, причем точка означает производную по времени.
Для нахождения плотности внутренней энергии (значение на единицу объема) рассмотрим термодинамический потенциал упругой энтальпии
. (2.15)
Дифференцируя (2.15) по времени и учитывая (2.14), получаем
. (2.16)
Выберем в качестве независимых переменных компоненты тензора напряжений и вектора электростатической индукции . Тогда полная производная по времени запишется в виде
. (2.17)
Сравнивая выражений (2.16) и (2.17), получаем
, , ,
, , ,
, , . (2.18)
Учитывая (2.9) и интегрируя (2.18), для будем иметь
. (2.19)
Учитывая равенства (2.9), выражение (2.19) приведем к виду
. (2.20)
Тогда из (2.15) с учетом (2.20) получим выражение для плотности внутренней энергии в билинейной форме
. (2.21)
Подставляя (2.9) в (2.21), получаем следующее выражение плотности внутренней энергии через напряжения и индукцию
. (2.22)
С учетом указанных выше термодинамических соотношен