Исследования в категории пронильпотентных алгебр Ли

Содержание
Введение .....................................................4
1. Категория пронильпотентных алгебр Ли .....................14
1.1. Обратные спектры и обратные пределы ..................14
1.2. Определение пронильпотентной алгебры Ли ..............15
1.3. Алгебры Ли с пронильпотентной топологией .............17
1.4. Топологический линейный базис пронильпотентной алгебры Ли.................................................20
1.5. Конструкция свободной пронильпотентной
алгебры Ли ............................................21
2. Свободное пронильпотентное произведение в категории пронильпотентых алгебр Ли .................................25
2.1. Предварительные сведения .............................25
2.2. Свободное произведение в классе пронильпотентных алгебр Ли .................................................27
3. Подалгебры свободной пронильпотентной алгебры Ли .........33
4. Идеалы свободного произведения пронильпотентных
алгебр Ли .................................................40
4.1. Предварительные сведения о свободном произведении алгебр Ли ..........................................41
4.2. Свободные дифференциальные расширения ................43
4.3. Идеалы свободного произведения дискретных алгебр Ли 48
4.4. Теоремы об идеалах свободного пронильпотентного произведения пронильпотентных алгебр Ли ............51
5. Аналог теоремы Грушко в категории пронильпотентных
алгебр Ли ...................................................59
Список литературы .............................................63
З
Введение
Теория нильпотентных групп, нильпотентиых колец и алгебр над полем играет исключительную роль в структурной теории групп и колец. Начиная с пятидесятых годов ХХ-го столетия эти классы групп и колец были расширены до класса групп, аппроксимируемых нильпотентными группами, и класса колец (алгебр), аппроксимируемых нильпотентными кольцами (алгебрами). Далее для этих классов алгебраических систем были получены многие важные результаты. Перечислим только те из них, которые имеют отношение к данной диссертации. А.И. Мальцев занимался проблемой нильпо-тентной аппроксимируемости колец и алгебр [13]. Отметим теорему А.И. Мальцева (1949) о том, что свободное произведение алгебр Ли, аппроксимируемых нильпотентными алгебрами, есть нилыютентно аппроксимируемая алгебра Ли. Используя эту теорему А.И. Ширшов по линейным базам алгебр Ли А и В построил линейную базу для свободного произведения А * В в классе алгебр Ли (см. [16]).
Г.П. Кукин [8] доказал, что декартова подалгебра свободного произведения алгебр Ли является свободной алгеброй Ли и конструктивно описал систему свободных порождающих, а, следовательно, и линейный базис декартовой подалгебры.
Известно, что на группе (алгебре), аппроксимируемой нильпотентными группами (алгебрами), можно определить (многими способами) так называемую пронильпотентную топологию, превращая тем самым группу (алгебру) в топологическую группу (алгебру). Кроме того, существует стандартная процедура, например, с по-
4
мощью обратных пределов обратных спектров, пополнения такой топологической группы (алгебры) так, чтобы получилась прониль-потентная группа или алгебра, т.е. такая, в которой имеет предел любая чистая последовательность Копій. Таким образом, возникает новая категория алгебр Ли над нолем - категория пронильпотент-ных алгебр Ли над полем.
Настоящая диссертация посвящена изучению свойств объектов категории пронильпотентных алгебр Ли. Мы вводим понятия свободного объекта и свободного произведения в этой категории и обобщаем результаты А.И. Мальцева, А.И. Ширшова, Г.П. Кукина для объектов новой категории. Мы изучаем также подалгебры свободной пронильпотентной алгебры Ли над полем и идеалы свободного произведения алгебр в этом классе.
Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы и занимает 65 страниц. В работе принята следующая нумерация основных структурных единиц. В каждой главе все теоремы, определения, леммы и замечания имеют сквозную нумерацию.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
Первая глава диссертации посвящена описанию категории пронильпотентных алгебр Ли. Если алгебра Ли Л над полем аппроксимируется нильпотентными алгебрами Ли, то на А ядра соответствующих аппроксимаций щ определяют фильтрацию Та — {Л* | і € /}, при этом алгебра Л превращается в топологическую алгебру Ли, причем система идеалов {/1* = кегщ \ г Є 1} - базис открытозамкнутых окрестностей нуля. Фильтрация Та определяет обратный спектр нильпотентных алгебр Ли (подробнее см. раздел 1.2) и
5
обратный предел этого спектра называется пронильпотентной алгеброй Ли и обозначается ЛЖ^А. Далее мы определяем категорию пронильпотентных алгебр Ли над полем к. Объектами этой категории являются пронильпотентные алгебры Ли над полем к, а морфизмами являются непрерывные гомоморфизмы пронильпотентных алгебр Ли. Далее мы вводим понятие топологического линейного базиса для пронильпотентной алгебры Ли над полем к (построение топологического линейного базиса пронильпотентной алгебры Ли см. в разделе 1.4). И в заключение главы строится свободный объект в рассматриваемой категории - свободная пронильпотент-ная алгебра Ли.
Во второй главе мы вводим стандартным категорным способом свободное пронильпотентное произведение пронильпотентных алгебр Ли над полем к. Поскольку часто категорное определение является не совсем удобным в приложениях, мы даем конструктивное описание свободного пронильпотентного произведения двух иронильио-тентных алгебр Ли над /с, эквивалентность этих определений доказана в теореме 2.2.5.
Прежде, чем сформулировать теорему 2.2.5, опишем систему идеалов, задающую нужную фильтрацию на свободном произведении дискретных алгебр Ли над к.
Пусть А^ліВ*уугв - пронильпотентные алгебры Ли над полем к с множествами Х,У топологических порождающих соответственно. Пусть Л° = А°(Х), В0 = В0{У) - алгебры Ли над /с, с множествами порождающих X, У соответственно. Рассмотрим алгебру Ли Р° — А0 * В0 - свободное произведение дискретных алгебр Ли над к.
б