Модельные уравнения теории поля с унитарной и псевдоунитарной калибровочной симметрией

Оглавление
1 Уравнения Дирака-Максвелла 16
1.1 Пространство Минковского
и тензорные ПОЛЯ.............................................. 16
1.2 Алгебра матриц Дирака........................................ 18
1.3 Уравнения Дирака-Максвелла
в пространстве Минковского.................................... 21
1.4 Зарядовое сопряжение спиноров Дирака......................... 29
2 Модельные уравнения Дирака-Максвелла 31
2.1 Связь 7-матриц с псевдоунитарной группой..................... 31
2.2 Модельная система уравнений
Дирака-Максвелла.............................................. 32
2.3 Модельные уравнения Дирака-Максвелла
с калибровочной псевдоунитарной симметрией.................... 33
2.4 Формула для С^............................................... 34
2.5 Спиноризация модельных уравнений............................. 36
3 Алгебры Клиффорда 41
3.1 Группы, векторные пространства,
алгебры................................................... 41
3.2 Алгебры Грассмана Л(п)....................................... 43
3.3 Алгебры Клиффорда С£(р, q)................................... 45
3.4 Клиффордово умножение
элементов алгебры Грассмана................................... 49
3.5 Коммутаторы и антикоммутаторы................................ 50
3.6 Теорема о свертке генераторов ............................... 58
3.7 Операторы сопряжения......................................... 59
3.8 Комплексные алгебры Клиффорда 64
3.9 Структура унитарного (или евклидова)
пространства на алгебрах Клиффорда............................ 65
3.10 Эрмитовы идемпотенты, левые идеалы
и смежные структуры .......................................... 69
2
3.11 Нормальные представления элементов алгебр Клиффорда
в виде комплексных матриц........................................ 72
3.12 Матричные представления алгебры С?(1,3).......................... 78
3.13 Другие матричные представления
алгебры С?( 1,3) ................................................ 81
3.14 Вторичные генераторы алгебры СЛ.(1,3)............................ 83
3.15 Простейшие операции над элементами алгебры СХ(1,3)............... 84
4 Группы и алгебры Ли,
связанные с алгебрами Клиффорда 88
4.1 Унитарная группа алгебры Клиффорда................................ 88
4.2 Случай алгебры Клиффорда С£(1,3).................................. 90
4.3 Псевдоунитарная группа
алгебры Клиффорда................................................ 93
4.4 Симплектическая подгруппа
псевдоунитарной группы........................................... 97
4.5 Спинориые и ортогональные группы..................................100
4.G Экспонента от элементов
второго ранга.................................................. 104
4.7 Внешняя экспонента от элементов
второго ранга....................................................107
4.8 Группы Pin(l,3), Pin+(1,3), Spin(l,3), Spin+(1,3) и Pin (1,3) .... 112
4.9 Множество Cfp00( 1,3) и амплитуда ...............................114
4.10 Унитарные подгруппы псевдоунитарной, симплектической и спинор-ных групп ............................................................118
5 Модельные уравнения теории поля
в формализме алгебры Клиффорда 124
5.1 Тензоры со значениями
в алгебре Клиффорда..............................................124
5.2 Уравнения Янга-Миллса............................................126
5.3 Модельные уравнения
Дирака-Янга-Миллса...............................................127
5.4 Характеризация объектов в модельных уравнениях...................131
5.5 Ковариантные преобразования
и симметрии модельных уравнений..................................133
5.6 Свойства модельных уравнений Дирака-Янга-Миллса..................137
5.7 Гамильтонова форма модельных
уравнений Дирака-Максвелла.......................................140
5.8 Локализация
псевдоунитарной симметрии........................................145
5.9 Модельные уравнения
с двумя полями Янга-Миллса.......................................149
5.10 Полудивергентный вид модельного уравнения Дирака................152
5.11 Модельные уравнения Дирака-Ян га-Миллса
с локальной спинорной симметрией................................152
5.12 Гипотеза об описании античастиц и частиц противоположного спина 155
6 Модельные уравнения на псевдоримановом многообразии 161
6.1 Псевдориманово спинориое
многообразие....................................................161
6.2 Модельные уравнения
на псевдоримановом многообразии.................................169
6.3 Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией
на псевдоримановом многообразии.................................173
7 Модельные уравнения
в формализме алгебры Атьи-Келера 178
7.1 Дифференциальные формы и тетрада
на спннорном многообразии.......................................178
7.2 Тензоры со значениями
в алгебре Атьи-Келера...........................................181
7.3 Унитарные, псевдоунитарные и спинорные группы
в формализме алгебры Атьи-Келера................................183
7.4 Формальные частные производные Vц...............................185
7.5 Операторы ★, с/, с5.............................................188
7.6 Связь спинорного многообразия Л"1,3
с пространствами Римана-Каргана.................................190
7.7 Формальные ковариантные производные.............................194
7.8 Модельные уравнения
с псевдоунитарной симметрией....................................196
7.9 Модельные уравнения
с локальной спинорной симметрией................................201
8 Модельные уравнения теории поля в матричном формализме 206
8.1 Модельные уравнения
Дирака-Максвелла................................................206
8.2 Модельные уравнения
Дирака-Янга-Миллса..............................................209
8.3 Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса
с локальной псевдоунитарной симметрией..........................211
8.4 Модельные уравнения
с двумя полями Янга-Миллса......................................214
8.5 Модельная система уравнений
со спинорной локальной симметрией...............................217
4
9 Специальные модельные уравнения 222
9.1 Основная идея................................................. 222
9.2 Алгебры Ли антиэрмитовых дифференциальных форм.................228
9.3 Основные уравнения.............................................230
9.4 Неабелевы законы сохранения заряда.............................231
9.5 Унитарная и спинорная калибровочные симметрии..................233
10 Амплитуда в релятивистских уравнениях поля 235
10.1 Модельные уравнения Дирака-Максвелла с локальной сиинорной симметрией...........................................................235
10.2 Специальные модельные уравнения
Дирака-Максвелла................................................237
10.3 Решения специального модельного уравнения Дирака типа плоской волны................................................................240
10.4 Фиксация сиинорной калибровки..................................241
10.5 Частный случай а^ = 0..........................................242
5
Список обозначений
С поле комплексных чисел;
С4 четырехмерное векторное комплексное пространство;
R поле вещественных чисел;
R1*3 пространство Минковского;
п матрица Минковского;
х* декартовы координаты пространства Минковского;
д» частные производные д/дх^\
матрицы Дирака;
ф дираковски сопряженный спинор;
Mat(n, €) алгебра комплексных квадратных матриц порядка п;
Mat(n,R) алгебра вещественных матриц порядка п;
det А определитель матрицы;
tr А след матрицы;
£ транспонированная матрица;
А комплексно сопряженная матрица;
л* эрмитово сопряженная матрица (матрица транспонирована и взято комплексное сопряжение от ее элементов);
1 единичная матрица;
TP <? множество тензорных полей типа (р, <?);
Mat (4, C)TJ множесгво тензорных полей типа (р, q) со значениями в алгебре матриц Mat(4,C).
0(1,3) группа Лоренца;
o+(i,3) ортохронпая группа Лоренца;
S0(l,3) собственная группа Лоренца;
S0+(l,3) собственная ортохронпая группа Лоренца;
U(n) группа Ли унитарных матриц порядка п\
U(r,e) группа Ли псевдоунитарных матриц порядка г + s;
SU(n) группа Ли специальных унитарных матриц порядка п;
SU(r,s) группа Ли специальных псевдоунитарных матриц порядка r + s;
ciM комплексная алгебра Клиффорда сигнатуры (р, q)\
Cik{p, 9) множество элементов алгебры Клиффорда ранга к;
Cfifaq) вещественная алгебра Клиффорда;
C^Even CPi <?) множество четных элементов алгебры Клиффорда;
6fodd(P,3) множество нечетных элементов алгебры Клиффорда;
^EOo(l>3) множество элементов алгебры Клиффорда С£к( 1,3), которые являются либо четными, либо нечетными; группа обратимых элементов из С£еоо0>3)*>
E00(l,3)
X(W амплитуда элемента из $R00(1,3);
xc(^) комплексная амплитуда элемента из СХ|00(1,3);
Dettf определитель элемента алгебры Клиффорда;
TrU след элемента алгебры Клиффорда;
u~ обращение порядка следования множителей (reverse);
и комплексное сопряжение элемента алгебры Клиффорда;
и матричное комплексное сопряжение элемента алгебры Клиффорда;
6
U* псевдоэрмитово сопряжение - суперпозиция операций U~\
U* эрмитово сопряжение элемента алгебры Клиффорда;
Ux четностиое сопряжение (grade involution);
Pin(l,3) пинорная группа;
PinU(l,3) унитарная подгруппа пшюрной группы;
Spin(l, 3) спинорная группа;
SpinU(l,3) унитарная подгруппа спипорпой группы;
£
U элемент алгебры Клиффорда (алгебры Атьи-Келера) ранга к;
t эрмитов идемпотент;
I(t) левый идеал, порожденный £;
K(t) двусторонний идеал, порожденный *;
L(t) алгебра Ли, порожденная t\
G(t) группа Ли, порожденная t;
U{С£{р, <?)) унитарная группа алгебры Ктиффорда (порожденная алгеброй Клиф-
форда);
SU(C?(p,q)) специальная унитарная группа алгебры Клиффорда;
\i(C£(p,q)) алгебра Ли унитарной группы алгебры Клиффорда;
su(C£(p, q)) алгебра Ли специальной унитарной группы алгебры Клиффорда;
W(Ct{p, q)) псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда;
WU(G?(p, д)) унитарная подгруппа псевдоунитарной группы алгебры Клиффорда;
SW(CC{p,q)) специальная псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда;
w(СС(р, q)) алгебра Ли псевдоунитарной группы алгебры Клиффорда;
sw(С£(р, q)) алгебра Ли специальной псевдоунитарной группы алгебры Клиффор-
да;
Sp(C£(l,3)) симплектическая группа алгебры Клиффорда СС( 1,3), являющаяся
подгруппой псевдоунитарной группы SW(C£(1,3));
SpU(Cf(l,3)) унитарная подгруппа симплектической группы алгебры Клиффорда
<2(1,3);
sp(Gf(l, 3)) алгебра Ли симплектической группы Sp(Cf(l, 3));
/3 эрмитов элемент алгебры Клиффорда, индуцирующий операцию псев-
доэрмитова сопряжения;
X операция исевдоэмитова сопряжения U* = PU^p]
\X(C£(p,q),P) псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда, индуцированная эле-
ментом /?;
УЧ тетрада;
тп масса частицы;
n-мерное псевдориманово спннориое многообразие;
Qnv метрический тензор;
V„ ковариантные производные, действующие на тензоры со значениями
в алгебре Клиффорда;
КРи тензор Риччи;
связность Леви-Чивиты (символы Кристоффеля); тензор кривизны Римана; еа генераторы алгебры Клиффорда;
еах...ак базисные элементы алгебры Клиффорда;
е единичный элемент алгебры Ктиффорда;
7
алгебра Атьи-Келера неоднородных дифференциальных форм; дифференциальные формы ранга А;;
формальные частные производные, действующие на тензоры со значениями в алгебре Атьи-Келера и являющиеся аналогами частных производных;
формальные ковариантные производные (дифференциальные операторы первого порядка), действующие на тензоры со значениями в алгебре Атьи-Келера и являющиеся аналогами ковариантных производ-
Введение
Важную роль в предлагаемой работе имеет конструкция умножение неоднородных дифференциальных форм, которое задаст на множестве неоднородных дифференциальных форм структуру алгебры Клиффорда. Эта конструкция была предложена Е. Келером (1962) и переоткрыта М. Атьи (1970). В литературе она называется алгеброй Атьи-Келера.
В 1993 году автор начал систематические исследования, направленные на применение алгебры Клиффорда и алгебры Атьи-Келера к уравнению Дирака. В литературе удалось найти три уравнения, аналогичные (или эквивалентные) уравнению Дирака и использующие алгебру Клиффорда или алгебру Атьи-Келера. Вместе со стандартным уравнением Дирака получился следующий список из четырех уравнений:
• стандартное уравнение Дирака (1928), в нем используются матрицы и спиноры;
• уравнение Дирака-Рисса (1947), в нем используются элементы алгебры Клиффорда и левые идеалы;
• уравнение Дирака-Хестенеса (1967), в нем используются четные элементы алгебры Клиффорда;
• уравнение Иванеико-Ландау-Келера (1928, 1962), в нем используются неоднородные дифференциальные формы.
Первые три уравнения из этого списка эквивалентны друг другу, тогда как уравнение Иваненко-Ландау-Келсра не эквивалентно трем указанным уравнениям т.к., во-первых, волновая функция в нем имеет 16 комплексных компонент (по сравнению с 4 в уравнении Дирака) и, во-вторых, волновая функция представляется неоднородной дифференциальной формой, тогда как волновая функция уравнения Дирака является спинором.
Цель работы состояла в том, чтобы на основе анализа общего и различий уравнения Иваненко-Ландау-Келера по сравнению с первыми тремя уравнениями, попытаться найти такие модификации ILK-уравнеиия, которые наиболее естественным образом соотносятся с уравнением Дирака.
То обстоятельство, что базой исследования было не одно, а четыре уравнения, позволило существенно расширить круг идей и методов, с помощью которых велась работа.
Введя в рассмотрение локальную тетраду на исевдоримановом многообразии (т.е. фактически перейдя к многообразиям Римана-Картана) и выявив важные свойства оператора d — S, удалось получить модификации уравнения ILK в которых волновая функция принадлежит левому идеалу алгебры Атьи-Келера и имеет либо 4, либо 8, либо 12, либо 16 комплексных компонент. Показано, что соответствующие уравнения имеют либо U(l), либо U(2), либо U(3), либо U(4) унитарную калибровочную симметрию. Таким образом, вопрос об уменьшении числа компонент волновой функции в ILK-уравнешш был решен.
9
В 2000 году удалось построить специальные варианты модифицированных уравнений ILK (в диссертации они называются модельными уравнениями Дирака) обладающие дополнительной симметрией по отношению к псевдоунитарной группе SU(2,2) (эта группа среди своих подгрупп содержит симплектическую и снинорную группы). Псевдоунитарная симметрия является внутренней симметрией модельных уравнений и никак не связана с заменами координат (пространства Минковского, либо псевдориманова многообразия).
Ткким образом приходим к модельному уравнению Дирака (а также к модельным системам уравнений Дирака-Максвелла и Дирака-Янга-Мнллса). Доказывается, что они являются обобщениями соответствующих стандартных уравнений теории поля. Логично предположить, что из модельных уравнений могут быть выведены все следствия, которые могут быть выведены из стандартных уравнений поля (Дирака, Дирака-Максвелла, Дирака-Янга-Миллса). Вместе с тем показано, что из модельных уравнений выводятся такие математические следствия, кото-рые принципиально не могут быть выведены из стандартного уравнения Дирака. В этой связи встает вопрос: можно ли из новых математических следствий модельных уравнений получить новые физические следствия? Ответ на этот вопрос автору пока не известен.
Модельные уравнения получились достаточно простыми. Они допускают формулировку не только в технике дифференциальных форм и алгебры Атьи-Келера, но и в более простой и привычной технике матриц (см. главу 1), либо в технике алгебры Клиффорда.
Представляемая диссертация посвящена изучению математических структур (в частности, уравнений), которые так или иначе связаны с фундаментальными уравнениями физики.
Открытие фундаментальных уравнений, описывающих релятивистские поля, является крупнейшим достижением современной физики. Как известно, первооснову уравнений релятивистских полей составляют следующие уравнения:
• Уравнения Максвелла (1873). В этих уравнениях английский физик Джеймс Клерк Максвелл объединил описание электрических и магнитных явлений со световыми и оптическими явлениями и создал единую теорию, в которой свет рассматривается как электромагнитная волна. Изучая вопрос о симметриях уравнений Максвелла, Г. Лоренц обнаружил свойство инвариантности уравнений по отношению к преобразованиям координат из псевдоортогоналыюй группы (группы Лоренца). Этот математический результат Лоренца, в конечном счете, привел физику к новой революции - созданию Специальной Теории Относительности. В современной квантовой электродинамике с помощью уравнений Максвелла описываются фотоны, как частицы спина 1, обеспечивающие взаимодействие электрически заряженных частиц.
• Уравнение Клейна-Гордона-Фока (1926).
Это уравнение было введено Э. Шредингером, О. Клейном, В. Гордоном и
В. Фоком как обобщение уравнения Шредингера (лежащего в основе нере-лятивистской квантовой механики), согласованное со Специальной Теорией Относительности. Выяснилось однако, что уравнение описывает лишь частицы спина 0. В современной Стандартной Модели элементарных частиц
10
присутствует только одна фундаментальная (не составная, точечная, бесструктурная) частица спина 0. А именно, бозон Хиггса, который в теории отвечает за генерацию масс всех элементарных частиц. Бозон Хиггса является единственной частицей Стандартной Модели, которая пока (2011) не обнаружена в экспериментах.
• Уравнение Дирака (1928). П. Дирак, как и Э. Шредингер, искал обобщение уравнения Шредннгера, согласованное со Специальной Теорией Относительности. Он разложил оператор Клейна-Гордона-Фока с производными второго порядка на два множителя первого порядка и, в качестве оператора нового уравнения, взял один из операторов сомножителей. Проведенный Дираком анализ показал, что его уравнение адекватно описывает элсктроп и дает правильное описание спина и магнитного момента электрона. Выяснилось, что с помощью уравнения Дирака можно описывать и другие частицы спина 1 /2. Дальнейшее изучение свойств решений уравнения Дирака и, в частности, рассмотрение возникшей в теории проблемы отрицательных энергий, привело П. Дирака к замечательному результату - предсказанию существования у электрона античастицы (позитрона), которая затем была обнаружена К. Андерсеном в космических лучах.
• Уравнения Янга-Миллса (1954). Эти уравнения были предложены С. Янгом и Р. Миллсом как уравнения с неабелевой калибровочной симметрией, описывающие частицы спина 1 и обобщающие уравнения Максвелла (которые инвариантны по отношению к абелевой унитарной калибровочной группе 11(1)). Уравнения Янга-Миллса оказали большое влияние на все дальнейшее развитие теоретической физики. С помощью уравнений Янга-Миллса с и(1) х Эи(2) калибровочной симметрией удалось построить теорию элек-трослабых взаимодействий элементарных частиц, объединяющую электромагнитные и слабые взаимодействия. С помощью уравнений Янга-Миллса с 811(3) калибровочной симметрией удалось построить квантовую хромодинамику - калибровочную теорию сильных взаимодействий.
Система уравнений Дирака-Максвелла, рассматриваемая в математической физике, моделирует взаимодействие электрона с электромагнитным полем. Для моделирования электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц используются системы уравнений Дирака-Янга-Миллса (это класс систем уравнений, зависящих от калибровочной группы). Следует отметить, что система уравнений Дирака-Максвелла является частным случаем системы уравнений Дирака-Янга-Миллса. Системы уравнений Дирака-Янга-Миллса и Дирака-Максвелла являются стандартными системами уравнений релятивистской теории поля.
В работах Уиттекера [72] (1937), Тауба [73] (1939), Руза [74] (1937) и Желноро-вича [75] (1982, 2001) предложена форма записи уравнения Дирака в виде системы нелинейных тензорных уравнений.
Теперь о связи уравнения Дирака с алгеброй Клиффорда. В записи уравнения Дирака для электрона используются 7-матрицы Дирака, удовлетворяющие в точности тем же соотношениям, которым удовлетворяют генераторы алгебры Клиффорда ££(1,3) (см. главу 3). Алгебра Клиффорда впервые была применена к уравнению Дирака в работах Эддингтона [50] (1928) и Темпля [49] (1930).
Жуве (47) (1930) и Заутер [48] (1930) предложили рассматривать спиноры Дирака как элементы минимального левого идеала в алгебре матриц четвертого порядка. Рисс [51) (1947) первым рассмотрел спиноры как элементы минимального левого идеала алгебры Клиффорда (хотя частный случай чистых спиноров был рассмотрен ранее Картаном в 1938 году).
Ланцош [52] (1929) и Гюрши [53, 54, 55) (1956-1958) переписали уравнение Дирака с помощью 2x2 кватернионных матриц. Развивая идеи Ланцоша и Гюрши, Хсстенес [56, 57, 58) (1966-1974) переформулировал уравнение Дирака для электрона так, что волновая функция электрона в его уравнении представляется четным элементом вещественной алгебры Клиффорда.
Иваненко и Ландау [44] (1928) предложили альтернативное уравнение для электрона (оно не эквивалентно уравнению Дирака), в котором волновая функция представлена неоднородной дифференциальной формой. Это уравнение было пе-рсоткрыто Келером [5) (1962). Келер показал, что основные свойства электрона, описываемые стандартным уравнением Дирака, могут быть выведены и из его уравнения. В частности, в его статье содержится вывод формулы Зоммерфельда тонкой структуры спектра атома водорода.
Развитие подхода Иваненко-Ландау-Келсра к теории электрона содержится в работе Обухова и Солодухина [76] (1993) (см., также, обзор Круглова [45]). Ряд математических вопросов связанных с этим уравнением рассматривался Беном и Такксром [60) (1987). Начиная с 1981 года уравнение Иваненко-Ландау-Келера активно используется в квантовой хромодинамике на решетках [80)—[83].
Упомянутая работа Келера [5] содержит еще один важный результат. А именно, для корректного описания взаимодействия электрона с электромагнитным полем,
Келер ввел в своем уравнении новое умножение неоднородных дифференциальных форм. Это умножение он назвал чыиффордооым умножением дифференциальных форм (см. параграф 7.1). Конструкция клиффордова умножения дифференциаль- ., • 1 '
ных форм была независимо разработана Атьи [6]. Множество неоднородных дифференциальных форм на (псевдо)римановом многообразии с двумя умножениями (клиффордовым и внешним), в литературе называется алгеброй Атьи-Келера.
Некоторые вопросы применения алгебры Клиффорда к физике рассматривают Дорана и Лезенби [77] и Бейлис [78].
В предлагаемой диссертации вводится ряд систем уравнений, которые в дальнейшем будем называть модельными уравнениями теории поля (модельное уравнение Дирака, модельные уравнения Дирака-Максвелла, модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса). Эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля. В тоже время, модельные уравнения имеют отличия от стандартных уравнений теории поля, и, в частности, обладают новой симметрией по отношению к псевдоуннтарной группе (или по отношению к спннорнон группе Рт+(1,3), или по отношению к симплектической группе 8р(2, К)
- обе эти группы являются подгруппами псевдоушггариой группы (см. главу 4)).
Эта псевдоунитарная симметрия позволила построить в параграфе 5.9 калибровочную теорию нового типа.
Вопрос о том, что называется ковариантностью и симметрией модельных уравнений, обсуждается в параграфе 5.5.
12
Некоторые из модельных систем уравнений, при определенных условиях можно рассматривать как обобщения известных систем уравнений Днрака-Янга-Миллса. Мы говорим об уравнениях, калибровочно инвариантных относительно тех унитарных групп, которые являются подгруппами группы 11(4). Вместе с тем, некоторые модельные уравнения, например модельные уравнения с двумя полями Янга-Миллса (5.60)-(5.62), не сводятся к уравнениям Дирака-Янга-Миллса (см. сноску на стр. 149).
Отметим, что предлагаемая конструкция модельных уравнений, основанная на алгебре Клиффорда С£( 1,3), диктует ограничение на унитарные группы по отношению к которым уравнения являются калибровочно инвариантными. Л именно, допускаются только те унитарные калибровочные группы, которые являются подгруппами группы 11(4).
Отметим также, что при анализе модельных уравнений существенную роль играет использование методов алгебры Клиффорда.
В диссертации используются следующие математические методы:
• тензорный анализ в пространстве Минковского и на псевдоримановом многообразии;
• алгебра Клиффорда и смежные структуры (группы и алгебры Ли, порожденные алгеброй Клиффорда, идемпотенты, левые идеалы и т.д.);
• алгебра Атьи-Келера дифференциальных форм на спинорном многообразии и смежные структуры;
• теория симметрических гиперболических по Фридрихсу систем уравнений первого порядка.
Представленные в диссертации результаты определяют направления дальнейших исследований. Ряд вопросов, связанных с модельными уравнениями и представляющих интерес в контексте развития теории поля, пока не исследован. В дальнейшем необходимо сосредоточить внимание на исследовании следующих вопросов:
• Являются ли введенные в диссертации модельные уравнения лагранжевыми (если да, то необходимо найти соответствующие лагранжианы).
• Рассмотреть квантование модельных уравнений теории ноля.
• Изучить глобальные свойства используемых в модельных уравнениях математических структур на псевдоримановом (спинорном) многообразии.1
• Разработать вопросы физической интерпретации модельных уравнений теории ноля.
*В главах 6,7 предполагается, что исходное псевдориманоБо многообразие является слинор-ным, т.е. накладываются некоторые топологические ограничения на многообразие. В проводимых локальных рассмотрениях глав 6 и 7 требуется существование локальной тетрады.
13
В данную диссертацию вошли результаты автора, полученные в период с 1993 по 2011 годы и опубликованные в статьях [10]—[37] и в монографии [28].
В главе 1 (параграфы 1.1,1.3) фиксируются обозначения объектов в пространстве Минковского и излагаются известные факты, связанные с уравнением Дирака и системой уравнений Дирака-Максвелла. Обозначения таковы, что скорость света, постоянная Планка и заряд позитрона равны единице.
В главе 2 (в параграфах 2.2-2.5) излагается главная идея предлагаемого подхода к уравнениям теории поля в ее наиболее простой форме (на примере модельных уравнений Дирака-Максвелла в пространстве Минковского и с использованием матричной техники).
В остальной части диссертации главная идея развивается в нескольких направлениях: от уравнений Дирака-Максвелла переходим к уравнениям Дирака-Янга-Миллса; от матричной техники переходим к технике алгебры Клиффорда и дальше, к технике алгебры Атьи-Келера; от плоского пространства Минковского переходим к искривленным спинорным псевдоримановым многообразиям и т.д.
Логическое развитие результатов главы 1 в рамках матричной техники и в рамках пространства Минковского содержится в главе 8.
Бели читатель хочет познакомиться с главной идеей предлагаемого подхода к уравнениям теории поля, то ему достаточно прочитать только главы 1,2. Если читатель заинтересуется развитием идей в рамках матричной техники и в рамках пространства Минковского, то ему достаточно еще прочитать главу 8. Для дальнейшего углублшшя в рассматриваемую проблематику потребуется ознакомление с некоторыми техническими вопросами, связанными с алгеброй Клиффорда, с алгеброй Атьи-Келсра и с искривленными спинорнымн псевдоримановым» многообразиями.
В главах 3,4 развивается математический аппарат алгебр Клиффорда, а также групп Ли и алгебр Ли, связанных с алгебрами Клиффорда.
В главах 5,6 вводятся модельные уравнения теории поля с использованием формализма алгебры Клиффорда, в главе 7 с использованием формализма алгебры Атьи-Келера и в главе 8 с использованием матричного формализма.
В главах 5,7,8 в модельных уравнениях имеется ограничение на максимальную размерность унитарной калибровочной группы, которую допускают модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса. А именно, допускаются только те унитарные калибровочные группы, которые являются подгруппами группы и(4).
В главе 6 на псевдоримановом многообразии Х1,п~1 выписываются модельные уравнения поля, основанные на алгебре Клиффорда С£(1,тг - 1). Рассмотрены два варианта уравнений: уравнения с использованием тензора кривизны Римана в явном виде и без использования тензора кривизны.
В главе 7 представлены модельные уравнения теории поля на четырехмерном спинорном многообразии А1,3, записанные с использованием формализма алгебры Атьи-Келсра дифференциальных форм. Алгебра Атьи-Келера является геомет-ризованным (связанным со спинорным многообразием) вариантом алгебры Клиффорда. Модельные уравнения главы 7 можно рассматривать как обобщение уравнений Иваненко-Ландау-Келера на случай неабелевой унитарной калибровочной симметрии.
В рассматриваемых в главе 7 модельных уравнениях теории поля имеется до-
14
полнительная (по сравнению с уравнениями глав 5,6) локальная ковариантность по отношению к спинорной группе. Эта дополнительная ковариантность возникает только в случае четырехмерных многообразий (см. сноску на стр. 194).
В главе 8 используется матричная техника.
Все рассматриваемые в диссертации модельные уравнения теории поля имеют следующие четыре симметрии: 1)симметрия по отношению к заменам координат (имеются в виду лоренцевы замены декартовых координат пространства Минков-ского или общие замены локальных координат псевдоримаиова многообразия); 2)локальная (калибровочная) симметрия по отношению к унитарной группе; Эпохальная или глобальная симметрия по отношению к нсевдоунитарной группе (вместо псевдоунитарной группы можно также рассматривать симплектическую или спинорную группы, являющиеся подгруппами псевдоунитарной группы); 4)дис-кретная симметрия являющаяся суперпозицией преобразования комплексного сопряжения и некоторого унитарного ковариантного преобразования.
Символом Халмоша ■ обозначается конец доказательства теоремы или подчеркивается отсутствие доказательства.
Научная новизна. Основные результаты диссертации заключаются в следующем.
• Введен ряд новых систем уравнений, которые в диссертации называются модельньши уравнениями теории поля (модельное уравнение Дирака, модельные уравнения Дирака-Максвелла, модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса). Показано, что, с одной стороны, эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля, а с другой стороны, модельные уравнения имеют отличия от стандартных уравнений теории поля. В частности, они обладают новой симметрией по »•£.
отношению к псевдоунитарной группе. '
• В диссертации доказано, что модельные уравнения теории поля обобщают соответствующие стандартные уравнения теории поля в том смысле, что любое решение стандартных уравнений теории ноля можно рассматривать как решение соответствующих модельных уравнений, взятое при определенной фиксации псевдоунитарной калибровочной симметрии. На основе модельных уравнений автору удалось построить калибровочную теорию нового типа с двумя полями Янга-Миллса.
• Модельные уравнения теории поля обобщены на случай четырехмерного псевдоримаиова многообразия (сигнатуры -2) с локальной тетрадой.
• Разработаны модельные уравнения в формализме алгебры Атьи-Келера неоднородных дифференциальных форм.
• Разработана специальная модификация модельных уравнений Дирака -Максвелла с 17(1) калибровочной симметрией использующая соответствие между минимальным левым идеалом алгебры Клиф<|юрда СС(1,3) и четной подалгеброй $Еуеп(1>3).
15
Глава 1
Уравнения Дирака-Максвелла
1.1 Пространство Минковского
и тензорные поля
Алгебра матриц МаХ(п>¥). Пусть Г обозначает поле вещественных чисел К или иоле комплексных чисел С. И пусть МаЬ(п, Р) - алгебра квадратных матриц порядка п с элементами из поля Р (заметим, что для матриц из Ма1;(п,Р) определено сложение, умножение на числа из поля Г и умножение матриц). Элементы матрицы и = К|| є МаЬ(п,Е) нумеруем двумя латинскими индексами, пробегающими значения от 1 до п, где верхний (первый) индекс нумерует строки матрицы, а нижний (второй) индекс нумерует столбцы матрицы. Произведение матриц XV = XIV записывается с помощью элементов этих матриц в виде
< = ис^6>
где в правой части равенства стоит сумма но индексу с от 1 до п.
Пространство Минковского. Пусть К1,3 - пространство Минковского1 с декартовыми координатами х**} где /і = 0,1,2,3. Индексы, соответствующие координатам, обозначаются малыми греческими буквами /л, и, а, /?,... пробегающими значения от 0 до 3. Метрика Минковского задается диагональной матрицей
V = \\VwW = И7П1 = сШ^(1, -1, -1, -1).
Линейная замена координат
х» - & = рЧх1' (1.1)
называется лоренцевой (преобразование Лоренца координат), если вещественные постоянные числа удовлетворяют соотношениям
іЩ* = «Г (12)
1 Необходимые сведения из геометрии пространства Минковского и тензорного анализа содер-
жатся, например, в [2].
16
или, что эквивалентно, соотношениям
Р?,Рр-Пци = Чар- (1.3)
На языке матриц соотношения (1.2) и (1.3) переписываются в виде равенств РТцР = Г/, Рг)РТ - Г), где Р =
V II»
определяющих группу Лорепца (псевдоортогональную группу) 0(1,3) и ее подгруппы
0(1,3) = {Р € Mat(4, R) : РтуР = г/},
0+(1,3) = {Р 6 0(1,3): ро > 1},
S0(l,3) = {Р е 0(1,3) :detP=l},
S0+(l,3) = {P€0(l,3):detP=l,jjg>l}.
Группа 0+(1,3) называется ортохроппой группой Лорепца, группа S0(1,3) называется собственной группой Лорепца, и группа S0+(l,3) называется собственной ортохроппой группой Лоренца.
Обозначим через TJ множество тензорных полей типа (г, з) и ранга г + а в пространстве Минковского. Через Тдо обозначим множество ковариантных кососимметрических тензорных полей ранга s.
Рассмотрим тензорное поле из TJ, которое в координатах хИ имеет компоненты uj*;;;£r. При лоренцевой замене координат (1.1) компоненты тензорного поля преобразуются по правилу
uvx...v, ^Uvx...u, — Pp1 "-Fpr4ui • * * UQi...a, >
где qf - элементы матрицы Q = tjPttj обратной к матрице P = ||pg||.
Наряду с выражением “tijj;;;£r - компоненты тензорного поля” допускаегся выражение - тензорное поле”. Пишем также и € Т£, и€ Т£.
Тензорные поля со значениями в алгебре матриц. Обозначим через Mat(n, F)T множество тензорных нолей типа (г, s) со значениями в алгебре матриц Mat(n,F) (речь идет о тензорном произведении тензорной алгебры на алгебру матриц). В координатах компоненты и[тензорного ноля Ug*m\\j£r € Mat (гг, F) занумерованы г+ s греческими и двумя латинскими индексами.
Стандартным образом определяется сложение однотипных тензорных полей со значениями в алгебре матриц. Если € Mat(n,F)TJ, то
+ УЯСЯГ € Mat(n,F)Tj.
Для тензорных полей
6 Mat(n,F)TJ, € Mat(n, F)T£
определено умножение
K:r£KX::lV = та? G Mat(n,F)T^,
17
«л 1
которое сочетает в себе тензорное умножение тензорных полей (по греческим индексам) и умножение матриц (по латинским индексам). В случае, когда г = в = р = q = 0 (греческие индексы отсутствуют), имеем просто умножение двух матриц 17, V € МаЦп, Г) — иУ € МаЦп,Р).
В случае, когда
ЧСХ = <::.£■ е мак^щ,
= *а."ДГ€Мй(1-1Г)1?.
умножение
= <[::№%:;% е Ма1(1,р)т;+;
отождествляется с тензорным умножением двух тензорных полей и,У —> и® V.
Естественным образом определяется умножение тензорного поля из Ма^п, Е)Т£ на гладкую функцию Л : К1,3 —► Г.
1.2 Алгебра матриц Дирака
П. А. М. Дирак в 1928 году предложил свое знаменитое релятивистское уравнение для электрона (38]. Для записи уравнения он использовал четыре матрицы из алгебры Ма^4,С)
Л 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 -1 0 1 7 = 0 -1 0 0
У 0 0 -1> І"* 0 0 0/
(° 0 0 — < 0 0 1 0
0 0 г 0 0 0 0 -1
- 0 і 0 0 > 7 = -1 0 0 0
0 0 0У 1 0 0/
(1.4)
7° =
I2 =
Рассмотрим свойства этих матриц. В частности отметим, что эти четыре матрицы являются генераторами (порождающими) алгебры матриц четвертого порядка с комплексными элементами Ма1(4,С). Рассматриваемые свойства матриц легко могут быть доказаны с использованием явного вида (1.4).
1. Матрицы 7° антикоммутируют между собой
7°76 = -7Ь7а, а,Ь = 0,1,2,3, а ф Ь.
2. Квадрат каждой из матриц ^ равен единичной матрице 1 € Ма1(4,С) со знаком плюс или минус. А именно,
(7°)2 = 1, (т*)2 = — 1. *= 1.2,3.
3. Если ввести диагональную матрицу четвертого порядка
I? = и^ц «ашб(1,-1, -1,-1),
18
то с се помощью свойства матриц т" выписанные в пунктах 1 и 2 можно записать в виде одного соотношения
уУ + Уу = 2^1, о, ь = 0,1,2,3. (1.5)
4. Введем обозначение для эрмитова сопряжения матрицы II —+ СД (матрица трас-понирована и взято комплексное сопряжение от всех ее элементов). Эрмитово сопряженные матрицы (1.4) удовлетворяют условиям
(7«)1 = уу7о (1 6)
• Любые четыре матрицы 7° 6 Ма1(4,С) удовлетворяющие соотношениям (1.5) и (1.6) будем называть ^-матрицами. Конкретный набор 7-матриц (1.4) будем называть 7-матрицами в представлении Дирака.
5. Возьмем линейную комбинацию 7-матриц II = иа7а (сумма по а = 0,1,2,3) с коэффициентами ио>и\,и2,и$ 6 С. Тогда
V2 = (по2 - Щ2 ~ у>22 - н32)1,
т.е. квадрат линейной комбинации 7-матриц пропорционален единичной матрице2.
6. Если целые неотрицательные числа < 3 упорядочены, т.е. О < <
... < а* < 3, то из этих чисел составляем упорядоченный мультииндекс а\...а* длины к. С помощью таких мультииндексов можно занумеровать С} объектов, где С* - биномиальный коэффициент. А всего, с помощью упорядоченных муль-тииндексов длины от 0 до 4 можно занумеровать 16 объектов
С? + С]+С| + С| + С^ = 1 + 4 + 6 + 4+1 = 16.
Введем следующие матрицы, занумерованные упорядоченными мул ьти индексам и длины к = 2,3,4 и являющиеся произведениями 7-матриц Дирака:
7°1~в* »7°* ...7°% 0 < П1 < ... <ак < 3.
2Именно это свойство 7-матриц позволило Дираку разложить оператор Клсйна-Гордона-Фока второго порядка на два множителя первого порядка. В качестве оператора нового уравнения для электрона Дирак взял оператор одного из сомножителей.
19
Будем иметь
701 =
7°3 =
713 =
/-у012 _
7023 _
.0123
(0 0 0 1\ (0 0 0
0 0 1 0 02 0 0 і 0
0 1 0 0 > 7 - 0 —г 0 0 >
V ООО,) V 0 0 ч
(0 0 1 0 > (-і 0 0 0\
0 0 0 -1 12 0 і 0 0
= 1 0 0 0 » 7 0 0 —і 0
№ -1 0 0, и 0 0 V
(0 1 0 0> (0 —г 0 0
-1 0 0 0 723 —і 0 0 0
0 0 0 1 > 0 0 0 -і
и 0 -1 0/ и 0 —1 0
(-г 0 0 0\ ( 0 1 0 0
0 г 0 0 ^013 -1 0 0 0
0 0 і 0 1 7 0 0 0 -1
0 0 - -у 0 1 0
/0 -г 0 0\ /0 0 —і 0^
—і 0 0 0 -123 0 0 0 —і
0 0 0 і » 7 і 0 0 0
0 і V \* і 0 ч
(0 0 -і о")
0 0 0 ■і
—г 0 0 0 •
^0 -г 0 0)
Легко убедиться, что 16 матриц
! -0 1 2 3 01 02 03 12 13 23 012 013 023 123 ^0123
7 у 7 > 7 >7 >7 >1 >7 »7 >7 >7 >7 »7 »7 »7 »7
(1.7)
линейно независимы и образуют базис в алгебре матриц Ма1(4,С). Любую матрицу' и Є Маі(4,С) можно записать в виде разложения по базису (1.7)
и = и1 + и„7° + £ “‘»«Л““’ + £
П\П.2П з
7°
10203
+ ^01237
0123
(1.8)
Ох Од О! «2 Оз
с комплексными коэффициентами и, на, Иаюз» ^ахозаз! «0123. занумерованными упорядоченными мультииндексами длины от 0 до 3.
7. След всех матриц из базиса (1.7) равен нулю
^уц.-.о* =0} £=1>2,3,4,
за исключение единичной матрицы 1, для которой 1г1 = 4.
8. Легко видеть, что 7-матрицы Дирака (1.4) удовлетворяют условиям
(7“)( = (7е)“1, с1е17а = 1.
20
Отсюда следует, что все матрицы базиса (1.7) являются унитарными матрицами из Яи(4). Действительно, если А - упорядоченный мультииндекс длины к, то
(У1)* = ЬАГ\ <101-/= 1.
9. Пусть 1/ - произвольная унитарная матрица из группы и(4). Определим новый набор матриц с помощью преобразования подобия
7‘* = а"17а^ а = 0,1,2,3.
Тогда матрицы т" удовлетворяют соотношениям (1.5) и условиям (1.6) и, следовательно, являются 7-матрицами.
10. Теорема Паули. Если даны два набора 7° и 7а по четыре матрицы из Ма1(4, С), причем матрицы каждого из наборов удовлетворяют соотношениям (1.5), то существует обратимая матрица Т £ Ма1(4,С) такая, что
=Г-17аТ
и матрица Т определена с точностью до умножения на ненулевое комплексное число. Кроме тош, если каждый из наборов удовлетворяет условиям (1.6), то матрицу Т можно взять унитарной.
В учебниках по теоретической физике 7-матрицы появляются в разделах, посвященных уравнению Дирака для частиц спина 1/2 (электрон и др.). Общая практика использования 7-матриц состоит в следующем: в начале раздела книги посвященного уравнению Дирака фиксируется некоторый конкретный набор 7-магриц и дальше во всей книге этот набор не меняется. Часто используются матрицы (1.4) - их называют представление,^ Дирака для 7-матриц, либо используют представление Майорана, киралъное представление и другие представления для 7-матриц, получающиеся из представления Дирака преобразованием подобия с разными унитарными матрицами (см. параграф 3.13).
Подведем итог.
Алгеброй матриц Дирака называется алгебра матриц Ма1(4, С) в которой фиксирован набор из четырех 7-матриц, называемых генераторами (порождающими) алгебры. Соответст венно, определен базис (1.7), составленный из произведений 7-матриц. Любая матрица из алгебры Дирака представляется в виде разложения (1.8) но базису (1.7). Квадрат любой линейной комбинации генераторов пропорционален единичной матрице.
1.3 Уравнения Дирака-Максвелла в пространстве Минковского
Разложение оператора Клейна-Гордона-Фока на два множителя. Пусть К1»3 - пространство Минковского с координатами Iм, /т = 0,1,2,3 и с матрицей Минковского т] = И^И = \\*Ьх1/\\ — <Шц;(1, — 1, — 1, — 1). Обозначим дц = д/дх,г и
21
— т)^иди. Введем оператор Клейна-Гордона-Фока дцди + га2, в котором тп > 0 - вещественное число (масса частицы). Чтобы получить лореіпцшвариантіїое уравнение для электрона, Дирак [38] разложил оператор Клейна-Гордона-Фока на два сомножителя
(—і^дц - тї)(і'уид1/ - ті) = + т21 =
= + т21 = + т2)1 = (дцдц + ™2)1
с помощью четырех 7-матриц (1.4).
Уравнение Дирака для электрона в вакууме (при отсутствии внешних полей) имеет вид
іі^дцФ — тф = 0, (1.9)
Ф = Ф(х) =
где
/ф'\
Ф2 ф3
\*7
есть столбец из четырех комплекснозначных функций. Если компоненты столбца ф являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями от х € К1,3, то ф удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона-Фока3
дцд^ф + т2ф — 0.
Уравнение Дирака для электрона, взаимодействующего с внешним электромагнитным полем, описываемым потенциалом ам € Т1, имеет вид
*7* 1(дцф - 1ацф) - тпф = 0. (1.11)
Полагаем, что заряд электрона равен —1.
Лоренц-инвариаитность уравнения Дирака (спинорная). Картам (1913) и Дирак (1928) установили связь между матрицами 7^ и матрицами из группы Лоренца 0(1,3) (см., например, [7]). Л именно, для любой матрицы Р = ||р£|| € 0(1,3) существует обратимая матрица 5 € МаЦ4, С) (пара матриц ±5), такая, что
5-17"5 = ^7,/, /1 = 0,1,2,3, (1.12)
или, что эквивалентно,
5'-1(Й7',)5 = 7", «^ = 0,1,2,3, (1.13)
3В (11) предложено следующее обобщение уравнения (1.9):
»У'дцФ - + УУт^Т3**) = о, (1.10)
где Ф = Ф(х) € МаЦ4,С) и матрицы ЛГ, К- 6 Ма1(4, С) таковы, что
[ЛГ, К] = 0, ТУ2 + К2 = 1, с^ЛГ = дцК = 0.
Если матрица Ф является решением уравнения (1.10) и элементы матрицы Ф - дважды непрерывно дифференцируемые функции от I 6 К1’3, то Ф удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона-Фока + т2Ф = 0.
22
где Q = ||g£|| — P 1 € 0(1,3). При этом матрица S удовлетворяет соотношению
SVS = ±7° (1.14)
и принадлежит группе Pin(l,3) реализованной в виде матриц из Mat(4,C) (см. параграф 4.5).
Если Р € 0+(1,3), то матрица 5 удовлетворяет соотношению
S^°S = 7° (1.15)
и принадлежит группе Pin+(1,3).
Если Р € 0_(1,3) = 0(1,3)\0+(1,3), то матрица S удовлетворяет соотношению
SVS--70. (1.16)
Соотношения (1.12),(1.13) каждой ларе матриц ±5 из группы Pin( 1,3) (Pin+(1,3)) сопоставляюг единственную матрицу Р € 0(1,3) (Р € 0+(1,3)), и наоборот4. На алгебраическом языке эта связь есть изоморфизм групп, т.е.
Рш(1,3)/{±1} * 0(1,3),
Рш+(1,3)/{±1} ^ 0+(1,3).
Уравнение Дирака (1.11) является ковариантным при преобразованиях Лоренца координат
** -»*■ Р=Ы\\ € 0(1,3), (1.17)
причем входяИЦ1С в уравнение Дирака величины преобразуются по следующим
правилам:
Ф — Ф = Бф, 7^ —+ 7^ = т^,
Q
dfx * дц — Qj.fl = ац * аЦ = ЯцаVi
где Q = ||g£|| = Р-1, и матрица 5 удовлетворяет соотношениям (1.13). Константа т € R не меняется.
Действительно, имеем
гуц(дцф - 1ацф) - тпф = i^S(q^d^ - ig£a„0) - m50
= S{iS-lqu^S(d^ - га^ф) - тф)
— S(iyu(d^ — ia„0) — тф).
Следовательно, если величины 7^,ф,дМ}а^ удовлетворяют уравнению Дирака (1.11), то преобразованные величины 7ц,ф,дц,&р удовлетворяют тому же уравнению. Это и означает ковариантность уравнения Дирака.
Столбец ф, преобразующийся при преобразовании Лоренца координат (1.17) по правилу ф —► 5^, где матрица 5 удовлетворяет (1.12), называется спинором Дирака.
4Группа Pin(l,3) (Pin+(1,3)) дважды накрывает группу 0(1,3) (0+(1,3)).
23