ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ....................................................... 4
ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ.....................32
§1.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение
рассматриваемой системы................................. 32
§ 1.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение
рассматриваемой системы................................. 37
ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ.................... 41
§2.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной системе двух уравнений в области |..... 41
§ 2.2. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение
системы (1.48).......................................... 47
§2.3. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение
системы (1.48)...........................................51
§ 2.4. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
„переопределенной системе двух-уравненийв области-^21 • • 777 7“ 54 § 2.5. Случай, когда основным уравнением является третье уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной системе двух уравнений в области £*31.. 62
ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ДВУХ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
С ОДНОЙ СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ................................69
§ 3.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение
2
рассматриваемой системы....................................69
§3.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение
рассматриваемой системы....................................73
ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНОЙ СИСТЕМЫ, ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, С ОДНОЙ СВЕРХСИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ .... 77
§ 4.1. Случай, когда основным уравнением является первое уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной системе двух уравнений в области ^ |..... 77
§ 4.2. Случай, когда основным уравнением является второе уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной системы двух уравнений в области СЪ2\.....86
§ 4.3. Случай, когда основным уравнением является третье уравнение рассматриваемой системы. Сведение рассматриваемой системы к
переопределенной системе двух уравнений в области ^31......95
БИБЛИОГРАФИЯ............................................. 103
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами связана с именами Якоби, и др. Одним из первых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые в настоящее время достаточно хорошо изучены, является система в полных дифференциалах.
Простейшей переопределенной системой дифференциальных уравнений в частных производных можно считать систему
их = Р(х,у), иу = 0(х,у)9 где условие Ру = {)х является необходимым и достаточным для
разрешимости этой системы. При его выполнении
<№ = Р(х,у)ск + £)(х,у)с1у является полным дифференциалом, и функция и(х,у) восстанавливается интегрированием. Аналогично обстоит дело с полным дифференциалом в трехмерном и п-мерном случаях.
Академиком АН РТ Л.Г. Михайловым положено начало изучения некоторых систем в полных дифференциалах с сингулярными точками первого порядка [1], [2], [26].
Монография Н.Раджабова, академика АН РТ [13] посвящена получению многообразия решений, исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка и некоторых“Хйнейных переопределенных систем первого и второго порядка и с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и сверхсингулярными точками. Методы нахождение решений в данной монографии, разработанные для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются и для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами.
В 1994 году профессором Э. Рузметовым была опубликована
4
монография “Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных”. В данной работе получены интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярными линиями, плоскостями и точкой.
Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами изучены в работах Л.Г. Михайлова, М.В. Коровина, Н. Раджабова, Э. Рузметова, Р. Пирова, Б. Шарипова, Ф.М. Шамсудцинова и других авторах.
В основном большинство имеющиеся работы посвящены переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с регулярными коэффициентами, а также сингулярными линиями на плоскости.
Некоторые работы посвящены переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой на плоскости.
Что касается многомерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными областями, а также с сингулярной точкой, кроме отдельных случаев мало изучены. В связи_ с_ _этим_ является .актуальной проблема получения многообразия решений и исследование задачи с начальными данными для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в двумерном и многомерном случаях.
Настоящая диссертационная работа посвящена данной проблеме.
В работе изучается переопределенная система двух и трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в сингулярном и сверхсингулярном случае, когда коэффициенты уравнений в
5
рассматриваемых системах в сингулярной точке необращается в нуль.
Во введении дан краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обоснован актуальность темы и изложены основные результаты диссертации.
Основной целью настоящей диссертации является получение многообразия решений и изучение свойств полученных решений переопределенных линейных систем двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Настоящая работа посвящена исследованию ранее неизученных двухмерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в прямоугольнике.
Кроме того, исследована ранее неизученная переопределенная система трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в параллелепипеде, задача исследования которой сводится к исследованию переопределенных систем двух дифференциальных уравнений с сингулярной и сверхсингулярной точкой.
Методика исследования.
В диссертации применены современные методы, исследований разработанные для изучения переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также метод интегральных представлений для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. __ — —
Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется ранее не изученные переопределенные системы двух и трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Все результаты, полученные в работе, являются новыми. Они могут быть использованы, при решении конкретных задач в механике и физике.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором
6
Н. Раджабовым “Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных” при кафедре математического анализа и теории функций Таджикского Национального университета. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарский симпозиум “Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики”, Нальчик-Хабез, 2010.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка и изложена на 108 страницах.
Содержание диссертации. В введении обосновывается актуальность темы исследования в диссертации, приводится краткий обзор работ, а также приводятся основные результаты исследования.
Приводим краткое содержание результатов первой главы.
Первый параграф первой главы посвящен исследованию переопределенных линейных систем двух дифференциальных уравнений первого порядка с одной сингулярной точкой.
Через О обозначим прямоугольник й = {(*,у) :0 < х < а,0 < у < Ь}. Соответственно обозначим:
Г, = {у = 0,0 < д: < а}, Г2 = {л: = 0,0 < у < Ь\
В области О рассматривается переопределенная система
дУ—а(х,-у )-= —-М-х-гу)— дх г г ’
ди 1 Ь(х,у) Г] _ /2(х,у)
ду
(1.1)
, ., _ „ , I/ •
где г = л/х* + у2, а(х,у), Ь(х,у), /,(*,у), у = 1,2 - заданные функции в области В .
Данный параграф посвящен исследованию ранее неизученных случаев двухмерной переопределенной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (1.1) в прямоугольнике, при л(0,0)*0,
7
b(0,0)*о. Отметим, что система (1.1) была исследована в случае, когда Коэффициенты ИМеЛИ ВИД: а(*,у) = *•<*,(*,у), <i,(0,0)*0, b(x,y) = у-Ь,(х,у), 6(0,0) * о, В [13].
Для нахождения многообразия решений выше указанной системы (1.1), применяется следующая схема.
Сначала при наложении определенных условий на коэффициенты и правые части системы (1.1) находится решение одного из рассматриваемых уравнений данной системы.
При этом, общее решение одного линейного уравнения первого порядка содержит одну произвольную функцию одного переменного. После, полученное решение подчиним второму уравнению системы. При выполнении определенных условий совместности на коэффициенты и правые части для определения неизвестной произвольной функции получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Решая это уравнение, находим искомую функцию. Подставляя его в полученное интегральное представление, находим общее решение данной системы.
Основным результатом первого параграфа является следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть в системе уравнений (1.1) а) функции а(х,у), biß, у) удовлетворяют следующим условиям типа Гельдера
-----------------\а(х,-у)-~ a(ß-,0)\-<rH- rg,THT-~constß~< а, <17 (1.2)
\Ь(0, у) - Ь( 0,0)| < Н2 • у“1, Н2 = со ns /,0 <а2< 1. (1.3)
б) Функции а(х,у), b{x,y), f(x,y), и f2(x,y) удовлетворяют условиям совместности
(1'4)
•№.* (15)
в) Функция /j (д:,у) е C(D) и при д(0,0) < 0,/, (0,0) = 0 со следующим
8
- Київ+380960830922