Применение метода моментов для исследования свойств решений систем уравнений газодинамического типа

Оглавление
Введение......................................................................4
1 Исследование свойств гладких решений квазигазодинамических уравнений с правыми частями специального вида 29
1.1 Решения с конечным моментом инерции, определенные на них интегральные функционалы и их свойства ....................................... 29
1.1.1 Условный результат о потере гладкости ........................ 31
1.1.2 Интегральные функционалы и их свойства................................................... 34
1.1.3 Изотермический газ и газовая динамика "без давления".......... 41
1.1.4 О специфике достаточных условий образования особенностей
гладкого решения.............................................. 42
1.2 Применение к системе уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости 45
1.2.1 Решения с конечным моментом инерции........................... 48
1.2.1.1 Интегральные функционалы и формулировка основных теорем .................................................. 48
1.2.1.2 Доказательство теорем................................. 51
1.2.1.3 Асимптотика решения при больших временах и потеря гладкости.................................................... 58
1.3 Приложение к уравнениям магнитогидродинамики......................... 59
1.3.1 Результат о потере гладкости ................................. 59
1.3.2 Энергетические оценки для решений с конечным моментом инерции ................................................................. 61
1.4 Приложения к уравнениям неньютоновской жидкости....................... 65
1.4.1 Приложение к уравнениям псныотоновской магнитной жидкости 70
1.5 Приложения к системе уравнений движения гранулированного газа . . 72
1.5.1 Несуществование глобально гладких решений.................... 74
1.5.2 Одномерный случай.............................................. 78
1.5.2.1 Автомодельное решение ................................ 79
1.5.2.2 Стационарные решения и его гладкие возмущения ... 79
1.5.2.3 Потеря гладкости для возмущений нетривиального стационарного состояния........................................... 80
1.5.3 Точное решение с особенностью.................................. 82
1.6 Образование особенностей в случае возмущения состояния покоя, имеющего компактный носитель............................................ 84
1.7 О локализации особенностей системы уравнений газовой динамики . . 89
1.8 О поведении границы подвижного объема в гладком течении сжимаемой жидкости ........................................................ 97
Исследование свойств гладких решений уравнений газодинамического типа с правыми частями, важными с точки зрения геофизики
109
2.1 Описание моделей.....................................................109
2.2 Свойства интегральных функционалов...................................115
2.3 Баланс между кинетической и внутренней компонентами величины полной энергии.......................................................123
2.3.1 Случай I ф 0, р = 6 = 0.........................................125
2.3.2 Случай ц = 0, / ф 0, 6 ф 0..................................131
2.3.3 Случай ц > 0, / = 6 = 0 ....................................134
2.3.4 Случай д > 0, / ф 0, 6 = 0..................................139
2.4 Влияние сухого трения на формирование особенности...................142
2.5 Влияние вращения на образование особенностей.........................146
2.5.1 Вращение без трения и учета центробежной силы...............148
2.5.2 Достаточные условия разрушения решения для системы динамики атмосферы с учетом потенциала центробежной силы ... 151
2.5.3 Вращение с сухим трением .....................................152
2.6 Решения с компактным носителем плотности............................156
2.6.1 Система на плоскости..........................................156
2.6.2 Система на произвольном двумерном римановом многообразии 164
3 Глобально гладкие решения квазигазодинамических уравнений в Евклидовом пространстве 168
3.1 Построение решений с линейным профилем скорости на плоскости . . . 168
3.1.1 Случай кососимметрической матрицы A(t).......................170
3.1.1.1 Отсутствие сноса (Ь(£) = 0)..........................171
3.1.1.2 Присутствие сноса (b(i) ^ 0).........................178
3.1.2 Матрица Л(£) общего вида...................................179
3.1.2.1 Матрица A(t) общего вида, Ь(<) = 0...................180
3.2 Построение решений с линейным профилем скорости в физическом пространстве (и = 3) 189
3.3 Существование частных решений со степенным убыванием дивергенции скорости.............................................................195
3.3.1 Отсутствие внешнего трения и вращения........................195
3.3.1.1 Кососимметричсская матрица A(t)......................196
3.3.1.2 п — 2, матрица А(1) общего вида......................197
3.3.2 Сухое трение и вращение .....................................199
3.4 Теорема о внутренних решениях........................................202
3.5 Следствие теоремы о внутренних решениях и примеры....................215
4 Гидродинамический подход к построению решений нелинейного уравнения Шредингера в критическом случае 219
4.1 Законы сохранения, интеграл момента и гидродинамическая интерпретация ...................................................................219
4.1.1 Гидродинамическая интерпретация..............................221
3
4.1.2 Образование особенностей ......................................224
4.2 Построение точных решений.............................................225
4.3 Анализ точных решений нелинейного уравнения Шредингера...............227
4.3.1 Эволюция во времени градиента фазовой функции................• . 227
4.3.2 Теорема об эволюции волновых пакетов............................229
4.3.3 Сравнение с. предыдущими результатами...........................230
4.4 Дальнейшее обобщение..................................................232
4.5 Формирование и динамика особенностей в случае одной пространственной переменной 236
Литература....................................................................247
4
Введение
Диссертация посвящена исследованию свойств решений задачи Коши для систем уравнений, моделирующих сплошную среду с различными специальными свойствами. Эти системы имеют вид
где р, V = (Ц,К,), р, е, обозначают плотность, скорость, давление и внутреннюю энергию, соответственно. Мы ограничим себя рассмотрением политропных сред, то есть уравнение состояния зададим как
Здесь А > 0 - константа, Н - универсальная газовая постоянная, в — температура, 5 — энтропия, с = 7 > 1 - показатель адиабаты. Здесь неизвестными являются
плотность р, вектор скорости V = (Уь-.., К») и внутренняя энергия е; они зависят от времени I и точки пространствам = (мь...,хп) € 1*л.
Стоящие справа функции Т, Г (первая - скаляр, вторая - вектор) могут зависеть от £.:г,р, У,е а также от производных компонент решения р, У,е. На ?, Г накладываются некоторые дополнительные условия, для самой системы уравнений газовой динамики Т = О, Р = О.
Системы уравнений (0.0.1) - (0.0 3) описывают баланс массы, импульса и энергии [15] и выглядят как обобщения системы уравнений газовой динамики, по этой причине мы, следуя терминологии [СО], называем их квазигазодинамическими. Они
д,р + <Ну*(рУ) = 0,
(0.0.1)
0{(рУ) + с!1ух(рУ ® V) + Vхр = Г,
(0.0.2)
дь (др|У|2 + ре) + Фу* ((^р|У|2 + ре + р)у) = Т, (0.0.3)
(0.0.4)
возникают во многих приложениях: собственно в газовой динамике, в метеорологии, океанологии, гласиологии, гидравлике, гемодинамике, космологии, лазерной физике, и т.д. В технике они описывают течения вязкоупругих жидкостей, гранулированные и разреженные среды. Свойства решений таких систем имеют некоторые общие черты, которые в первую очередь и будут нас интересовать, однако в значительной степени зависят от вида правых частей.
Системы указанного вида вследствие важности их приложений интенсивно изучались и продолжают изучаться. Упомянем, отнюдь не претендуя на полноту, огромное количество работ, посвященных построению частных решений решений уравнений газовой динамики (ІІ.Е.Кочин, Л.В.Овсянников. Л.И.Седов, А.Ф.Сидоров, О.И.Богоявленский и их ученики и последователи), работы, посвященные обобщенным (в разных смыслах) решениям таких систем (О.А.Олейник, С.Н.Кружков, Е.Ю.Панов,
Б.Портам, Л.Тартар, Р.ДиПерна, В.А.Тупчиев, В.А.Галкин), работы, в которых описывается распространение и взаимодействие особенностей (ударных волн в классической газовой динамике, 6 - ударных волн в так называемой "газовой динамике без давления"), а также необъятную литературу, посвященную численному интегрированию систем уравнений газовой динамики и их обобщений. В последнее время появился ряд монографий, подытоживающих изучение гиперболических законов сохранения, являющихся частным случаем систем квазигазодннамического тина, в частности, монографии К.Дафермоса [82], Ф.ЛеФлока [105], Б.Пертама [135], Т.-П.Лю [113], Д.Серра [164], П.-Л.Лионса [107].
Хорошо известно, что у решений гиперболических уравнений, даже если они первоначально сколь угодно гладкие, в течение конечного времени могут возникать особенности. Собственно, это и послужило поводом для построения теории обобщенных решений (см., например, [104], [97]). Однако, если речь идет не о модельных, то есть значительно упрощенных, системах, то определение лишь по начальным данным, потеряет решение гладкость или нет, является очень трудной задачей даже в случае одной пространственной переменной. Тем не менее, эта задача имеет, кроме теоретического, практический интерес. Действительно, например, в метеорологии, возникающая особенность решения традиционно ассоциируется с атмосферным фронтом, в
б
гидравлике - с гидравлическим скачком, в гемодинамике - с возникновением фиб-риляции, в лазерной физике - с явлением автофокусировки, в теории гранулированных сред - с явлением кластеризации, и т.д. Задача о том, сохраняется ли со временем гладкость решений уравнений Навье-Стокса для несжимаемого случая в пространстве размерности три является одной из самых знаменитых. Ее аналог для сжимаемого случая чуть менее знаменит, но не менее сложен. Для уравнений гранулированных сред образование особенностей решения связывается с образованием кластеров вещества, а задача о начальных состояниях, приводящих к кластеризации, физически очень важна.
Таким образом, научившись судить по начальным данным о том, потеряет решение гладкость или нет, мы научимся предсказывать "особенные" явления, а также ограничивать применимость разностных схем, сходящихся лишь на гладких решениях, используемых для расчета в многих прикладных задачах.
Задача о нахождении начальных данных, при которых у гладкого решения задачи Коши за конечное время образуется особенность, легко решается для нелинейного транспортного уравнения вида <9<V + (V, Vx) V = 0, модельного уравнения для системы уравнений квазигазодинамического типа. Ответ здесь следующий: решение является глобально гладким тогда и только тогда, когда спектр Якобиана матрицы начальных данных отделен от действительной отрицательной полуоси [106). Однако, для самой системы уравнений квазигазодинамического типа такая задача, как правило, очень сложна даже в пространстве одной пространственной переменной, когда в принципе действенным оказывается метод характеристик. При F = 0 и f = 0 в изэнтропическом случае, когда система сводится к двум уравнениям и может быть записана в инвариантах Римана ['12), метод характеристик дает полный ответ на вопрос о том, образуется особенность (в данном случае это градиентная катастрофа, то есть обращение первых производных компонент решения в бесконечность) или нет (например. [6]). В неизэнтропическом случае также есть некоторые продвижения [111), [108), однако, результаты носят или неявный характер, или касаются малых возмущений постоянного состояния. Существуют работы, в которых получены результаты об образовании особенностей гладкого решения для случая многих иро-
7
странственных переменных в предположении центральной симметрии, когда можно использовать технику, подходящую для одномерного случая [63], (18.4].
Задача об образовании особенности для одномерной системы газовой динамики может быть исследована и другими методами [40). Однако эти методы дают только достаточные условия градиентной катастрофы (вообще говоря, с большим запасом) и требуют неких априорных предположений о решении.
Первой работой, в которой установлены достаточные условия образования в течение конечного времени особенности гладкого решения для уравнений газовой динамики в трехмерном случае была, по всей видимости, работа Т.Сидериса [171]. Изучались начальные данные, представляющие собой возмущение внутри компактной области постоянного нетривиального состояния с положительной плотностью. Общий смысл этих условий таков: скорость распространения носителя (то есть скорость звука в невозмущенной области) мала в сравнении с начальным возмущением. Условия, полученные Сидерисом, являются интегральными, и, вообще говоря, далеки оттого, чтобы быть точными.
В настоящей работе этот результат улучшен (то есть класс начальных данных, при которых гарантировано образование особенности, расширен) и обобщен, а именно, перенесен на случай, когда в правой части уравнений движения (0.0.2) стоит специальная внешняя сила, которая может иметь влияние на скорость распространения носителя.
Кроме того, в диссертации рассмотрены решения, имеющие конечный момент инерции и конечную полную энергию, без ограничения на носитель. Показано, что при некоторых специальных правых частях системы (0.0.1) - (0.0 3) (при которых система будет описывать, в частности, вязкую, в том числе, неньютоновскую жидкость, а также гранулированную среду) возможно указать достаточные условия на гладкие начальные данные, при которых решение соответствующей задачи Коши потеряет классическую гладкость, а также оценить сверху время наступления такого события. В случае вязкой жидкости существенную роль играет размерность пространства.
Как уже было отмечено выше, практически для всех систем вида (0.0.1) - (0.0.3) с нетривиальными правыми частями известные достаточные условия образования
8
особенности первоначально гладкого решения в многомерном случае являются интегральными, то есть они характеризуют некоторые средние свойства решения, так что начальные данные, удовлетворяющие этим условиям, выделяются неоднозначно. По всей видимости, в многомерном случае, вообще говоря, нельзя надеяться на получения критерия образования особенности, то есть необходимого и достаточного условия того, образуется особенность гладкого решения или нет, выписанного только в терминах начальных данных. Немногочисленным исключением служат уже упомянутая система нелинейных уравнений переноса (в том числе, если в правой его части стоит член, отвечающий за Кориолисову силу [110]) тесно связанная с ней система газовой динамики "без давления". Существуют попытки перенести технику, успешно работающую в упомянутых случаях, на случай обычной газовой динамики) 110]. Однако для этого надо делать необоснованные предположения о свойствах поля давления, так что метод представляется искусственным. Однако для этого надо делать необоснованные предположения о свойствах поля давления, так что метод представляется искусственным. В недавней работе учеников И.Тэдмора Б.Ченя и Ч.Ши [76] получены некоторые достаточные условия на начальные данные, при которых решения уравнений мелкой воды (частный случай уравнений газовой динамики) в присутствии силы Кориолиса вращением остаются гладкими в течение бесконечного времени.
Следует сказать, что существует обширная литература об образовании особенностей решений уравнений различного типа. Упомянем школу С.И.Похожаева, с успехом применяющую метод нелинейной емкости для доказательства несуществования решений краевых, начально-краевых и задач Коши для эллиптических и параболических уравнений и систем. Упомянем также многочисленные работы о возникновении особенностей полулинейных волновых уравнений в пространствах многих переменных [64], о поведении решений нелинейного уравнения Шредингера и связанных с ним уравнений [181], [122], [11], работы о разрушении решений систем уравнений магнитогидродинамики [136], [109], нелинейной упругости 1172], уравнений гравитирующего газа [134], уравнений погранслоя [85], релятивистских уравнений Эйлера [133], а также симметрических гиперболических систем со специальными условиями на коэффициенты [170]. Часто в этих работах (и список их далеко не полон) при-
9
меняется технический аппарат, который может быть назван "методом интегральных функционалов" или "методом моментов". Применение подобного метода к различным системам уравнений, имеющим физическую природу, является интенсивно развивающимся в последнее время направлением. Чаще всего этим методом исследуется задача Коши, но есть результаты о приложении к начально-краевай задаче (например. (130]). Отмстим, что разнообразные аналоги "метода моментов" могут быть применены для обнаружения особенных явлений, связанных с потерей решениями гладкости, в довольно далеких друг от друга областях. В [46] речь идет об обнаружении атмосферного фронта, в (46] - о появлении гидравлического скачка, в [65] -о явлении фибриляции в сердечной аорте. В различных приложениях применение метода моментов существенно упрощается, если сделать некоторые дополнительные априорные предположения о решении, например, предположив его глобальную ограниченность (см. в этой связи [43] и [44]). Однако математически такие предположения не оправданы, поэтому в настоящей работе мы ими никогда не пользуемся.
С достаточными условиями возникновения особенностей тесно связан круг вопросов о выявлении классов начальных данных, таких, что соответствующая задача Коши имеет глобально по времени гладкое решение.
Нет нужды обосновывать важность нахождения точных решений систем уравнений, моделирующих сложные физический процессы. Такие решения, например, традиционно используются как тесты для численных алгоритмов. Поиску точных решений систем уравнений гидродинамического типа уделялось много усилий. Значительных результатов удается достичь с использованием группового подхода. Упомянем в эгой связи работы Л.Б.Овсянникова и других ученых новосибирской школы
157], 199], |801.
Примером точных решений служат решения с линейным профилем скорости, для которых компоненты скорости являются линейными функциями координат. Такие решения интересуют нас еще и потому, что на них достигается равенство в большинстве полученных оценок роста интегральных функционалов.
Идея рассмотрения решений с линейным профилем скорости далеко не нова. Такие решения являются точными для уравнений движения идеальной несжимаемой
10
жидкости в эллипсоидальной полости в трехмерном пространстве [27), [14). В этом случае для нахождения зависящих от времени коэффициентов при координатах в компонентах скорости получается автономная динамическая система уравнений с квадратичной нелинейностью. В нашем случае, когда речь идет о сжимаемой среде, мы также получаем автономную нелинейную систему. Если в случае систем гидродинамического типа [14] искомые компоненты решения системы, то есть параметры, определяющие состояние системы в рамках выбранной модели, являются линейными функционалами от поля скоростей жидкости, то в нашем случае к этим параметрам добавляются и те, что являются функционалами от величин плотности и давления.
В некоторых простейших случаях систему удается проинтегрировать полностью или понизить ее порядок. В общем случае можно исследовать се положения равновесия на устойчивость и найти асимптотику решения при стремлении к устойчивому положению равновесия.
Далее мы доказываем теорему о том, что если система системы (0.0.1)- (0.0.3) при специальном выборе обладает глобально гладким по времени решением с линейным профилем скорости и дивергенция скорости положительна (обладая при этом определенными дополнительными свойствами), то в некоторой окрестности этого решения существуют также глобально гладкие решения.
Как следствие мы получаем, что в если в системе присутствуют сухое трение и, возможно, сила Кориолиса, то построенные нами решения обладают всеми необходимыми для применения теоремы свойствами. Для случая уравнений газовой динамики аналогичный результат был получен в Д.Серром [165) и М.Грассен [94).
Отметим, что решения с линейным профилем скорости могут быть также использованы при нахождении локальных критериев "градиентной катастрофы" для уравнений газовой динамики, в том числе многомерных ((163)), а также при исследовании вихрей в различных атмосферных моделях ([149], [160], [161] ).
Далее следует заметить, что, как правило, даже если нам удалось на основании начальных данных сделать вывод о том, что у решения соответствующей задачи Коши появится особенность, тип этой особенности неясен. Тип особенности, конечно, зависит от правых частей. Для уравнений газовой динамики, например, известно,
11
что в точке возникновения особенности обращается в бесконечность или само решение, или его градиент [12], [117). В случае обычной газовой динамики считается, что возникающая особенность представ.1!яет собой ударную волну, однако, в многомерном случае убеждение, что это действительно так, подкрепляется лишь численными расчетами.
Поэтому важным является выделение класса систем, для которых можно явно построить решения с образующимися в течение конечного времени особенностями. В частности, такими системами являются система газовой динамики без давления, а также система, получающаяся из нелинейного уравнения Шредишера в гидродо-намической интерпретации. Первая система используется для моделирования структуры вселенной (108), а вторая - для описания явления автофокусировки в лазерной физике [58). Тем не менее, оказывается, что структура возникающих при этом особенностей сходная. Более того, как мы показываем, в некоторых случаях оказывается возможным на основании решения одной системы построить решение другой.
Для нелинейного уравнения Шредингера с критической нелинейностью в настоящей работе мы строим новые классы решений, у которых образуется особенность, на основании гидродинамической интерпретации этого уравнения.
Следующим вопросом является вопрос о локализации в пространстве возникающей особенности. Зачастую он оказывается даже более сложным, чем локализация особенности во времени. Тем не менее задачи такого рода с практической точки зрения очень важны - если речь идет, например, о местоположении предсказанной ударной волны или атмосферного фронта. В некоторых случаях область, в которой гарантируется возникновение особенности, удается явно указать.
Методы исследования. При решении практически всех задач данной работы использовался специально разработанный метод моментов (специальных интегральных функционалов), а также методы нахождения асимптотик решений сильно нелинейный систем дифференциальных уравнений, различные интегральные неравенства и теоремы вложения.
Цель работы. Разработка метода доказательства несуществования классического решения задачи Коши для важных классов систем уравнений, моделирую-
1*2
щих сплошные среды с различными свойствами. Получение оценок различных типов энергии и изучение возможности перехода одного типа энергии в другой. Построение классов точных решений некоторых квазигазодинамических систем: как глобально гладких, так и тех, у которых за конечное время образуется особенность.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
1. Для различных систем вида (0.0.1) - (0.0.3) рассмотрен класс решений задачи Коши с сохраняющейся массой, моментом импульса и конечным моментом инерции. Для этих решений введен ряд специальных интегральных функционазов и изучены взаимоотношения между ними.
2. Доказано, что все гладкие решения уравнений течений сжимаемой вязкой жидкости (уравнений Навье-Стокса) достаточно быстро убывающие на бесконечности но пространственным переменными, теряют исходную гладкость в пространстве размерности больше или равной трем даже в случае, если носитель их начальных данных — некомпактен. Тем самым получено опровержение гипотезы Ц.П.Шина [ 182], состоящей в том, что в случае некомпактного носителя начальных данных существует глобально гладкое решение системы уравнений Навье-Стокса. Этот же результат доказан для уравнений движения баротроиной сжимаемой магнитной вязкой жидкости в пространстве л = 3. Кроме того, получены двусторонние оценки всех компонент полной энергии (кинетической, внутренней и магнитной).
3. Рассмотрена система уравнений движений баротроиной сжимаемой неньютоновской жидкости, занимающей все пространство. Тензор вязкостей предполагается коэрцивным [129] с показателем д > 1. Показано, что если на решениях полная масса и момент инерции системы сохраняются, то можно найти константу д7 > 1, зависящую от размерности пространства п и показателя адиабаты у такую, что при Я € (<?7, п) не существует глобально гладкого по времени решения задачи Коши. Аналогичный результат доказан для решений уравнений неньютоновской магнитогидродинамики в трехмерном пространстве.
4. Рассмотрена гиперболическая система уравнений идеальной гранулированной гидродинамики во всем пространстве. Доказано, что при показателе адиабаты у €
13
(1,1 + }t\ для любой пространственной размерности все решения с сохраняющимися массой и моментом инерции, соответствующие достаточно малой суммарной массе вещества, за конечное время теряют исходную гладкость. Построены специальные классы точных решений с особенностями, зависящие только от радиальной компоненты. В случае одной пространственной переменной построено нетривиальное решение, не зависящее от времени. Показано, что всякое гладкое возмущение этого решения (при достаточно общих предположениях о его начальных данных) также теряет гладкость.
6. Для уравнений газовой динамики в адиабатическом случае оценено время образования особенности решения и указаны способы локализации этой особенности в пространстве.
7. При дополнительных априорных условиях на скорость распространения носителя гладкого компактного возмущения постоянного решения системы (0.0.1) -(0.0.3) получены условия на начальные данные задачи Коши, достаточные для потери решением исходной гладкости за конечное время.
8. Изучена динамика границы материального объема с гладком течении сжимаемой невязкой жидкости; в частности, решена задача об условиях достижения границей материального объема некоторой окрестности точки, первоначально данному объему не принадлежащей.
9. Построены классы интегральных функционалов типа момента для систем вида (0.0.1) - (0.0.3), встречающихся в геофизических приложениях (с правыми частями, описывающими Кориолисову силу, трение и геопотенциал) и изучены их свойства.
10. Изучен баланс между потенциальной и кинетической составляющими полной энергии систем вида (0.0.1) - (0 0.3), встречающихся в геофизических приложениях.
И. С помощью данных интегральных функционалов построены классы глобально гладких по времени решений систем уравнений газовой динамики в присутствии сил сухого трения и Кориолиса; в случае уравнений обычной газовой динамики построенные решения содержатся в классе так называемых решений с однородной деформацией (Л.В.Овсянников). Изучены асимптотические свойства построенных классов решений. Доказана теорема о том, что в некоторых случаях свойство решения со-
14
хранять гладкость при всех I > 0 является устойчивым по отношению к начальным данным в соболевской норме.
12. Методы, используемые для изучения систем газодинамического типа, применены к теории нелинейного уравнения Шредингера с критическим показателем. А именно, построены новые классы точных решений, среди которых есть те, у которых в течение конечного времени образуется особенность, а также в некоторых частных случаях построено продолжение решения за точку образования особенности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по уравнениям в частных производных, в вычислительной математике для тестирования разностных схем, а также в специальных курсах для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, семинарах ВЦ РАН, МЭИ под руководством Ю.А.Дубинского, семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики в МИАН под руководством С.М.Никольского, О.В.Бесова и С.И.Похожаева, семинарах университетов Бонна, Турина, Брешии, Лаквилы, Милана, Тайпея, а также на более 30 международных и российских конференциях, среди которых выделим следующие: Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная И.Г.Петровскому, Москва (1998, 2001, 2003, 2005, 2009, 2011), Международная конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы", Суздаль (2004), Международная конференция "Дни дифракции", С.-Петербург (2009), Международная конференция "Trends in Nonlinear Analysis", Гейдельберг (2000), Международная конференция "Topics in PDE, Harmonic analysis and Mathematical physics", Novi Sad (2004), Международная конференция "Global and Geometric Aspects in Nonlinear PDE", Ереван (2004), Серия Международных конференций "Hyperbolic problems: Theory, Numerics and Applications", Цюрих (1998), Пасадена (2000), Магдебург (2002), Лион (2006), Вашингтон (2008), Пекин (2010), Международная конференция по законам сохранения
15
в Институте Ныотона, Кембридж (2003), Международная конференция по дифференциальным уравнениям, посвященная юбилею П.Д.Лакса и Л.Ниринберга, Толедо (2006), Международная конференция по физике нелинейных явлений, Тайней (2005, 2007, 2010), Международный конгресс по промышленной и прикладной математике (1С1АМ), Цюрих (2007), Международная конференция по законам сохранения, Триест, БШБА (2011).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав. Главы включают разделы и подразделы; все главы и большинство разделов содержат отдельные введения. Объем диссертации: 264 стр., список литературы включает 184 наименования.
Краткое содержание работы.
Во введении дается общая характеристика работы, краткая история задач и их современное состояние, обосновывается актуальность темы исследования и кратко описывается содержание работы.
Первая глава посвящена исследованию свойств обобщенных моментов, определенных на решениях квазигазодинамических систем достаточно общего вида и связи между ними, а также разнообразным приложениям этой теории.
В п. 1.1 рассматриваются интегралы
Сф(г)= [ Ф(\х\)рс1х, ЗД)= / (7ф(\х\),\)р<1х,
ЭЯ" Э!Я"
интегралы массы т, импульса Р, кинетической и внутренней энергии и Е1ги{0, углового момента М, определенных на гладких решениях квазигазодинамических систем и находятся взаимоотношение между ними в виде обыкновенных дифференциальных уравнений или неравенств при различном выборе функции <£(|х|). Выбор 0(|х|) = ^|х|2 оказывается часто самым удобным - в этом случае мы говорим о решениях с конечным моментом инерции, для которых плотность предполагается убывающей по пространственным переменным достаточно быстро. Такие функционалы были рассмотрены, в частности, Ж.-И.Шеменом |74|. Если речь идет об указанном выборе <£|(х|), при обозначениях мы будем опускать нижний индекс. Получен условный результат о начальных данных задачи Коши, при которых исходная глад-
16
кость решения теряется в течение конечного времени. Идея доказательства состоит в получении противоречия между оценками роста интегральных функционалов по времени, полученными в предположении гладкости решения. Показано, как этот результат может быть применен в случае "газовой динамики без давления" и случая изотермического газа. Обсуждается специфика интегральных условий, достаточных для того, чтобы решение в течение конечного времени потеряло гладкость - эти условия иногда противоречат энергетическим принципам и поэтому не могут быть выполненными ни при каких начальных данных. Результаты опубликованы в [50], [155]. [52].
Во п. 1.2 изучены решения с конечной массой системы уравнений Навье-Стокса, описывающей движение сжимаемой вязкой жидкости (опубликовано в (150], [152]). В этом случае F = divxT. 7 = divx(TV) + кАхв, Т — тензор напряжений, заданный законом Ньютона
Т = Tij = /х (Щ + djVi) 4- Л divxV б»,
где /X И Л есть коэффициенты динамической И объемной ВЯЗКОСТИ, к > ко = const > 0 - коэффициент теплопроводности. Для случая изэнтропического газа получен следующий результат.
Теорема 1.2.3Пусть размерность пространства п > 3, показатель адиабаты 7 > коэффициенты вязкости отделены от нуля положительной константой, начальный вектор момента импульса не равен нулю. Тогда не существует глобального гладкого по времени решения системы уравнений Навье-Стокса с сохраняющи-мися массой и моментом импульса и конечной полной энергией.
Для случая переменной энтропии получен результат о том, что решения из специального класса, характеризующегося, в частности, ограниченным ростом энтропии по времени, не могут быть глобально гладкими.
В п. 1.3 аналогичный результат получен для уравнений изэнтропического движения сжимаемой вязкой магнитной жидкости [157], [158]. Эти уравнения отличаются от уравнений Навье-Стокса добавлением пары уравнений, описывающих магнитное
17
поле Н = (Н1, Я2, #3):
<9гН - сиг1х(и х Н) = —сиг1х(1/сиг1хН), <НухН = 0, и > 0,
Г = (сиг1гН) хН + с!1ухТ, уравнение для энергии согласно предположению изэн-тропичности является следствием (0.0.1) и (0.0.2). Получены соотношения между долями кинетической, внутренней и магнитной энергии на гладких решениях системы.
В п. 1.4, результаты которого опубликованы в [150], рассматриваются уравнения изэнтроп и ческой сжимаемой неньютоновской жидкости, для которой
матрица, За и (3 — гладкие функции, ограниченные в нуле, |Ш|2 = О : О, А : В = £";=1 АУВ^ для всех тензоров второго ранга А и В. Мы предполагаем, что Р подчиняется интегральному условию коэрцивности, состоящему в том, что
выполняется для всех симметрических (п х п) - матриц В и всех неотрицательных д. Решения считаются принадлежащими классу К,,, определяемому условием сходимости соответствующих интегралов. Доказано следующее:
Теорема 1.4.1 Пусть п > 2 и я € (яа>п), я0 = . Если начальный мо-
мент импульса не равен пулю, то не существует гладкого по времени глобального решения из масса с сохраняющимися полной массой и моментом импульса.
Аналогичный результат получен для уравнений неньютоновской магнитной жидкости.
В п. 1.5 рассмотрена система уравнений движения гранулированного газа [72]. Кроме уравнений (0.0.1) и (0.0.2) (Г = 0), туда входит уравнение для температуры
F = divxP(p,B) = 0о(р,divxV)E + ,в(р, |P|)D,
где = (й13) = \ — тензор скоростей деформации, Е — единичная
q = const. >1, и = const > 0,
dt0 + (V, Vx0) + (7 - l)0divxV = -\р03/2.
18
Уравнение для энергии (0.0.3) является следствием указанных трех уравнений. Член -\рР*\ А = const > 0, отвечает потерям энергии при неупругом столкновении.
Доказана теорема ([162], [154]):
Теорема 1.5.1 Пусть сох}Х1няющийся вектор момент импульса отличен от пуля и сохраняющаяся масса вещества достаточно мала. Тогда не существует глобального по времени классического решения система уравнений движения гранулированного газа с конечным моментом инерции.
В одномерном случае построено нетривиальное стационарное решение и рассмотрены его возмущения. Показано, что при некотором условии на начальные данные этого возмущения соответствующее решение не может быть глобально гладким. Далее, для любой размерности построено точное осесимметричное решение с интегрируемой особенностью в начале координат.
В п. 1.6 рассмотрены возмущения нетривиального постоянного состояния, имеющие компактный носитель. Мы обобщаем известную теорему Сидериса о начальных данных, при которых у решения в течение конечного времени образуется особенность. А именно, мы показываем, как предположение о скорости распространения носителя, обусловленной присутствием правых частей, влияет на результат. В оригинальной работе Сидериса рассматривалась система уравнений газовой динамики и поэтому носитель распространялся с постоянной скоростью звука. Наш результат говорит о том, что чем быстрее распространяется возмущение, тем труднее найти начальные данные, при которых выполнено достаточное условие образования особенности. В частности, бесконечная скорость распространения начального возмущения, которая имеет место для уравнений Навье-Стокса с отделенной от нуля плотностью, вообще препятствует получению достаточных условий такого рода.
В п. 1.7 для случая F = О (обычная газовая динамика) рассмотрен вопрос о локализации возникающей особенности. В результате получена теорема о том, каким условиям должны удовлетворять начальные данные для того, чтобы особенность возникла именно в заданной окрестности некоторой точки.
В п. 1.8 рассмотрена задача о движении границы подвижного объема в гладком
19
течении сжимаемой жидкости. В частности, в предположении некоторой априорной оценки на распределение давления по границе подвижного объема, найдены условия на начальные данные, при соблюдении которых граница достигнет некоторой фиксированной точки пространства (|31|).
Вторая глава посвящена исследованию гладких решений квазигазодинамиче-ских систем, заданных в евклидовом пространстве, в случае, когда в правой части уравнений движения стоят такие важные для геофизических приложений силы, как сухое трение, сила Кориолиса или градиент потенциала центробежной силы. Результаты ее опубликованы в (47), [4В], (138], [140], [139]. В основном рассмотрен случай евклидова пространства, хотя мы касаемся и случая двумерного риманова многообразия. Правая часть в уравнениях движения (0.0.2) имеет вид
Гх = Г - ррУ 4- рУ 4* рхи>2,
где /2 = р{х) > 0 есть коэффициент внешнего (Рэлеевского) трения, и есть проекция вектора угловой скорости вращения Земли ш на вертикальную к поверхности ось, V есть вектор, в случае двух пространственных переменных равный /Ух, / = 2$тфи>} ф - географическая широта, V = (Уь Уг), У± = (Уг> —У\)-
В трехмерном пространстве V = (У х и>]. где обозначено векторное произведение. Функция Г обладает теми же свойствами, что и в главе 1.
В этой новой ситуации мы находим достаточные условия того, что решение за конечное время покинет некоторый класс гладких функций. Мы исследуем влияние каждой из упомянутых внешних сил на образования особенности решения, а также исследуем баланс между кинетической и потенциальной составляющими полной энергии на гладких решениях системы. В зависимости от ситуации мы рассматриваем как постоянные, так и переменные значения р и /.
В п. 2.1 вводятся модели, которые будут анализироваться далее в этой главе. Показано, как можно свести трехмерные физические модели к двумерным, в простейшем случае рассматриваемым на плоскости, касательной к фиксированной точке земной поверхности.
П. 2.2 посвящен изучению свойств используемых в дальнейшем интегральных функционалов, вместе с теми, что рассматривались в главе 1, появляется рад новых,
20
например, (^) = 1ъЛУ1,*)р(1х. П. 2.3 посвящен исследованию баланса между кинетической и потенциальной составляющими полной энергии системы. В частности, если нет трения и не учитывается геопотенциал, то присутствие силы Кориолиса приводит к существованию недоступной доли потенциальной энергии (то есть доли, которая ни при каких обстоятельствах не может перейти в кинетическую энергию), что соответствует представлениям метеорологов [8]. В этом состоит отличие от случая обычных уравнений газовой динамики, когда на гладких решениях с течением времени вся потенциальная энергия переходит в кинетическую. В пп. 2.4 и 2.5 изучено влияние трения и вращения на образование особенностей.
В п. 2.6 рассмотрен специальный класс решений уравнений газовой динамики — решения с компактным носителем плотности. При этом в правой части уравнений движения добавляется член, описывающий сухое трение и вращения, вообще говоря, с переменными параметрами. Уравнения рассматриваются как в евклидовом пространстве, так и на двумерном гладким римановом многообразии.
В третьей главе ([1-15], [49], [148]) в евклидовом пространстве нескольких переменных мы строим некоторые классы гладких решений, в частности те. на которых достигается равенство в интегральных оценках п. 1.1. Это так называемые решения с линейным профилем скорости, когда
V = Л(£)х + Ь(£),
где Л(<) - матрица (п х п) и Ь(I) - п - вектор, зависящие от времени, х - радиус-вектор точки. Для построения решения также оказывается удобным использовать некоторые интегральные функционалы. С их помощью можно получить замкнутую автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Компоненты матрицы Л(<) и вектора Ь(£) являются составляющими этой системы уравнений наряду с некоторыми вспомогательными функциями.
Несмотря на то, что упомянутая система является нелинейной, в некоторых случаях удается ее полностью проинтегрирововать, или понизить порядок уравнение, или исследовать асимптотику решений в окрестности положений равновесия.
В п. 3.1 такое решение построено в случае пространства, размерности два в присутствии силы сухого трения и силы Кориолиса вращение с постоянными парамет-
21
рами, то есть Г = ЬрУ} с матрицей I =
Отдельно рассмотрен случай, когда
V = а(*)х + /?(1)хд. + Ь(1) = а(1)Е + /?(«)
*1(0
62(0
Например, если Ь(<) = 0, то компоненты решения удовлетворяют следующей нелинейной системе:
Далее рассмотрен случай матрицы -4(1) общего вида.
В п. 3.2 рассмотрены сухое трение и сила Кориолисова в физическом трехмерном пространстве. А именно, Р = —/хр\г + <5р[У х ш\ где <5 = 0 или 1, ш - это постоянный вектор, р. > 0 - константа, [а х Ь; обозначено векторное произведение. Мы строим здесь решение с линейным профилем скорости следующего вида: V « а(1)х + /?(<)(х х ш].
В п.3.3 мы доказываем, что в случаях, рассмотренных в первых двух параграфах, существуют частные глобально гладкие по времени решения со специальным степенным убыванием дивергенции скорости, которые будут использованы в дальнейшем.
В п.3.4 мы расширяем класс глобально гладких решений системы газодинамического типа следующим образом. Мы доказываем теорему о том, что если система обладает глобально гладким решением с линейным профилем скорости, с некоторыми специальными свойствами (эталонным решением), то, выбрав начальные данные мало отличающимися в некоторой Соболевской норме он начальных данных эталонного решения, мы получим, что решение соответствующей задачи Коши также глобально гладкое.
В п.3.5 мы доказываем следствие этой теоремы, на основании которого можем сделать заключение о том, что некоторые из решений с линейным профилем скорости, построенные нами в пп.3.1 и 3.2, являются эталонными.
0\(1) = -2а(1)0,(1), 0(1) = а(т ~ 2(5(1)) ~ дОД,
с! (г) = -«2(0 + (5*(1) - 1(5(1) - ца(1) + (7 - 1 )КО}(1), С,(1) = 1 /0(1).
22
В четвертой главе, основные результаты которой опубликованы в [151|, [150], [147) рассматривается нелинейное уравнение Шредингера с критической нелинейностью а =
+ ДХФ 4- |Ф|аФ = 0. Ч'(г,а;):1(+ха;-»С. (0.0.5)
Нелинейность является критической в том смысле, что при а < £ доминирует дисперсия и решение (0.0.5) остается гладким при всех Ь > 0, а при а > £ решение может разрушаться.
Гидродинамическая интерпретация этого уравнения [I ]6] позволяет применить к нему методы построения решений, разработанные нами ранее для систем газодинамического типа. Гидродинамическая интерпретация состоит в сведении уравнения (0.0.5), решением которого является комплекснозначная функция, к системе
дср 4- <Йу*(рУ) = 0,
д,(рУ) + АЬх(р\ ® V) = 2(АЧХ(АХА + А"*') - ЧХА(АХА + Л“+1)), А = р,/2.
где Ф(£,х) = А^,х)ехр(гф(1,х)). Функции А{Ь,х) > 0 и ф(1,х) здесь действительнозначны, они соответствуют амплитуде и фазе волны, р = |Ф|2, V - удвоенный градиент фазовой функции ф.
Мы строим новые классы точных решений этого уравнения, описывающие волновой коллапс или рассеяние волновых пакетов. Эти решения являются обобщениями известных решений, построенных исходя из "основного состояния" 1180]. В случае образования особенности имеют отличающийся от известного порядок роста при времени, стремящемуся ко времени потери гладкости. При этом также использован аппарат интегральных функционалов, который в случае нелинейного уравнения Шредингера аналогичен методу моментов [10].
В случае одной пространственной переменной мы строим решение, продолжающееся как обобщенное за точку волнового коллапса. Возникающие в нем особенности существуют бесконечное время, они могут двигаться и взаимодействовать между собой, однако такое продолжение единственно с точностью до выбора некоторой монотонной функции.
23