Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Оглавление
Введение 3
Глава 1. Краевые задачи для уравнений смешанного парабологиперболического типа с неизвестной правой частью, не зависящей от времени 22
§1.1. Обратная задача с граничными условиями первого рода .... 22
§1.2. Обратная задача с граничными условиями второго рода .... 41
§1.3. Обратная задача с граничными условиями третьего рода .... 48
Глава 2. Обратные задачи для уравнений смешанного парабологиперболического типа с неизвестной правой частью, зависящей от времени 58
§2.1. Обратная задача с граничными условиями первого рода .... 58
§2.2. Обратная задача с граничными условиями второго рода .... 76
§2.3. Обратная задача с граничными условиями третьего рода .... 84
Библиографический список 93
2
Введение
Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [87] и С. Гсллерстедта [100], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известных как "задача Трикоми"и "задача Геллсрстедта".
В 40-х годах Ф.И. Франкль [89] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике.
В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль [90, 91], А.В. Бицадзе [9|, К.И. Бабенко [2],
S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter [103], С.S. Morawetz [102], J.R. Cannon [98, 99], Л. Берс [б], В.Ф. Волкодавов [13], В.H. Врагов [14], Т.Д. Джураев [19. 20], В.А. Елеев [21], В.И. Жегалов [24], А.Н. Зарубин [22], И.Л. Кароль [33], А.И. Кожанов [34], Ю.М. Крикунов [38], А.Г. Кузьмин [39, 40], О.А. Ладыженская [43], М.Е. Лернер [44], Е.И. Моисеев [45], А.М. Нахушев [47, 48],
з
Н.В. Плещииский [49], С.П. Пулькин [53], JI.C. Пулькина [54], O.A. Репин [58], К.Б. Сабитов [61], [63] - [66], М.С. Салахитдинов [71], М.М. Смирнов [80], А.П. Солдатов [82, 83], P.C. Хайруллин [93], Хс Кан Чер [96], М.М. Хачев [94, 95] и др. В их работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.
Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда па одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. И.М. Гельфандом [15]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина |84], Я.С. Уфлянд [88], Л.А. Золина [23] показали другие применения этих задач. Так, например, Я.С. Уфлянд задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда па участке полубесконечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки, свел к решению системы уравнений
а также при требованиях непрерывности напряжения и тока на прямой х = I :
Здесь Ь, С\ - самоиндукция и емкость (на единицу длины) первого участка линии; /?., С% - сопротивление и емкость второго участка. Если из системы
(0.1)
при начальных и граничных условиях:
^*1t=o h\t=ü~ 0, t/г|<=0 — 0;
Ui\x=0 = E(L), limt/2 = 0,
уравнений (0.1) исключить токи, то получим задачу для уравнения смешанного параболо-гииерболического типа
^ \ а1^хх ~ Vyy — 0, 0 < X < ^
[ а%Ухх — Уу — О, I < х < оо,
с соответствующими граничными условиями:
V(x, 0) — 0, Vy{x, 0) = 0, 0 < х < V(rc,0) = 0, 1<х< оо,
V(0, у) = Е(у), lim V(х, у) = (),'
X—* + ос
и условиями сопряжения:
у
V(l-0,y) = V(l + 0,y), Vx(l + 0,y) = jJ Vx(l-Q,V)dr,,
О
2 1 2 1
01 LCi' "2 RC2
Эта задача для более общего уравнения, чем уравнения (0.2), рассмотрена в [20].
O.A. Ладыженская и Л. Ступялис [43| в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гииерболических уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном поле.
Л.А. Золина [23] исследовала аналог задачи Трикоми для уравнения
j ихх — Uy = 0, у > 0,
Lu = < (0.3)
^ ихх Uyy = 0, у < 0, в области, ограниченной при у < 0 характеристиками АС(х + у — 0) и ВС(х — у — 1) уравнения (0.3), а при у > 0 - отрезками прямых AAq(x = 0), ВВ{)(х = 1) и АоВй(у = h > 0), с граничными условиями и условиями склеивания:
и
„„ =¥>1 (у), Щ =<р2(у), 0 <y<h,
ААо IВ В0
и
AC
— ф(х), 0 < x < 1/2,
u(x, +0) = \(x)u(x< —0), uy(x, +0) = /х(х)%(п;, —0), 0 < x < 1.
После этих статей появилось множество работ, где изучаются задача Три- . коми и се обобщения, задачи со смещениями, задача тина задачи Бицадзе-Самарского и другие нелокальные задачи для смешанных парабол о-гиперболи-ческих уравнений второго порядка. Это работы Х.Г. Бжихатлова и А.М. На-хушева (7], Х.Г. Бжихатлова [8], 13.Н. Врагова |14j, В.А. Елеева [21], НЛО. Капустина [31, 32], А.М. Нахушева [48], К.Б. Сабитова [61 ] и других.
Достаточно полная библиография по теории краевых задач для смешанных параболо-гиперболичсских уравнений содержится в монографиях [19, 20].
К.Б. Сабитовым [611 для уравнений
где Аі, Аг - числовые параметры, рассмотрен аналог известной задачи Трико-ми и изучен характер влияния гиперболической части уравнений (0.4) и (0.5) на корректность постановки задачи Трикоми. Показано, что единственность решения задачи Т в классе регулярных решений уравнения (0.4) существенным образом зависит от параметров А і и Х2. Если даже Ах > 0, что в области параболичности гарантирует выполнение принципа экстремума, то найдется такое Х2, при которых однородная задача Трикоми имеет ненулевое неотрицательное решение. А задача Трикоми для уравнения (0.5) вообще не имеет ни вещественного, ни комплексного спектра.
(0.4)
^х ^уу \\_ii- — 0, 2/^>0,
ихх - Uyy + \2и = 0, у < 0,
(0.5)
6
В работах Н.И. Ионкина [29, 30] в области Dt = {(х, £) | 0 < х < 1, 0 < t < Т} для уравнения теплопроводности
Щ - ихх = f(x, t)
изучена нелокальная задача с условиями:
Здесь показано, что нелокальное условие из (0.6) эквивалентно нелокальному условию их(0,£) = их( 1, А), 0 < I < Т. В этих работах доказаны теоремы
существования и единственности классического решения этой задачи. Идея метода решения задачи основывается на возможности разложения функции у?(х), задающей начальное условие, в биортогоиальный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора исходной задачи [281.
Сабитовым К.Б. [64] исследована задача с граничными условиями и(0,£) = м(1,£) = 0, —а < I < /?, и(х, — а) = /ф(х)1 0 < х < 1, для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа
в прямоугольной области I) = {(х,£)| 0 < х < 1, —а < I < /?}, где а > 0, /?>0и6>0~ заданные действительные числа. Методом спектрального анализа при некоторых условиях а и в установлен критерий единственности и решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда Фурье.
В работах Сабитова К.Б., Рахмановой Л.Х. [55|-[57| исследованы начальнокраевые и нелокальные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболи-
1
(0.6)
о
гл(х,0) = <р(х), 0 < х < 1.
7
ческого типа
iUt - Uxx -Ь ь2и = 0, t > 0,
(—t)muxx - uh - b2(—t)mu = О, t < 0, где тп = const > 0, 6 = const > 0, в прямоугольной области D. Здесь также методами спектральных разложений при при некоторых условиях на а и ß установлены критерии единственности и доказаны существовании решений краевых задач в виде сумм рядов Фурье.
Данная диссертационная работа посвящена изучению обратных краевых задач для уравнения смешанного типа, о важности такого рода исследований отмечалось в работах Лаврентьева М.А., Франкля Ф.И., Вицадзе A.B., Бабенко К.И.
Ранее обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка изучались многими авторами, такими как: Тихонов А.Н. [86], Денисов А.М. [16| (см. приведенную там обширную библиографию), [17, 18], Иванов В.К. [26], Кожанов А.И. [35, 36|, Лаврентьев М.М. [41, 42], Прилепко А.И. [50] - (52), Романов В.Г. [59, 60], Баев A.B. [3, 4] Меграбов А.Г. [101] и многие другие.
В тоже время отсутствуют исследования, посвященные решению обратных задач для уравнений смешанного типа.
Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений обратных задач для уравнений смешанного параболо-гиперболичсского типа
Lu = /(£,*), (0.7)
где
8