Оглавление
I. Неортонормированные фундаментальные системы функций 13
1. Односторонне обратимые операторы.................... 14
2. Неортонормированные фундаментальные системы функций ................................................... 17
3. Разложении элементов пространства ^(Я) по неорто-
нормированным фундаментальным системам функций . 23
II. Неортонормированные фундаментальные системы функций оператора Лапласа 27
4. Неортонормированные фундаментальные системы функ
ций оператора Лапласа............................... 27
о. Оценки интегралов, содержащих функции Бесселя ... 31
0. Точные по порядку оценки сумм квадратов иеортонор-
мированвых фундаментальных систем функций 12
III. Равномерная сходимость спектральных разложений по неортонормиропанным фундаментальным системам функций оператора Лапласа 53
7. Классы Соболева-Лиувилля............................ 54
8. Равномерная сходимость разложений по нсортонорми-
ропанным фундаментальным системам функций оператора Лапласа........................................ 59
9. Асимптотика спектральной функции средних Рисса спектральных разложений..................................... 08
10. Равномерная сходимость средних Рисса спектральных
разложений.......................................... 74
1
Введение
Спектральная теория дифференциальных операторов является одним из важнейших разделов анализа как с точки зрения общей теории, так и приложений к практическим задачам математической физики. Основу ее заложили классические труды Ж.Лиувилля,
III.Штурма. Д Гильберта, В.А.Стеклова. Д.Биркгоффа и И.Д.Тамаркиня Значительный вклад в развитие спектральной теории внесли работы С.Вохнора, Э.Ч.Титчмарша. Л.Гординга, С.Феффермана. Б.М.Левитана. В.Л.Ильина, А.Г.Костюченко, И.М.Гельфанда и многих других математиков.
Вопросы спектральной теории обычно рассматриваются для дифференциальных операторов, подчиненных определенным краевым условиям. В 1908 году В.А.Ильиным [1] было введено понятие фундаментальной системы функций оператора Лапласа во внутренней подобласти II Х-мерной области V. С !КЛ. никак не связанное с какими-либо краевыми условиями.
Пусть задана система решений {«„}, п = 1,2 уравнения Гельмгольца
+ А„ип = 0. А„ > 0 (0.1)
в области П. Система функций {«„} называется фундаментальной в если для любого п
«„ = й,,|0 (0.-2)
для некоторого ортонормированного базиса {«„} в Б рамках
этого понятия В.А.Ильиным была построена универсальная теория, позволившая при изучении спектральных разложений отказаться от задания краевых условий конкретного вида. В частности, разработанная им техника охватывает все самосопряженные неотрицательные расширения оператора Лапласа с чисто точечным спектром на
числовой прямой. Итог этой теории был подведен в монографии
В.А.Ильина [2].
Развитая В.А.Ильиным теория опирается, в сущности, на два следующих основных свойства фундаментальной системы функций. Первое из них - формула среднего значения решений (0.1). Если шар В(х,г) радиуса г с центром в точке * содержится внутри И, то справедливо равенство
j «„(.г + ги?)«*и» = <*2Л-)Л/2(ЛГ)(г )(2_Л 2«/{л _2)/2<, (0.3)
м=1
где ./„(.г) означает функцию Бесселя первого рода порядка г. а г/и; есть элемент площади единичной сферы в Е*Л.
Второе свойство фундаментальной системы функций вытекающее из определения (0.2) равенство Парсеваля
£(*«„)* = Ы*. г ем»). (0.4)
п
где {.) и |-| означают, соответственно, скалярное произведение и норму в /^(П).
Пользуясь только этими двумя свойствами, В.А.Ильин устанавливает точные по порядку оценки как сверху, гак и снизу некоторых определенных сумм квадратов функций м„(х) на каждом компакте К С П. Прежде всего, для любого // > 1 функция
9(хУ)= £ «Цх) = 0(1)„" (0.5)
равномерно по г е Ид и непрерывна в области П. Здесь и ниже под Ид понимается множество всех точек .г € И, расстояние которых до границы ди больше /?. Отсюда, в частности, следует, что при о > У/2
£ е С(П).
А„>1
Более существенную роль играет установленная В.А.Ильиным рлв номерная по х € Ид оценка
р+1
j <10(х, /2) = 0(1)/1У-‘, (0.6)
3
точная в том смысле, что справедлива оценка снизу
/<+Г
С J > у/'"1, у/ > 27, (0.7)
1>-Т
где положительные постоянные С и 7 зависят только от Л.
Эти оценки позволяют сделать ряд важных заключений об асимптотике по А числа «(А) собственных значений А„ < Л.
В.Л.Ильиным, с помощью разработанной им техники, были получены исчерпывающие окончательные по точности результаты о равномерной сходимости (на компактных подмножествах в } в классах Соболева-Лиувилля [3] спектрального разложения
* = £(*, ««К (0-8)
п
по фундаментальной системе функций. Аналогичные результаты были установлены и для средних Рисса
(£;<?)(*)= £ * > 0; (0.0)
А„<А ^ '
они опираются на соответствующие оценки спектральной функции
£ (1-х) (оло)
А*<А ' '
Окончательный центральный результат В.А.Ильина выглядит следующим образом. Пусть Ьр,о(В) обозначает класс всех функций ір, обращающихся и нуль вне некоторого компакта /\ С II и принадлежащих пространству Соболева-Лиувилля 7"{КЛ ) .
Теорема (В.А.Ильин [2]) (а) Если
*>€£*0(Я), а + *>(ЛГ-1)/2, ро > /V, р> I, (0.11)
то ЕуР —» 9 при А —► +оо равномерно « для любого ІІ > 0.
(1>) Если у = 0 в окрестности, компакта К С П и
*>€/£,0(Я), а + я > (Ат - 1)/2. (0.12)
то Е*х —* 0 при А —* +ос равномерно на К.
-1
(с) Если а + я < (.V — 1)/2. то для любой точки х0 Є £2 наіідется такая функция ^ Є , что ^(.г) = 0 о окрестности .Го а
Пш Е1(хо) = оо. (0.13)
Л hoc
1} дальнейшем теория В.А.Ильина развивалась по многим направлениям. В самой монографии [2] установлено, что привлечение известной теоремы Гординга-Браудсра-Маутнера об упорядоченном представлении пространства /.2 позволяет перенести основные результаты на случай любого самосопряженного неотрицательного расширения оператора Лапласа с произвольным точечным или непрерывным спектром.
Кроме того, известная формула Е.И.Моисеева [5] о среднем значении регулярных решений эллиптических уравнений со спектральным параметром позволила распространить эту теорию с оператора Лапласа на случай общих эллиптических операторов второго порядка [0]. Эта теория получила также развитие и для случая некоторых эллиптических операторов и систем высокого порядка [7].
Положенное В.А.Ильиным п основу определения фундаментальной н системы функций свойство образовывать ортонормиро-
ванный базис в более широкой области Q использовалось, по существу, лишь в том смысле, что так определенная система функций удовлетворяет равенству Парсеваля (0.1) в области П. Поэтому .за основу определения фундаментальной системы функций можно взять именно свойство системы функций удовлетворять в некоторой области <2 равенству Парсеваля, не прибегая к ортонормиро-ванному базису {«„} в более широкой области Q. Как установлено
А.М.Олевским [8. 9]. наличие равенства Парсеваля в Г2 в определенном смысле и достаточно для существования ортонормированного базиса {»„} n L?(Q) со свойством (0.2). Болес точно, им получены необходимые и достаточные условия для указанного продолжения функций {«„} до ортонормированного базиса в Q .
Все связанные с ортонормированноетью и базисностью понятия удобно описывать в терминах линейного оператора Р : £г(12) —* 1г, определяемого равенствами
(/V). = (*“«)> " = м (014)
Если для системы {в,,} оператор Г ограничен, то существует и сопряженный оператор Р' : /2 —+ £г(П). переводящий элемент с„ есте-
- Київ+380960830922