Содержание
Введение 4
§1. Обобщенный принцип сжимающих отображений 9
1.1. Метрические пространства.................................. 9
1.2. Принцип сжимающих отображений для полных метрических пространств............................................... 10
1.3. Принцип сжимающих отображений для компактных метри-
ческих пространств........................................ 12
1.4. Обобщенные метрические пространства ...................... 13
1.5. Обобщенный принцип сжимающих отображений для полных обобщенных метрических пространств......................... 15
1.6. Обобщенный принцип сжимающих отображений для компактных обобщенных метрических пространств .................... 17
1.7. а - матрицы и Ь - матрицы ................................ 18
1.8. Свойства а - матриц и Ь - матриц ......................... 22
1.9. Оценка спектрального радиуса а - матрицы.................. 27
1.10. Об одной теореме......................................... 32
1.11. Комментарии.............................................. 33
§2. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений 36
2.1. Постановка задачи ........................................ 37
2
2.2. Периодическая функция Грина............................. 38
2.3. С - теория.............................................. 40
2.4. 1/2 - теория............................................ 50
2.5. Комментарии ............................................ 65
§3. Периодические решения нелинейных дифференциально - разностных уравнений 68
3.1. Введение................................................ 68
3.2. Основные предположения и постановка задачи.............. 69
3.3. Нерезонансное условие................................... 72
3.4. С - регулярные дифференциальные операторы............... 74
3.5. Периодическая функция Грина............................. 81
3.6. С теория: обобщенный принцип сжимающий отображений
и принцип Шаудера....................................... 84
3.7. Ь'2 - теория: обобщенный принцип сжимающий отображений и принцип Шаудера........................................ 90
3.8. Пример, теорема Хейса...................................102
§4. Периодические решения теории автоматического регулирования 105
4.1. Введение................................................105
4.2. Основные предположения и постановка задачи..............106
4.3. Теорема Красносельского и ряд ее уточнений..............109
4.4. Доказательство теоремы Красносельского и ряда ее уточиеиийШ
4.5. 1/2 ~ теория: обобщенный принцип сжимающих отображений 116
3
Введение
При изучении различных задач теории нелинейных колебаний одно из первых мест (если нс первое место!) занимает исследование установившихся процессов, как-то: стационарных (то есть не меняющихся со временем), периодических, условно периодических, почти периодических и т.п. Диссертация посвящена периодическим решениям (вынужденным колебаниям) следующих нелинейных уравнений - обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциально - разностных уравнений и уравнений теории автоматического регулирования. Подчеркнем, что речь идет о периодических решениях с заранее известным периодом (периодом правой части).
Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений могут быть подвергнуты изучению с помощью различных методов - это и метод точечных отображений Пуанкаре - Андронова, и метод интегральных уравнений, метод направляющих функций Красносельского и Перова и вариационные методы и т.д. Диссертация всецело посвящена применению метода интегральных уравнений для исследования периодических решений указанных выше типов нелинейных дифференциальных уравнений.
Метод интегральных уравнений обстоятельно изучен в монографии Е.Н. Розеивассера "Колебания нелинейных систем"[51|. имеющих подзаголовок "Метод интегральных уравнений". Интересно отметить, что ме-
4
тод интегральных уравнений с успехом был применен к изучению почти периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, что было продемонстрировано в монографии М.А. Красносельского, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова "Нелинейные почти периодические колебания"[14]. Для того, чтобы свести исследуемую проблему к системе нелинейных интегральных уравнений систематически используется периодическая функция Грина, которая в случае уравнений теории автоматического регулирования принимает облик амплитудно- частотной характеристики (АЧХ). После того, как исходная задача сведена к изучению системы нелинейных интегральных уравнений, к ней для установления условий существования и его единственности (или только существования) применяется обобщенный принцип сжимающих отображений (или принцип Шауде-ра).
Обобщенный принцип сжимающих отображений ведет свое начало с работы А.И. Перова [34], опубликованный в 1964 года, в которой впервые появились условия, названные в данной диссертации критерием Мецлера - Котеляиского. Этот принцип дает необходимое и достаточные условия того, что спектральный радиус матрицы с неотрицательными элементами меньше единицы. Этот критерий внешне весьма напоминает классический критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы и критерий Рауса - Гурвица асимптотической устойчивости алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами.
Диссертация разбита на четыре параграфа и снабжена списком цитируемой литературы. Изложим вкратце основное содержание каждого параграфа.
§1. Обобщений принцип сжимающих отображений.
В диссертации обобщенный принцип сжимающих отображений излагается как для полных (обобщенных) метрических пространств - аналог
5
классического принципа Банаха - Каччиополли, так и для компактных (обобщенных) метрических пространств. В первом случае в формулировке теоремы участвуют а - матрицы (то есть матрицы, удовлетворяющие критерию Мецлера -- Котел я некого), а во втором случае Ь - матрицы, определение которых в общем случае выглядит достаточно громоздко (оно полностью приведено в тексте диссертации). В первом параграфе приводится с полными доказательствами как упомянутые выше варианты обобщенного принципа сжимающих отображений, так и различные свойства а - матриц и Ь - матриц.
§2. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Во втором параграфе приведены различные достаточные условия существования и единственности (или только существования) вместе с оценкой периодических решений и их производных, а также оценками сходимости метода последовательных приближений. Для оценок использованы метрики двух функциональных пространств - пространства Чебышева С[0,иф и пространства Лебега Ь-2[0, о?]. В этом параграфе приведены теоремы, доказываемые с помощью Ь - матриц.
§3. Периодические решения нелинейных дифференциально - разностных уравнений.
В этом параграфе построена функция Грина задачи о периодических решениях для линейных дифференциально - разностных уравнений с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента., на знак которых не налагается никаких ограничений. Указываются необходимое и достаточное условия существования и единственности периодической функции Грина и изучаются в пространствах С[0,о^ и Ь2[0М нормы и спектральные радиусы линейных интегральных операторов. связанных с периодической функцией Грина. Формулируют-
6
ся и с помощью метода интегральных уравнений доказываются различные признаки существования и единственности (или только существования) периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, правые части которых удовлетворяют или условию Липшица, или условию типа Липшица.
При написании этого параграфа были использованы основополагающие работы А.Д. Мышкиса [23], Л.Э. Эльцгольца и С.В. Норкина [60], В.П. Рубаника [52], В.Г'. Курбатова (63j, a. также Э. Пинни [38] и Р. Веллмана и К. Кука [4].
Отметим, что определенный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли воронежские математики: М.А. Красносельский, Ю.Г. Борисович, Б.Н. Садовский, В.В. Стрыгии и др.
§4. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений теории автоматического регулирования.
В этом параграфе на основе обобщенного принципа сжимающих отображений уточняется и обобщается теорема существования вынужденных периодических колебаний некоторых нелинейных систем автоматического регулирования, предложенная А.М. Красносельским [13]. Обобщение состоит в том, что нелинейностям разрешается зависить не только от самих искомых функций, но и от их производных.
В диссертации приняты следующие обозначения. Вектор - строка и вектор - столбец с компонентами а\,...уап обозначаются соответственно (ai,...,а«) и col(ai,....an). Операция * означает транспонирование; например, если Q = (qij). то Q* = (дд). Спектральный радиус матрицы Q обозначается sprQ. Единичная матрица любого порядка записывается как I. Для п - мерных векторов а и b мы пишем а < b или а < b в за.ви-
7
симости от того а.і < Ь{ или а* < 6* при всех і = 1, ...,7г. Аналогично для матриц. Если Q - неотрицательная квадратная матрица и Qh — ph. где h > 0 и р = spr Q. то h называется перроновъш собственным вектором, а р - перроновым собственным значением. Начало и конец доказательства обозначаются значками □ и ■ соответственно.
Пусть А = (а^) - произвольная п х п - матрица с комплексными элементами Аь..., Ап - полный ттабор ее собственных значений. Максимальный из модулей собственных значений называется спектральным радиусом матрицы А и обозначается spr А. Максимальная из вещественных частей собственных значений называется спектральной абсциссой матрицы А и обозначается spa А. Таким образом,
Минор матрицы А, построенный по срокам с номерами ци столбцам с номерами обозначается
spr А = max |А*|, spa А = max Re А*.
1 <і<п 1<*<п
1<і<п
8
§1. Обобщенный принцип сжимающих отображений
При изучении систем нелинейных интегральных уравнений, возникающих в теории нелинейных колебаний, иногда, применяют обобщенный метод сжимающих отображений. В этом случае расстояние между точками измеряется не с помощью неотрицательных чисел, а с помощью векторов с неотрицательными компонентами, а в роли констант сжатия выступают не неотрицательные числа, меньшие или равные единице, а квадратные матрицы с неотрицательными элементами, спектральный радиус которых либо меньше единицы (а - матрицы), либо равен единице (6 - матрицы).
Предложенные в данном параграфе результаты опубликованы в работах [41], [42].
1.1. Метрические пространства
Напомним основные положения теории метрических пространств [22], [54], |8], ]9].
Пусть М - метрическое пространство и с1(х, у) : М х М 4 1 ■ расстояние между элементами х и у этого множества. Как известно, метрика (метрическая функция) - это числовая функция, удовле-
9
творяющая следующим требованиям:
1° <1(х,у)>0,
2° а(х,у) = 0 <=> х = у,
3° с!(х,у) = <1(у,х),
4° с!(х,у) < а(х!2) + с1(г,у).
Последовательность х* точек метрического пространства М называется сходящейся к точке х из М. если для любого € > 0 можно указать такой номер N(6), что <1(х*,х) < г для всех номеров к > ЛГ(е). Последовательность Хк называется фундаментальной, если для любого е > 0 можно указать такой номер №(е), что <1(х*,х/) < е для всех номеров к>1 > N(6). Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Если в метрическом пространстве верно обратное. -каждая фундаментальная последовательность является сходящейся, - то оно называется полним.
Метрическое пространство называется компактным (компактом)) если из любой последовательности его элементов всегда можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Каждое компактное метрическое пространство является полным.
1.2. Принцип сжимающих отображений для полных метрических пространств
Для удобства изложения приведём классический принцип сжимающих отобраоюепий, принадлежащий Банаху и являющийся абстрактной формой построений Каччиополли и метода последовательных приближений Пикара. Среди общих положений нелинейного функционального анализа он хорошо себя зарекомендовал и нашел разнообразные применения в теории нелинейных колебаний (К.О. Фридрихе, Дж. Стокер,
10
- Київ+380960830922