*
Оглавление
Введение 2
1 Тест Пенлеве для неабелевых уравнений 10
1.1 Предварительные сведения........................ 10
1.2 Первое матричное уравнение Пенлеве...............19
^ 1.3 Второе матричное уравнение Пенлеве................24
2 Линеаризация системы эволюционных уравнений 28
2.1 Предварительные сведения . . . . ;...............28
2.2 Модификации сингулярного анализа.................35
2.3 Линеаризация системы типа Бюргерса...............46
3 Приложения к теории переноса 53
3.1 Предварительные сведения.........................53
3.2 Перенос в дисперсионных средах...................61
3.3 Учет эффектов высшего порядка.....................70
3.4 Перенос со смешением мод.........................70
Заключение 82
^ Литература 83
*
1
Введение
Теория интегрируемости дифференциальных уравнений — дисциплина, бурно развивающаяся прямо на глазах. Эта область пауки сейчас весьма актуальна и в нее вносят вклад многие исследователи и научные группы, работающие в различных странах мира. Среди них: М.Дж.Абловитц, М.Д.Крускал, А.К. Ныоэлл (все — США), П.Ушггерниц (Канада), Ф. Калоджсро (Италия), Р.Конт (Франция), М.Мюзстт(Бельгпя), А.Форди (Великобритания), М.Лакшма-нан (Индия), Р.Хирота (Япония), В.И.Фущич (Украина), В.И.Гро-мак, H.A.Лукашевич, А.И.Яблонский (все — Беларусь), В.Е. Захаров, H.A. Кудряшов, А.Б.Шабат, Л.Д.Фаддсев (все — Россия) и многие другие, на перечисление которых потребовалось бы слишком много места.
Хотя первые кирпичики в фундамент указанной теории закладывались сотни лет тому назад, но само здание еще не вполне завершено. Даже основополагающее для этой теории определение понятия интегрируемости допускает на сегодняшний день различные трактовки. Все перечисленные выше ученые являются представителями разных подходов к построению теории интегрируемости. Среди этих подходов можно назвать, например, групповой анализ, исследующий дифференциальные уравнения с точки зрения их инвариантности относительно групп преобразований. Основы группового анализа были заложены в XIX веке в исследованиях норвежца М.С.Ли. Или же можно упомянуть такую отрасль науки как теория солитопов, начатую с наблюдения Дж.Скоттом Расселом в 1834 году уединенной волны, которую он не мог догнать, скача на лошади вдоль канала, и выросшую в мощную дисциплину, объединяющую целые иерархии сложных нелинейных уравнений. Высшим достижением указанной теории является, пожалуй, метод обратной задачи рассеяния (Грин, Гарднер, Крускал, Мнура). К выше-
перечисленным подходам тесно примыкает также симметрийный анализ, который выявляет алгебраическую структуру определенных операторных соотношений. По мнению А.К.Ныоэлла, именно алгебраические свойства лежат в основе всех методов проверки интегрируемости дифференциальных уравнений.
Мы сосредоточимся лишь на одном частном методе, который западные исследователи часто называют сингулярным анализом, поскольку он выводит заключение об интегрируемости исследуемых конкретных дифференциальных уравнений из отсутствия сингулярностей у решении данных уравнений. Естественно, как и любой частный метод исследования, он имеет свои границы применимости, и наряду с преимуществами, не лишен недостатков. К сожалению, частный характер этого метода делает невозможным строгое доказательство неких общих формулировок, однако, он является прекрасным средством для эвристических умозаключений.
Идея состоит в поиске решения исходного уравнения с частными производными в виде аналога ряда Лорана с переменными коэффициентами по степеням некоторой функции независимых переменных (Джимбо, Крускал и Мива [20])
оо
;=о
либо более общего вида (Вейсс, Табор и Карнивэйл [21])
оо
и = '^2иЖг,х)<р~р(ьх).
j=0
Последовательно находим показатель степени —р, с которого начинается разложение, те значения индексов j, при которых обращаются в ноль множители при соответствующих коэффициентах ряда, при этом один из индексов, соответствующий произвольной функции сингулярного многообразия ф, будете = —1, подсчитываем число произвольных функций, которое, очевидно, должно сов-
падать с порядком исследуемого уравнения, и, наконец, обрываем ряд , что нередко позволяет вывести пару Лакса.
Сингулярный анализ имеет то преимущество, что достаточно просто позволяет выписать общее или специальное решение конкретного исследуемого уравнения. Правда, следует обязательно подчеркнуть, что указанный анализ носит локальный характер, т.е. решение выписывается не во всем пространстве независимых переменных, а лишь в некоторой окрестности сингулярностей. Кроме того, метод весьма чувствителен по отношению к преобразованиям, будучи инвариантным лишь относительно дробно-линейных преобразований.
Сингулярный анализ дифференциальных уравнений допускает различные модификации, помимо тех двух, что указаны выше. Хотя все рассуждения носят, скорее, эвристический характер, нежели характер строго доказываемых утверждений, однако он является достаточно мощным орудием исследования интегрируемости нелинейных моделей и позволяет явно выписать их решение.
Одним из объектов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, является волоконная оптика, в свою очередь связанная с теорией переноса электромагнитного излучения. Нелинейные эффекты в световоде проявляются при сравнительно небольших уровнях мощности источника излучения, что обусловлено высокой плотностью излучения, приходящегося на очень малую площадь сечения световода. Ведь диаметр световода измеряется микрометрами, что вполне сравнимо с длиной волны проходящего по нему излучения. Особая роль в важных для практических нужд теоретических построениях принадлежит поиску специальных решений нелинейных уравнений, таких как солитоны — сигналы, сохраняющие свою форму при взаимодействиях. Теория ссуштонов явилась стимулом к усовершенствованию свсрхши-
4
рокополосных систем связи и созданию новых быстродействующих запоминающих устройств вычислительной техники нового поколения. Это привело к еще большему усложнению математических моделей!, что, в свою очередь, вызвало необходимость модернизации методов исследования.
Работа посвящена применению современных математических методов интегрирования математических моделей, описываемых как нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями с частными производными. Исследование нелинейных процессов переноса является новой, сравнительно мало изученной областью и весьма актуально в свете формирования истинных представлений об этих сложных с физической и математической точек зрения явлениях.
В работе предложена модификация сингулярного анализа многомерных моделей, позволившая более просто проверить интегрируемость матричных обобщений двух первых трансцендентных уравнений Пенлеве. При этом обобщение второго из указанных уравнений получено впервые, какая-либо редукция его из интегрируемых уравнений с частными производными не была известна. Представление коэффициентов разложений допускает замену алгебры матриц произвольной ассоциативной алгеброй с единицей. Кроме этого, используя сингулярный анализ, была линеаризована система типа Бюргерса с переменными коэффициентами, связанная с гамильтоновой структурой о.д.у. второго порядка. Проведено также аналитическое исследование процессов переноса, получены разложения общих и специальных решений некоторых нелинейных моделей, проанализирована интегрируемость по Пенлеве рассмотренных уравнений и систем.
Первое применение техники сингулярного анализа к системам обыкновенных дифференциальных уравнений связано с работами
С.В.Ковалевской о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Примерно в то же время классификацию уравнений второго порядка проводил П. Пенлеве, в результате чего свойство отсутствия у решений подвижных, т. е. зависящих от констант интегрирования, сингулярностей, где нарушается однозначность функции, получило название свойства Пенлеве, а сама процедура проверки указанного свойства именуется тестом Пенлеве-Ковалевской.
Скалярные уравнения второго порядка, не сводившиеся к линейным никакими преобразованиями переменных, возникли в работах Пенлеве с соавторами. Первые два таких уравнения имели вид
и" = 6и2 + г (0.1)
и
и" = 2 и3 + ги + а (0.2)
соответственно, где а — произвольная константа.
В первой главе диссертации введены и исследованы матричные аналоги двух первых трансцендентных уравнений Пенлеве:
и" = 6 и2 + гЕ + А (0.3)
И
и" = 21/3 + гЦ + аЕ. (0.4)
С помощью теста Пенлеве получены формальные решения указанных уравнений в виде рядов Лорана, зависящих от наибольшего количества произвольных констант интегрирования. Коэффициенты рядов находятся как собственные векторы задач па собственные значения для некоторого линейного оператора, определяемого матрицей начального коэффициента ряда Лорана. В отличие от скалярного случая сам этот коэффициент содержит произвольные постоянные. Выписаны формулы для нахождения коэффициентов в виде некоммутирующих полиномов. Это означает, что решение
- Київ+380960830922