ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...............................................................4
Краткое содержание работы..............................................7
Глава 1. Существование решения “модели Свешникова”....................18
1.1 Выражение компонент решения задачи (3), (4)...................18
1.2 Оценки норм компонент решения задачи (3), (4).................20
1.3 Проверка начальных и граничных условий для задачи (3), (4)....24
Глава 2. Асимптотические представления компонент решения “модели Свешникова”...................................................26
2.1 Асимптотика компоненты решения У3(х,/)
задачи (3), (4) при / —» +оо......................................26
2.2 Асимптотика компоненты решения \\ (*,/)
задачи (3), (4) при / —> -гсо.....................................39
2.3 Асимптотика компоненты решения К2(х,/)
задачи (3), (4) при / -> +со......................................51
2.4 Асимптотика компоненты решения —(*,/)
задачи (3), (4) при / -ко.........................................62
2.5 Асимптотика компоненты решения
задачи (3), (4) при / -» +со......................................69
Глава 3. Существование решения “обобщенной модели”....................79
3.1 Выражение компонент решения задачи (8), (9)...................79
3.2 Оценки норм компонент решения задачи (8), (9).................82
3.3 Проверка начальных и граничных условий для задачи (8), (9)....82
Глава 4. Асимптотические представления компонент решения “обобщенной модели”...................................................90
4.1 Асимптотика компоненты решения К3(х,/)
задачи (8), (9) при / —> -ко......................................90
2
4.2 Асимптотика компоненты решения
задачи (8), (9) при / —»-ко............................................96
4.3 Асимптотика компоненты решения У2[д:,/)
задачи (8), (9) при / —> +со..........................................100
4.4 Асимптотика компоненты решения
дх,
задачи (8), (9) при / —> -ко..........................................105
4.5 Асимптотика компоненты решения
дхг
задачи (8), (9) при / -> -ко..........................................109
Заключение...............................................................116
Список литературы........................................................117
3
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. Изучение вопросов разрешимости, гладкости и асимптотик при /—>+оо решений начальных и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания жидкостей, важно для теории уравнений в частных производных и является актуальным научным направлением в современной математике.
Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. Л. Соболева, например, [1], [2] и др. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. Исследования Соболева были продолжены в работах Т. И. Зеленяка, В. Н. Масленниковой, М. Е. Боговского, Г. В. Деми-денко, С. В. Успенского, А. В. Глушко, В. П. Маслова, С.Я. Секерж-Зенковича, С. А. Габова, А. Г. Свешникова, А. Г. Костюченко, А. И. Кожаио-ва, см. например, работы [3]—[14]. В работах этих авторов исследовалась асимптотика при / -» -ко решений различных задач, описывающих движение вращающихся жидкостей.
В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика, Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова. А. Г. Свешниковым и С. А. Габовым были рассмотрены вопросы о глобальной по времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений, возникающих в стратифицированных жидкостях и стратифицированных вращающихся жидкостях (см. [15], [16]). Исследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова, а именно Ю.Д. Плетнсром, М. О. Корпусовым, С. Т. Симаковым, П. А. Крутицким, Л. В. Перовой (см. [ 1 *7]—[27]). В монографии А. В. Глушко [29] содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным операторам с неоднородным символом. В этой работе рассмотрены также вращающиеся вязкие сжимаемые жидкости. Поведение при / —»со решений различных задач, описывающих колебания жидкостей, как вязких, так и невязких, изучалось в работах М. Е. Schonbek, Е. Feireisl, Th. Gallay, С. Е. Wayne, Т. Miyakawa, L. Brandolese, С. M. Dafermos, Chen, Gui-Qiang и др. (см. [30]—[73]).
4
Иной подход к исследованию решений начальных и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений, у истоков которого стояли труды С. Г. Крейна, М. И. Вишика, изложен в работах В. Г. Звягина, A. Yagi,
A. Favini, Н. А. Сидорова, С. Г. Пяткова, И. В. Мельниковой, Г. А. Свиридю-ка, В. Е. Федорова (см., например, [74]—[84]). Этот подход предполагает изучение дифференциально-операторных уравнений в линейных топологических пространствах с дальнейшими приложениями к конкретным начальнокраевым задачам.
Цель работы. Построить явные формулы представления решений начальных и начально-краевых задач, описывающих малые колебания стратифицированных жидкостей. Изучить, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия. Получить асимптотические при t ->■ +<х> представления компонент решений таких задач.
Методы исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, различные методы получения асимптотических оценок, в частности, метод стационарной фазы, интегральные преобразования, оценки в шкалах пространств С.Л. Соболева с весом.
Научная новизна. В работе доказаны теоремы о существовании решений начальных и начально-краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания стратифицированных жидкостей, построены явные формулы представления решений таких задач, изучено, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия, получены асимптотические при t -»-к» представления решений таких задач.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем для построения асимптотических представлений при (-> -ко решений задач динамики жидкостей. Результаты работы также могут быть полезны для изучения многих важных для практики задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, например, коллапса интрузий в жидкостях, решения экологических задач (исследования поведения разливов нефти в океане) и в других случаях.
5
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах:
• международной молодежной научной конференции “ХХХ111 ГАГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ” (3-7 апреля 2007 года, Москва);
• летних математических курсах “Partial Differential Equations”, проводимых международной математической школой Scuola Matematica Interunivcrsitaria (15-27 июля 2007 года, Кортона, Италия);
• научных семинарах под руководством д.ф.-м.н. А. В. Глушко (Воронеж, 2008-2009-2010 гг.);
• Первой весенней международной математической школе “Analytical and Numerical Aspects of Evolution Equations” (30 марта - 3 апреля
2009 года, Берлин, Германия);
• международной научной математической конференции “Nonlinear problems for Af) and A” (10-14 августа 2009 года, Линчепинг, Швеция);
• Всероссийской научно-практической конференции “Инновации в авиационных комплексах и системах военного назначения” (26 ноября 2009 года, ВАЛУ, Воронеж);
• Второй весенней международной математической школе “Analytical and Numerical Aspects of Evolution Equations” (27 марта — 2 апреля
2010 года, Берлин, Германия);
• научной сессии ВГУ (апрель 2010 года, Воронеж);
• международной научной математической конференции “Dynamical Systems and Partial Differential Equations” (30 марта - 4 июня 2010 года, Барселона, Испания).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [85]-[91]. Из совместных работ [86], [90] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 127 страниц. Библиография содержит 110 наименований работ российских и зарубежных авторов.
Краткое содержание работы
Нумерация приводимых ниже теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.
В первой и второй главах изучается движение стратифицированной жидкости в рамках модели [27], принадлежащей математикам, работающим на физическом факультете МГУ, А.Г. Свешникову, Ю.Д. Плетнеру, Л.В. Перовой (далее - “модель Свешникова”), которыми была доказана стабилизация решения этой задачи при большом времени. В данной диссертации при несколько других требованиях на функцию из граничных условий выписаны точные асимптотики компонент решения этой задачи. Рассматривается двумерное движение жидкости, то есть такое, которое описывается функциями, не зависящими от одной из пространственных переменных, х{ или х2 (для определенности - от х2).
Изучение двумерного движения в рамках указанной модели жидкости приводит к системе линеаризованных уравнений
плотность жидкости в невозмущенном состоянии, /?>0 - параметр стратификации.
С помощью замены
0)
сЦ с*з
где л*, є К, А*3 > 0, / > 0 ;а = (0,0, а) - вектор Кориолиса; со02 =2fЗg - квадрат частоты Вейсяля-Бреита, р - динамическое давление, р0(,\'3) = А е"2/Ьг? -
о- = рра'(хъ) = А-'рс10*’
(2)
приходим к системе уравнений
7
дК г/ да л
1 -аУ2 + — = 0,
дt
Ж
д2к
дх, + аУш = 0,
да
удхз
-2/За
(3)
= 0,
+ + ОУЖ+ —
8Г- 0 3 д(
^ + ^. = 0.
дх, сЦ
Система (3) изучается со следующими начальными и граничными условиями:
К, (*,0) = 0,к = 1,2,3, ^(*,0) = 0, а(х,0) = О, (4)
Замечание 1. В силу условия соленоидальности, задаваемого четвертым уравнением системы, с компонентами вектора скорости частиц у = {У,,У2,У-.} можно связать функцию тока ¥ = Ч/(дг|,х‘3,?) следующим соот-
ношением: {V,, Уъ} =
дху ’ дх,
. Этим соотношением обусловлено гранич-
ное условие. Кроме того, будем считать выполненными следующие равенства, обеспечивающие согласование начальных и граничных условий:
дк дц/(х1^)
ЭГ дх,
= 0, * = 0,1.
(4*)
г=О
Сформулируем условия, которые будут использованы в диссертации. Условие 1. Функция 1//(х,,г) равномерно по (*,,/)ограничена, то
есть справедлива оценка |//х (х, ,/)| < с.
Условие 2. В £1(Ех(0;со)) существуют следующие производные
д2 "п
функции ^(х„0: хАх1>*) =
дх
р(х,,г), и = 1,2,3,4.
I
Условие 3. Имеют место оценки
+00
1(Ч*.1)
1
дх.
с1х, < со, п = 2,3,4.
Условие 4. Функция ^(х,,/) финитна по переменной />0, го есть ^(х,,г) = 0 при />ЛС
8
Введем нормы
{(f))p =• ]](1 +!? [Л*|»0]|' (l + V У dsldt
0 -00
1/2
(5)
(6)
Через INI , , ||-|| 2 будем обозначать стандартные нормы в соответ-
II ) II 11^2(1л4 )
ствующих пространствах L2(R3), Через Z^(JF2/>(R)x(0,oo)) обозна-
чим пространство Соболева-Слободецкого с индексом р на R и нормой определенной в (5). Также нами будут использоваться следующие обозначения: FXl_>Si, Fs'->Xt~ прямое и обратное преобразования Фурье по пере-менной X,; L,^r-преобразование Лапласа; y/(s,,у) = L,_>r, [у/(х,,/)]].
В первой главе с помощью преобразований Фурье и Лапласа строится обобщённое решение задачи (3), (4). На основе полученного явного представления доказывается существование решения. Получены оценки для норм компонент решения и их производных, входящих в систему, в пространствах ^(R+2), £2()Г/(М)х(0,оо)), выполнена проверка начальных и граничных условий. Основным результатом главы 1 является следующая теорема. ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть е /.2((Г,'/2(«)х(0,оо));
и.у),^s L2(К х (0,00)). Тогда решение обоб-dt дх{ dtdxY
щённой задачи (3), (4) существует в х (0,со)) и выполнены следующие
оценки:
Эу/О„О
< с
д*Фч>0
+
dx.
+
^СЧх(О.со))
dt
+
^(r:ko.co))
5V(-v„0
dtdx]
+
Lj(Rx(0;a>))
A2(Rx(0;oo))
+ С
{(у(пЛ))иг>
где постоянная с > 0 не зависит от / и от х.
9
В диссертации содержатся аналогичные оценки и для всех производных, входящих в систему (3).
Результаты главы 1 опубликованы в работах [85], [86].
Во второй главе получены асимптотические представления при г —>+оо компонент решения задачи (3), (4). Получение асимптотических представлений компонент решения задачи основано на изучении свойств фазовых функций в интегралах, возникающих при вычислении обратных преобразований Лапласа и Фурье, и применении метода стационарной фазы. Применение метода стационарной фазы осложняется тем, что подынтегральная функция в исследуемых интегралах сама имеет интегральное представление с сингулярностью в критической точке. Кроме того, подынтегральная функция дополнительно к / зависит от других внешних параметров.
Приведем основные результаты, полученные во второй главе.
ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть выполнены условия 1, 2, 4. условие 3 при п- 4. Тогда при г->+сс для компоненты решения задачи (3), (4) справед-
ливо асимптотическое представление
коэффициент £(лг3) равномерно по .г3: 0 < е < хъ < N < со ограничен.
ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть выполнены условия 1, 2, 4, условие 3 при п = 3. Тогда при г ->+со для компоненты решения задачи (3), (4) справед-
ливо асимптотическое представление
<» V}/
д1 У
-у Ч/(у^т)с!тс1у1 + °Ух )
- Київ+380960830922