Исследование динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта

Содержание
1 ВВЕДЕНИЕ 3
1.1 Постановка задачи............................................ 3
1.2 К теории усреднения тонких упругих стержней ................. 4
1.3 Асимптотический метод усреднения............................. 5
1.4 Пример усреднения задачи теории упругости.................... 6
1.5 Задача теории линейной вязко-упругости....................... 9
1.6 Предварительные сведения.................................... 10
1.7 Краткий обзор содержания диссертации........................ 13
2 Построение формального асимптотического
разложения(ф.а.р.) решения для задачи вязкоупругости в тонком неоднородном стержне из материала Кельвина— Фойгхта 17
2.1 Постановка задачи........................................... 17
2.2 Формальное асимптотическое разложение....................... 19
2.3 Задачи для матриц-функций Д^ на ячейках периодичности . . 20
2.4 Задачи для вектор-функций х 1, х/е)........... 22
2.5 Исследование прибавочных матриц <7^,........................ 31
2.6 Усредненные уравнения....................................... 38
2.7 Обоснование асимптотического разложения. Оценки
остаточного члена............................................ 39
3 Построение ф.а.р. решения задачи вязкоупругости для тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта при наличии сосредоточенных и распределенных сил
и моментов 44
3.1 Постановка задачи........................................... 44
3.2 Формальное асимптотическое разложение ...................... 45
3.3 Задачи для матриц-функций А^(£) ........................... 46
3.4 Задачи для гд1 (£, оц, я/с)................................. 51
3.5 Обоснование асимптотического разложения. Оценки
остаточного члена............................................ 63
2
1 ВВЕДЕНИЕ
1.1 Постановка задачи
В диссертации рассматривается задача из теории дифференциальных уравнений в частных производных, имеющая важное прикладное значение — исследование динамики тонкого периодически неоднородного стержня при помощи теории усреднения, развитой школой Н.С. Бахвалова.
Задачей данной работы являются построение и строгое обоснование асимптотического разложения по степеням малого параметра £, характеризующего толщину стержня и период неоднородности, решения трехмерной задачи линейной вязко-упругости в случае материала Кельвина-Фойгхта. В ходе построения асимптотического решения возникают так называемые задачи на ячейках периодичности. Нашей целыо является доказательство разрешимости этих задач, а также вычисление коэффициентов усредненной системы уравнений, исследование явления пограничного слоя около торцов стержня, доказательство оценки разности между решениями исходной и усредненной задач.
Важное отличие случая тонкого стержня, рассматриваемого нами, состоит в том, что усредненное поведение зависит от двух малых параметров, в нашем случае одинаковых: периода структуры стержня и его диаметра. В результате этого усредненные уравнения для продольного колебания стержня отличаются от уравнений колебаний в поперечном направлении, которые удовлетворяют классическим уравнениям колебаний однородного упругого стержня.
Вторым важным отличием является то, что материал стержня является вязко-упругим. Вследствие этого в эффективной модели возникают интегральные члены типа свертки, и колебания в продольном направлении и закручивание стержня описываются интегро-дифференциальными уравнениями с долговременной памятью.
1.2 К теории усреднения тонких упругих стержней
Теория тонких стержней, являющаяся одной из важных прикладных дисциплин, имеет давнюю историю. Прежде всего нужно упомянут!, так называемые технические теории изгиба стержней. В них упрощение трехмерных уравнений теории упругости для неоднородш,1х стержней связано с использованием гипотезы о возможности замены неоднородного стержня однородным. В ряде случаев дополнительно предполагаются выполненными те или иные допущения, накладывающие ограничения на структуру тензоров напряжений и деформаций. При этом цели и методика исследований не подразумевают строгого математического обоснования указанного предельного перехода. Основы современной теории стержней заложены А. Клебшем [1]. Дальнейшее развитие теория стержней получила в трудах [2],[3]. К настоящему времени технической теории изгиба стержней изотропных и анизотропных, прямых и искривленных посвящено огромное количество работ. Можно упомянуть, например, монографии И],[5),[6], статьи [7|,[8]. Технические теории многие десятилетия используются в инженерных расчетах, но вопросы об условиях их применимости, обеспечиваемой точности приближения и, вообще, об адекватности одномерных моделей реальным объектам остаются открытыми до сих пор.
Явное вхождение малого параметра в задачи о стержнях, пластинах и оболочках сделало их привлекательными для математиков, и к настоящему времени опубликовано большое количество работ российских и зарубежных авторов, посвященных асимптотическому анализу задач теории упругости. Упомянем монографии Бахвалова и Панасенко (9), Олейник, Иосифьян и Шамаева [10], Санчес-Палсисии [11]; работы посвященные тонким пластинам [12], [13], [14]. В работах [15], [16] рассматриваегся тонкий неоднородный упругий стержень, испытывающий па торцах действие сил и моментов, а в [17] исследуется слабоискривленный тонкий упругий
стержень. Стоит также упомянуть работы, посвященные тонким стержням: |18],[19],[20),(21),[22],(23]. Усилиями ряда авторов разработана методика построения полных асимптотических разложений, включающая изучение явления пограничного слоя около торцов стержней [24], [25], [26], [27], [28], [29]. Именно, при условии бесконечной дифференцируемости данных задачи и с помощью решения рекуррентной последовательности предельных задач определяются члены асимптотического ряда. Путем удлинения частичной суммы этого ряда удается сделать невязку сколь угодно малой. Эта методика обеспечивает наиболее полное представление о свойствах решения при малых значениях геометрического параметра, характеризующего структуру стержня.
1.3 Асимптотический метод усреднения
Процедура построения асимптотического решения следует общей схеме, изложенной во многих монографиях [9],[11],[30]. Допустим в периодической среде рассматривается некоторый процесс или поле, описываемые уравнениями в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами. Их асимптотическое решение ищется в виде ряда по степеням малого параметра е с коэффициентами, зависящими как от переменных ж, (обычно называемых медленными), так и от переменных = хх/е (быстрых):
Медленные переменные соответствуют глобальной структуре процесса или полей, а быстрые — их локальной структуре. Такой ряд подставляется в исходную систему уравнений и приводятся подобные но степеням е члены. Приравнивая к нулю коэффициенты при степенях £, получаем уравнения относительно функций щ. Часто оказывается, что функция
00
:=0
щ и коэффициенты уравнения относительно г/о не зависят от быстрых переменных. Это уравнение будет называться усредненным. Численное решение усредненной задачи существенно менее трудоемко, нежели исходной.
Для построения «эффективных» или «усредненных» моделей часто используют предположение о периодичности структуры стержня. Под средой периодической структуры понимается среда, составленная из периодически повторяющегося элемента — ячейки. Такое предположение упрощает задачу о построении упомянутых «усредненных» моделей. Под' усредненными моделями понимаются такие краевые задачи для уравнений или систем с постоянными(или относительно медленно меняющимися) «эффективными» характеристиками, что решения краевых задач для исходных моделей сходятся (в некотором смысле) к решению соответствующих уравнений для «усредненной» модели, когда период рассматриваемой периодической структуры стремится к нулю. Иногда при усреднении получаются уравнения совсем другого типа, чем исходные; например, при усреднении системы дифференциальных уравнений меняется порядок уравнений или появляется система интегро-дифференциальных уравиений(см. [11],[9]).
1.4 Пример усреднения задачи теории упругости
Примером периодической структуры является композит, составленный из трехмерной периодической системы зерен и материала, заполняющего пространство между зернами. Предполагается, что размеры периодически повторяющейся ячейки много меньше характерного размера образца композита. В таком композиционном материале может быть поставлена задача статической теории упругости. Состояние равновесия линейно-упругого
6