Оглавление
Введение 4
1 О числе изолированных нулей у возмущения аналитической функции 16
1.1 Определения и формулировка теоремы об оценке числа нулей. 16
1.2 Теорема Эрве и свойства идеалов кольца ростков голоморфных функций................................................. 21
1.3 Доказательство теоремы об оценке числа нулей......... 23
2 Оценка числа предельных циклов у квадратичных векторных полей, близких к центрам 26
2.1 Квадратичные векторные ноля и их предельные циклы ... 27
2.2 Переход к отображению Пуанкаре....................... 31
2.3 Оценка числа нулей невязки отображения Пуанкаре...... 32
2.4 Доказательство основной теоремы 2 по модулю вспомогательных утверждений........................................ 33
2.5 Доказательство леммы 2............................... 37
2
2.6 Доказательство леммы 3................................ 42
Построение отмеченного полидиска ........................... 43
Константа роста для идеала Баутина /р(£) в образующих Дю-
лака................................................. 53
Константа роста для идеала Баутина /р(£) в канонических
образующих........................................... 60
2.7 Теорема Ильяшенко-Ллибре для уравнения в комплексной нормальной форме................................................. 71
2.8 Доказательство теоремы 1...... 75
Связь параметров 5, а и к в разных нормальных формах . . 77
Теорема Ильяшенко-Ллибре в нормальной форме Каптейна 84
2.9 Доказательство предложения 2................................ 84
2.10 Доказательство теоремы 3................................... 86
Приложение. Компьютерные вычисления, использованные в работе 88
3
Введение
Полиномиальное векторное поле на плоскости задается системой дифференциальных уравнений
х = Р(х,у), y = Q(x,y), (1)
где (х, у) G R2, а Р(х,у) и Q(x,y) — многочлены. Его предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория, гомеоморфная окружности. Во второй части 16-й проблемы Гильберта поставлены следующие вопросы (см. [И]):
(ql) Можно ли оценить число предельных циклов любого полиномиального векторного поля па плоскости величиной Н(п), зависящей только отп — наибольшей из степеней многочленов Р и Q?
(q2) Если ответ на первый вопрос положителен, то оцепить сверху Н{п).
Эта проблема была сформулирована Гильбертом в 1900 г. в докладе на 11-ом Международном конгрессе математиков. С тех пор 16-й проблеме Гильберта были посвящены многие замечательные исследования, получены важные результаты, разработаны новые методы и разделы теории дифференциальных уравнений, однако сформулированные выше вопросы до сих пор открыты даже для простейшего класса квадратичных (т.е. полиномиальных
степени дна) векторных полей на плоскости. Единственный общий результат о числе предельных циклов полиномиальных векторных полей состоит в конечности этого числа для каждого конкретного векторного поля. Для квадратичных векторных нолей соответствующая теорема была получена Бамоном в 1986 г. [Ва], а общее утверждение для векторных полей произвольной степени было получено несколькими годами позже независимо Ильяшенко [13] и Экалем [Е].
Попытки решения 16-й проблемы Гильберта привели к рассмотрению ряда смежных задач, а также частных случаев. Одной из таких задач является инфинитезимальная 16-я проблема Гильберта, недавно решенная группой математиков из Вейсмановского института. Она заключается в следующем. Пусть Я(э:, у) — многочлен степени гс + 1с вещественными коэффициентами, аа> = А(х,у)с1х + В(х,у)с1у — вещественная 1-форма с полиномиальными коэффициентами А и В степени не выше гс. Запишем дифференциальное уравнение на плоскости в Пфаффовой форме, т.е. в виде дифференциальной 1-формы, обнуляющей векторное поле:
с1Н -Ь еш — 0.
При малых по абсолютной величине сбК это уравнение является возмущением Гамильтонова уравнения (1Н — 0, фазовые траектории которого разбивают вещественную плоскость на линии уровня многочлена Н. Замкнутые линии уровня Гамильтонова уравнения, не содержащие особых точек, называются вещественными овалами. При возмущении векторного поля, большинство овалов, вообще говоря, размыкается, и лишь некоторые из них порождают вблизи себя предельные циклы. Для того, чтобы вблизи
овала 7 невозмущенного векторного поля при малом возмущении возник предельный цикл, необходимо равенство нулю Абелева интеграла:
/ = / ь>.
•''V
В инфинитезимальной 16-й проблеме Гильберта ставится вопрос о конечности и верхней оценке на максимальное число изолированных нулей Абелевых интегралов в зависимости от степени п векторного поля. Конечность этого числа была доказана Варченко и Хованским в 1984 г. ( [V], [КЪ]). Явная верхняя оценка получена в 2008 г. Яковенко, Новиковым и Беиьями-ни [ВИУ].
Принципиальным вопросом, возникающим при исследовании предельных циклов векторных полей, является вопрос описания предельных циклов с помощью средств, поддающихся анализу. Таким средством является отображение Пуанкаре (оно же отобраоїсение последования или отобра-жение моиодромии). Рассмотрим трансверсаль (т.е. гладкую кривую без контакта) Г к векторному нолю и сопоставим каждой точке а; € Г точку первого возвращения траектории векторного поля, начинающейся в я, на Г (если, конечно, такая точка определена). Получим, вообще говоря, не определенное всюду, отображение Пуанкаре Р : Г —> Г. Предельные циклы векторного поля, пересекающие Г отвечают тем точкам х Є Г, для которых Р(х) определено и Р(х) — х = 0. Таким образом, при помощи отображения Пуанкаре, вопрос об оценке числа предельных циклов полиномиального векторного поля сводится к вопросу об оценке числа нулей отображения Р(х) — х. Для аналитического векторного поля на плоскости и аналитической трансверсали, отображение Пуанкаре язляется аналитической функ-
цией одного переменного. Прекрасным инструментом для получения нелокальных оценок на число нулей аналитической функции является теорема о нулях и росте [ГУа1], которую мы сформулируем в §1.3. С ее помощью были получены оценки на число предельных циклов уравнений Абеля [12], уравнений Льенара нечетной степени [ІР] и обобщенных уравнений Льенара нечетного типа.
Теорему о нулях и росте, тем не менее, не всегда удается использовать при получении нелокальных оценок на число предельных циклов аналитического векторного поля. Для её применения, как будет следовать из формулировки, необходимо оценить снизу максимум модуля разности Р(х) — х. Но когда отображение Пуанкаре является сколь угодно малым возмущением тождественного отображения, то эта разность оценивается снизу нулем, и применение теоремы о нулях и росте не дает никакой конечной оценки на число предельных циклов. Рассмотрим, например, полиномиальные векторные поля степени п на плоскости. Они образуют конечномерное линейное пространство. Выберем в нем базис и обозначим через А Є коорди-
наты в этом базисе. При некотором значении параметра А = £ векторное поле может иметь особую точку топологического типа центр, также являющуюся центром по линейным членам. При значениях А близких к £ такая особая точка, вообще говоря, обращается в фокус, и в ее окрестности могут появляться предельные циклы. Сдвигом фазового пространства можно добиться, чтобы возмущенная особая точка оставалась неподвижной. После такого сдвига аналитическая иолутрансверсаль с вершиной в особой точке исходного поля останется также полутрансвсрсалыо для всех близких значений А. Отображение Пуанкаре при этом удается определить на некотором
- Київ+380960830922