Содержание
Введение 3
1 Определение исследуемых процессов 14
1.1 Мартингальная часть........................................ 14
1.2 Эргодическая часть ........................................ 17
1.3 Сходимость процессов но норме.............................. 20
2 Случай интегрируемого супремума 22
2.1 Сходимость процессов почти всюду........................... 22
2.2 Доминантное и максимальное неравенства..................... 30
3 Случай коммутируемости усреднения и условного ожидания 34
3.1 Предварительные замечания ................................. 34
3.2 Теорема сходимости для атомических фильтраций...............37
3.3 Распространение теоремы сходимости на пространство Лебега 40
4 Родственные процессы 49
4.1 Обобщенные мартингалы Рога..................................49
4.2 Асимптотические мартингалы..................................54
Список литературы 57
2
Введение
Проблемой унификации эргодических средних и обращенных мартингалов начали заниматься с середины прошлого века. Любопытное совпадение поведения и сходство доказательств теорем сходимости для этих стохастических процессов привели к задаче о нахождении суперструктуры, унифицирующей и мартингалы, и эргодические средние.
Совпадение параметров в максимальном и доминантном неравенствах, в неравенствах пересечения полосы, в различных колебательных характеристиках - все это привело к мысли о наличии глубоких связей между этими процессами.
Приведем для сравнения некоторые из этих характеристик (£п - обращенный мартингал и Лп/ - эргодические средние).
Максимальное неравенство [2, 27|:
{ЖгЛ^£>
А {шах Лк/ >е}< \е/р.
Доминантное неравенство(для неотрицательных процессов) 113, 27):
II тах ЫЬ < Т~г(^ + А1 1°6+С1^)» II тах Ак/\\г < 1 + //1ой+ /йХ)
\<к<п С + 1 J 1<к<п е + 1 J
Неравенства пересечения полосы [2, 16. 29].
Пусть - число пересечений последовательностью хп интерва-
ла [а, 6] снизу вверх (сверху вниз), тогда:
Е"Ж) 2 - «)\ Нм«!) < ь~Е{/ ~ а)+
и случае неотрицательности процессов [3, 17]:
А> к] < (|)1'
Неравенство для 5-флуктуаций [4].
Пусть Гк^(хп) - множество, на котором последовательность хп допускает к 5-флуктуаций, тогда:
Много других интересных примеров совпадения характеристик поведения зрі-О-дических средних и мартингалов можно найти в [4, 25].
Наличие особенностей в поведении процессов привело С. Какутани в 1950 году к постановке вопроса о нахождении причин такого поведения |2б|. Была поставлена задача о нахождении общего унифицирующего максимального неравенства, которое бы включало максимальное неравенство и для мартингалов, и для эртдических средних.
С тех пор было разработано шесть подходов к (>ешепшо этой проблемы (М. Джс-рисон, Дж.-К. Рота, Л. и К. Ионеску-Тулча, А. М. Вершик и А. М. Степин, А. Г. Ка-
А{РиСп)} <
ЛыфГ| 116.11! к1/3 є
\\Н2(Шр < С||6НР, \\'Г2(.А„/)\\р < РЦЦ\р.
4
чуровский). Кроме того, есть ряд работ, так или иначе связанных с задачей унификации (см., например, [3, 16, 21, 28|).
М. Джерисон в своей работе |24] доказал, что эргодические средние можно рассматривать как мартингалы на некотором пространстве с <т-копечной мерой. Однако, поведение таких мартингалов и обычных (на вероятностном пространстве) различно.
Рассматриваемый в его работе унифицирующий процесс, давая возможность унификации формулировок теорем, не обладает, тем не менее, в достаточной мере свойствами ни эргодических средних, ни (стандартпі,іх) мартингалов. И не отвечает на вопрос о причинах совпадения поведения мартингалов и эргодических средних. Подход применим и к эргодичсским средним для сжатий в пространствах суммируемых функций, и к эргодическим средним для ограниченных линейных операторов в абстрактных банаховых пространствах.
Кроме того, в рамках подхода был получен вывод индивидуальной эргоди ческой теоремы по некоторым подпоследовательностям из теоремы Дуба о сходимости мартингалов. Вывод теоремы Дуба из индивидуальной эргодической теоремы был проделан Ж. Неве в [28].
Дж.-К. Рота в работах (32, 33] рассмотрел так называемые обобщенные мартингалы, которые унифицируют мартингалы и эргодические средние относительно суммирования гю Абелю, и доказал теорему сходимости для этих объектов: и по норме, н п.в.
Основой работы было исследование структуры так называемых операторов Рейнольдса (связанных с системой Навье-Стокса), образующих при определенных алгебраических условиях обобщенный мартингал. Для таких операторов было найдено интегральное представление, благодаря которому удалось доказать основные результаты.
Таким образом, подход Дж.-К. Рота дает унификацию формулировок теоремы о
сходимости регулярного мартингала (класса Зигмунда) и утверждения о сходимости эргодических средних (с усредняемой функцией из того же класса), не давая при этом унифицирующего и мартингалы, и эргодичсские средние стохастического процесса, поскольку в эргодических теоремах усреднение идет но Чезаро, а не но Абелю. Кроме того, подход неприменим к унификации эргодических теорем для действий сжатий (не порожденных сохраняющими меру преобразованиями).
Позднее М. М. Рао в |30, 31] детализировал результаты Рага.
Содержание абстрактной эргодической теоремы Ионеску-Тулча [23] состоит в рассмотрении общего унифицирующего максимального неравенства, кагорое решает проблему Какутаии в случае с "модулями".
Поскольку из этого неравенства немедленно следуют максимальные неравенства и для эргодических средних, и для обращенных мартингалов, из которых в свою очередь немедленно вытекают утверждения о сходимости П.В. II тех и других, то подход дает (опирающееся на более ранние идеи Р. Чакона и Дж. Окстоби) единственное независимое унифицированное доказательство индивидуальной эргодической теоремы (для сжатий) и теоремы Дуба о сходимости обращенного мартингала.
Кроме того, все результаты формулируются и доказываются в общем случае ба-наховозначных стохастических процессов. В частности, получено независимое доказательство сильной сходимости ^і-ограиичешіоїХ) мартингала со значениями в банаховом пространстве со свойством Радона -Никодима.
Однако, в этом подходе, имеющем унифицированное доказательство сходимости, нет унифицирующего процесса.
Еще два независимых доказательства сходимости индивидуальной эргодической теоремы и теоремы о сходимости мартингалов получены в работах Э. Бишопа [16] и В. В. Иванова [3]. Их глубокие результаты основаны на рассмотрении характеристик, связанных с пересечением величинами полосы у одного и колебанием хорды
6
- Київ+380960830922