Многочлены Чебышева с нулями на дуге окружности и смежные вопросы

Содержание
Введение 4
Глава 1. Предварительные сведения 17
§1. Свойства многочленов Чебышева.......................... 17
§ 2. Сведения об оптимальной экстраполяции с дискретного
множества по точным данным ............................ 19
§3. Сведения об оптимальной экстраполяции с дискретного
множества по приближенным данным....................... 24
§4. Сведения но функциональному анализу.................... 26
Глава 2. Многочлены Чебышева с нулями
на дуге окружности 28
§ 1. Об одном приложении полинома
Чебышева с пулями на компакте в С...................... 28
§ 2. Постановка задачи..................................... 29
§ 3. Случай полиномов с вещественными коэффициентами . . 35
§ 4. Необходимые свойства экстремальных
функций в задачах А и В................................ 38
§ 5. Основная теорема...................................... 42
§6. Альтернативное доказательство теоремы 2.3 при а < | . . 48
§ 7. Комментарии к главе 2 ................................ 51
Глава 3. Характеристики наилучшего аналитического продолжения с дискретного множества в заданную точку в пространствах Харди и Винера 53
§ 1. Оценка оптимальной погрешности экстраполяции с конечного множества в классе Винера............................. 53
2
§2. Оптимальная погрешность в задаче аналитического продолжения функций из класса Харди с конечного множества 59 §3. Задача оптимальной экстраполяции по приближенным
данным в классе Харди................................ 62
Приложение 64
Список литературы 71
3
Введение
Задачи на минимакс и, в частности, описание полиномов, наименее отклоняющихся от нуля на компактах комплексной плоскости (полиномов Чебышева), играют важную роль в теории приближений и в смежных с ней разделах математики (см., например, [13], [18], [28]). Для случая, когда рассматриваются полиномы с нулями на фиксированном компакте К в С, они применяются при изучении свойств траисфинитного диаметра К [8].
В диссертации рассматривается подобная задача на мииимакс в классе полиномов. Она возникает при экстраполяции целых функций класса Винера с конечного множества (т.е. множества, состоящего из конечного числа точек). Показатели многих процессов являются аналитическими функциями из определенных классов, причём входная информация об их поведении задаётся в виде значений показателя в конечном числе узлов. Такая информация может быть точной или приближенной. При этом типичная проблема заключается в нахождении оптимальной оценки наилучшего аналитического продолжения функции с конечного множества в какую-либо точку области ее определения, где измерения не производились. Аналогичный вопрос естественно рассматривать и для некоторого компакта. Тогда возникает задача о равномерной экстраполяции с конечною множества в рассматриваемом классе функций. Более
общие проблемы этого плана исследуются в теории оптимального восстановления (раздел теории приближений), большой вклад в разработку которых принадлежит C.A. Micchelli и Tli.J. Rivlin [51], A.A. Melkman [50],
В.M. Тихомирову [35], К.Ю. Осипенко [29], Г.Г. Магарил-Ильяеву [21],
В.В. Арестову [1] и др. Задачу оптимальной экстраполяции с конечного множества в фиксированную точку области определения в С" в классах аналитических функций изучали К.Ю. Осипенко [52], Б.Д. Баянов [5], А.М. Федотов, Л.С. Маергойз [24] и др.
Хорошо известен классический результат П.Л. Чебышева о том, что полином степени п наименее отклоняющийся от нуля на отрезке [—1; 1], имеет вид
Тп(х) = cos(narccosx)i
w
причем отрезок [—1; 1] содержит все нули этого полинома.
Многочлены Чебышева, заданные па дуге окружности, без ограничения на расположение их нулей в комплексной плоскости С, исследовались Н.И. Ахиезером и многими другими (см., например, [53]). Как выяснено в диссертации, равномерная оценка экстраполяции функций из класса Винера в любую точку компакта А в С связана с конструкцией многочлена Чебышева с нулями на К.
В связи с вышесказанным возникает естественный вопрос о конструкции полиномов Чебышева с нулями на компакте, когда компакт Г— фиксированная дуга окружности. Решение этой проблемы рассмотрено в диссертации. Основная трудность состоит в том, что множество многочленов с нулями на Г не является линейным пространством. Близкими задачами занимались B.C. Виденский [7] (I960), АЛ. Лукашов [20] (2004), С.В. Тышкевич [37] (2007) и другие.
В работе [7] B.C. Виденский получил экстремальные оценки произ-
5
водной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период. Пусть —и <в <ш, 0 < о; < 7г,
tn(Q) = cos 2narccos , un(6>) = sin 2narccos
sin(o;/2)
тригонометрические полиномы.
Теорема. [B.C. Виденский) £сли тригонометрический полином sn(0) порядка п удовлетворяет неравенству isn(#)| < 1, то для 0 € (—ш\си) верны неравенства
14(0)1 < К(°) + ги'п(в)\ = ncos(<9/2)(sin2(w/2) - sin2(0/2))“1''2, (0.1)
а при п> (3^72(ш/2) 4-1)^3/2
KWI < 1*'»1 (0-2)
В (0.1) равенство достигается только для полиномов sn{0) = 7£п(0), І7І = 1, в 2п точках, являющихся нулями t„(0) па [—со; со], а в (Т.£) -Для теж а/се полиномов, но только в точках 0 — ±uj.
В работе А.Л. Лукашова (см. [20]) описано решение задачи о рациональной тригонометрической функции с фиксированным знаменателем, наименее уклоняющейся от нуля па нескольких отрезках, принадлежащих периода
Рассматриваются рациональные тригонометрические функции вида A cos Ntp -Ь В sin Np + ai cos(N — 1)<р H-... -f- sin(^Y — [Ar])y?
у/Щр)
(0.3)
Ar— полуцелое, N Є N/2, А, В є Ш (А2 4- В2 ф 0) — фиксированные числа, 21 (<£>)— фиксированный действительный тригонометрический полином порядка а, а < 2N, положительный на заданной конечной системе отрезков
Є = [(Ді, </?2І и ... U [<p2l-l,<p2l]> Ь < р\ < у>2 < • • • < Р21 < Ь + 27Г. (0.4)
0
sin(0/2)
sin(cc’/2)