Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве и его высших аналогов

Содержание
Введение 4
1 Физико-математические модели, в которых встречаются уравнения Пенлеве и их высшие аналоги 14
1.1 Свойство Пенлеве в теории специальных функций....... 14
1.2 Уравнения Пенлеве и их свойства.................................. 18
1.3 Обобщенная иерархия второго уравнения Пенлеве.....................20
1.4 Второе уравнение Пенлеве в физике полупроводников и теории плазмы 23
1.5 Результаты первого раздела...................................27
2 Анализ асимптотического поведения решений высших аналогов второго уравнения Пенлеве 28
2.1 Применение Пенлеве -анализа и степенной геометрии для построения асимптотических разложений решений нелинейных дифференциальных уравнений..........................................................28
2.2 Асимптотики и асимптотические разложения решений уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве в окрестности нуля и бесконечности . . 35
2.3 Асимптотики и асимптотические разложения решений уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве в окрестности точки г — го...............55
2.4 Результаты второго раздела....................................... 59
3 Специальные решения уравнений Пенлеве, их высших аналогов и нсинтегрируемых обобщений 61
3.1 Методы поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений .................................................................61
А
1
3.2 Метод многоугольников Ньютона для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений...................................... 64
3.3 Автомодельные решения пеинтегрируемого аналога модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза.....................................66
3.4 Однопараметрические семейства решений третьего уравнения Пенлеве
и его неинтегрирусмого обобщения.................................. 70
3.5 Специальные решения четвертого уравнения Пенлеве и его неинтегри-руемых обобщений....................................................... 74
3.6 Точные решения пятого уравнения Пенлеве........................... 79
3.7 Однопараметрические семейства решений шестого уравнения Пенлеве . 81
3.8 Специальные решения обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве 84
3.9 Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений . . 86
3.10 Результаты третьего раздела.......................................94
4 Рациональные решения второго уравнения Пенлеве и его высших
аналогов 96
4.1 Преобразования Бэклунда для решений уравнений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве...........................................96
4/2 Необходимые и достаточные условия существования рациональных решений ................................................................. 98
1.3 Классификация рациональных решений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве......................................................100
4.4 Рациональные решения иерархии второго уравнения Пенлеве...........106
4.5 Результаты четвертого раздела.....................................111
5 Обобщенные полиномы Яблонского - Воробьева и их свойства 112
5.1 Рекуррентные формулы для обобщенных полиномов Яблонского - Воробьева ...............................................................112
5.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения для обобщенных полиномов Яблонского - Воробьева...........................................116
5.3 Свойства нулей обобщенных полиномов Яблонского - Воробьева .... 119
5.4 Полиномы Яблонского - Воробьева для первых представителей иерархии второго уравнения Пенлеве..........................................125
о
5.5 Результаты пятого раздела.......................................133
Заключение 135
Приложение I Экспоненциальные добавки к асимптотическим разложениям решений уравнений иерархии второго уравнения Псіїлсве 137
І.А Экспоненциальные добавки, соответствующие ребру ................137
1.В Экспоненциальные добавки, соответствующие ребру Г2 .............144
Список литературы 150
3
Введение
Объектом исследования диссертационной работы являются нелинейные дифференциальные уравнения — источники специальных функции нелинейной математической физики: второе уравнение Пенлеве, его высшие аналоги и ряд других уравнений [1-5]. Особое внимание уделяется изучению асимптотического поведения решений и разработке методов построения точных решений.
Актуальность работы определяется большим количеством математических и физических приложений рассматриваемых уравнений. Построение решений многих прикладных задач связано с интегрированием некоторого дифференциального уравнения или системы таких уравнений. В XVIII веке задача интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения сводилась к представлению общего решения (полного интеграла) через элементарные функции или интегралы от них. В результате возник термин — интегрирование дифференциального уравнения,в квадратурах. Однако проинтегрировать в квадратурах удавалось далеко не все дифференциальные уравнения. Это привело к развитию приближенных и качественных методов исследования дифференциальных уравнений. Качественные методы изучают общие свойства интегральных кривых без явного их отыскания. В рамках качественной теории исследуются особые точки интегральных кривых, взаимное расположение кривых семейства, рассматриваются вопрос ы устойчивости и т. д.
В то же время к решениям дифференциальных уравнений можно подходить с другой точки зрения. В своих работах Коши начал рассматривать решения как функции комплексной переменной. Этот шаг позволял использовать мощные методы теории функций комплексной переменной. Переход в комплексную область оказался весьма продуктивным [б|. В частности, для широкого класса уравнений Коши доказал существование аналитических решений. Правда, результаты Коши носили локальный характер.
4
В XIX столетии начали активно развиваться теория специальных функций математической физики, теория эллиптических функций. Некоторые ученые задались вопросом: а нельзя .пи расширить набор функций, которым оперирует математика. В 1881 году Л. Фукс [7] и А. Пуанкаре |8. 9| предложили искать нелинейные дифференциальные уравнения, общие решения которых определяют новые специальные функции. По существу, задача, поставленная Фуксом и Пуанкаре, состояла из двух подзадач. Первая из них — чисто классификационная — предполагала поиск уравнений, общие решения которых являются функциями в том смысле, что униформизация (разрезы на комплексной плоскости, Римановы поверхности) делает отображение однозначным. В рамках первой подзадачи необходимо исследовать характер особых точек общего решения (критические, некритические; подвижные, неподвижные) и отбирать уравнения с общими решениями без критических подвижных особых точек. Вторая подзадача состояла в выборе уравнений, общие решения которых не выражаются через ранее известные функции.
Среди решений нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, полиномиально зависящих от искомой функции, ее производной и аналитически от независимой переменной, новых функций найти не удалось. И только в начале XX века французский математик П. Пенлеве со своими учениками [10—12], рассматривая достаточно широкий класс дифференциальных уравнений второго порядка, нашел шесть уравнений с общими решениями, определяющими новые нелинейные специаль-ные функции. Эти уравнения называют уравнениями Пенлеве, а их общие решения — трансцендентамн Пенлеве. Большое количество работ посвящено изучению свойств уравнений Пенлеве и их общих решений: исследуются асимптотические и групповые свойства, строятся преобразования Бэклунда, пары Лакса, рациональные, алгебраические и функциональные точные решения, дискретные аналоги уравнений и т. д.
Классификационная работа на уравнениях второго порядка не закончилась. Среди уравнений четвертого п более высоких порядков были найдены хорошие кандидаты на роль уравнений, определяющих новые специальные функции. Такие уравнения называют высшими аналогами уравнений Пенлеве. К сожалению, с ростом степени н порядка рассматриваемого уравнения возрастает и сложность вычислений.
В 70-ые годы XX века М. Абловиц, А. Раман и и X. Сигур обнаружили интересную связь между интегрируемыми дифференциальными уравнениями в частных
производных и обыкновенными дифференциальными уравнениями, общие решения которых не имеют критических подвижных особых точек (13, 14]. Отсутствие критических подвижных особых точек в общем решении дифференциального уравнения называют свойством Пснлеве. Оказалось, что обыкновенные дифференциальные уравнения, возникающие как редакции уравнений в частных производных, к которым применим метод обратной задачи рассеяния, имеют свойство Пенлеве. Это был еще один способ строить уравнения со свойством Пенлеве. Однако, утверждение Аб-ловица, Рамани и Сигура скорее гипотеза, чем доказанный факт, поэтому строгай проверка наличия у уравнения свойства Пенлеве требует дополнительного исследования.
В дальнейшем уравнения Пенлеве стали появляться в различных областях математики и физики: в теории чисел (15] и теории ортогональных многочленов |16], нелинейной оптике [17]. теории относительности [18], физике плазмы [19-21], статистической механике и теории квантовой гравитации (22-21] и т. п. Также, целый ряд нелинейных эволюционных уравнений имеет решения, выражаемые через трансцен-денты Пенлеве [2,1]. Среди этих уравнений уравнения Кортевега - де Вриза, Кадомцева — Летвиашвилн. Бусспнеска, нелинейное уравнение Шродингера и т.д.
Таким образом, трлнецеиденты Пенлеве играют ту же роль для нелинейной математики и физики, что и классические специальные функции для линейных теорий. Введение в рассмотрение специальных функций, определяемых нелинейными дифференциальными уравнениями, позволило считать разрешимыми большое количество ранее нерешенных прикладных задач.
В то время как уравнениям Пенлеве посвящено много работ, их высшим аналогам и другим нелинейным уравнениям со свойством Пенлеве не уделено достаточно внимания. Тем не .менее, эти уравнения также встречаются при описании физических процессов и явлений. Кроме того, среди них могут быть уравнения, общие решения которых определяют новые специальные функции. Все это делает актуальной задачу изучения свойств таких уравнений.
Целью диссертационной работы является исследование свойств решений высших аналогов второго уравнения Пенлеве.
В диссертационной работе решались следующие а ада ни:
6
1. Изумить асимптотическое поведение решении высших аналогов второго уравнении Пенлеве.
2. Построить точные решения высших аналогов и неинтегрируемых обобщений уравнений Пенлеве.
3. Классифицировать рациональные решения обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве.
*1. Изучить свойства специальных полиномов, связанных с рациональными решениями высших аналогов второго уравнения Пенлеве.
Методика исследования. В диссертационной работе использовались аналитические методы исследования. Для получения асимптотических разложений решений применялись методы Пенлеве - анализа и степенной геометрии. При построении специальных и рациональных решений нелинейных дифференциальных уравнений, а также исследовании их свойств использовались методы аналитической теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа. Проведение сложных аналитических вычислений и визуализация полученных результатов осуществлялись с помощью вычислительных систем Maple и Matlab.
Научная новизна работы. Впервые найдены асимптотики и асимптотические разложения решений всех представителей иерархии второго уравнений Пенлеве. Предложен новый метод построения точных решений нелинейных обыкновенных диффе-ренциальных уравнений. Метод основан на использовании информации об асимптотическом поведении решений дифференциального уравнения. С помощью предложенного метода найдено несколько новых точных решений ряда обобщений уравнений Пенлеве. Впервые получены необходимые и достаточные условия существования рациональных решений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве. Предложено представление рациональных решений через логарифмическую производную специальных полиномов (обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева). Показано, что корни обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева регулярным образом располагаются на комплексной плоскости. Впервые найдено дифференциально — разностное соотношение, позволяющее последовательно строить обобщенные полиномы Яблонского — Воробьева. Построены новые иерархии дифференциальных
7
уравнений, связанные преобразованиями Бэклунда с обобщенной иерархией второго уравнения Пенлсве. Впервые получены обыкновенные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют обобщенные полиномы Яблонского — Воробьева. Найдены новые алгебраические соотношения для корней полиномов Яблонского — Воробьева и некоторых других семейств полиномов.
Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждены тем, что, во-первых, они базируются на строгих, логически выверенных посылках; во-вторых, корректно применен математическиП аппарат; в-третьих, проведены анализ и сравнение с известными результатами исследований других авторов, работающих в этой области. Кроме того, в качестве обоснования результатов выступают публикации в реферируемых журналах и выступления на научных семинарах.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:
1. Международная конференция ‘‘Continuous and discrete Painlovd equations”, Финляндия, Турку, 25- 28 марта 2006 года.
2. Международная конференция “Nonlinear evolution equations and dynamical systems”, Испания, Л’Аметлла де Map. 17-23 нюня 2007 года.
3. Международная конференция “Анализ и особенности”, посвященная 70-летию Владимира Игоревича Арнольда, Россия, Москва, 20-24 августа 2007 года.
4. Ежегодная “Научная сессия МИФИ”, Россия, Москва, январь 2005, 2006, 2007, 2008, 2009 годов.
5. Семинар кафедры прикладной математики Московского Инженерно-физического института (Государственного университета) “Проблемы современной математики”.
Практическая .значимость работы. Асимптотические и точные решения рассматриваемых в работе уравнений могут быть использованы при проверке результатов численного моделирования прикладных задач, в математическом описании которых встречаются эти уравнения. Метод многоугольников Ньютона, предложенный в диссертационной работе, может использоваться для построения точных решений
большого количества нелинейных дифференциальных уравнений. Подход, с помощью которого в работе строились и исследовались свойства обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева, применим к некоторым другим семействам специальных полиномов. Связь между обобщенной иерархией второго уравнения Пенлеве тг иерархией модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза позволяет находить решения вышеперечисленных уравнений в частных производных.
На защиту выносятся:
1. результаты анализа асимптотического поведения решений высших аналогов второго уравнения Пенлеве;
2. метод многоугольников Ньютона для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений;
3. точные решения высших аналогов и неинтегрируемых обобщений уравнений Пенлеве;
4. рациональные решения обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве, представление рациональных решений через специальные полиномы;
5. дифференциально - разностные соотношения и обыкновенные дифференциальные уравнения для обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева;
0. иерархии дифференциальных уравнений, связанные с обобщенной иерархией второго уравнения Пенлеве;
7. результаты исследования свойств нулей обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева и некоторых других специальных полиномов.
Краткое содержание работы.
В первом разделе рассматриваются физико-математические модели, в которых встречаются уравнения Пенлеве и их высшие аналоги. В частности, приводится подробная постановка задачи о сферическом измерительном зонде п плазме. Кроме того, показывается что второе уравнение Пенлеве возникает при описании электрического поля в полупроводнике. Дается краткий обзор основных свойств уравнений
9
Пеилеве. Далее в первом разделе с использованием групповых свойств иерархии модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза приводится вывод обобщенной иерархии второго уравнения Пснлсвс.
Второй раздел посвящен исследованию асимптотического поведения высших аналогов второго уравнения Пенлеве. В начале раздела изложены методы Пенлеве - анализа и степенной геометрии, используемые для проведения асимптотического анализа решений нелинейных дифференциальных уравнений. Строятся многоугольники Ньютона иерархии второго уравнения Пенлеве и обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве. Затем на примере иерархии второго уравнения Пенлеве ищутся степенные и нестепенныс асимптотики, степенные (степенно-логарифмические) разложения решений в окрестности нуля, бесконечности и произвольной точки 2о # 0. Также во втором разделе исследуются вопросы, связанные с проверкой уравнений иерархии на наличие свойства Пенлеве.
Третий раздел посвящен задаче нос троения точных решений уравнений Пенлеве, их высших аналогов и обобщений. В начале раздела дается обзор методов нахождения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Далее подробно разбирается алгоритм метода многоугольников Ныотона, приводятся примеры применения метода. В частности, рассматриваются уравнения Пенлеве и их неинтегрн-руемые обобщения. Строятся семейства специальных решений обобщенно!! иерархии второго уравнения Пенлеве. Также в третьем разделе рассматриваются вопросы существования у автономных нелинейных дифференциальных уравнений мероморф-ных решений, предлагается алгоритм построения таких решений.
Четвертый раздел посвящен исследованию свойств рациональных решений высших аналогов второго уравнения Пенлеве. Приводится вывод преобразований Бэклунда, связывающих решения уравнений иерархии при различных значениях параметров. Получено доказательство теоремы, дающей необходимые и достаточные условия существования рациональных решений у обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве. Рассматривается общий вид рационального решения. Показано, что рациональные решения можно выразить через логарифмическую производную специальных полиномов — обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева.
В конце раздела подробно рассматриваются свойства рациональных решений отдельных представителей обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве. По-
10
называется, что рациональные решения изучаемых уравнении и связанные с ними специальные полиномы могут быть построены с помощью асимптотических разложений решений в окрестности бесконечности. Данный подход также применим к рациональным решениям и специальным полиномам некоторых других нелинейных дифференциальных уравнений.
Пятый раздел посвящен изучению свойств обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева. В разделе выводятся дифференциально-разностные рекуррентные формулы для полиномов. Одна из полученных формул позволяет последовательно находить каждый полином. Далее строятся иерархии дифференциальных уравнений, связанные преобразованиями Бэклунда с обобщенной иерархией второго уравнения Пенлеве. В частности, приводится вывод иерархии дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют обобщенные полиномы Яблонского — Воробьева.
Рассматриваются свойства нулей обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева. Выводятся алгебраические соотношения для нулей полиномов и полюсов рациональных решений. Приводится электростатическая интерпретация некоторых из полученных соотношений. Кроме того, подход, использованный для получения алгебраических соотношений, применяется при построении аналогичных соотношения для корней обобщенных полиномов Эрмита и Окамото.
Исследуется расположение корней обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева на комплексной плоскости. В качестве примера строятся корни некоторых представителей обобщенных полиномов Яблонского — Воробьева, Окамото и Эрмита. Также в пятом разделе подробно рассматриваются полиномы Яблонского — Воробьева для первых уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве. Дастся вывод формул для коэффициентов полиномов и сумм степеней их корней.
В приложение вынесены вопросы, связанные с построением экспоненциальных добавок к асимптотическим разложениям. Строятся добавки к разложениям решений уравнений иерархии второго уравнений Пенлеве.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях:
1. Demina M.V., Kudryashov N.A. Power and non-power expansions of the solutions for the fourth-order analogue to the second Painlevl equation // Chaos, Solitons and Fractals. - 2007. - Vol. 32, No. 1. - P. 124-144.
11
2. Kudryashov N.A., Demina M.V. Special polynomials associated with the fourth-order analogue to the Painleve equations // Phys. Lett. A. - 2007. - Vol. 303, No. 5-6. - P. 346-355.
3. Kudryashov N.A., Demina M.V. Polygons oi' differential equations for finding exact solutions // Chaos, Solitons and Fractals. - 2007. - Vol. 33, No. 5. - P. 1480-1496.
4. Demina M.V., Kudryashov N.A. The Yablonskii - Vorob'ev polynomials for the second Painleve hierarchy // Chaos, Solitons and Fractals. - 2007. - Vol. 32, No. 2.
- P. 526-537.
5. Kudryashov N.A., Demina M.V. Relations between zeros of special polynomials associated with the Painleve equations // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 368, No. 3-4. -P. 227-234.
6. Демина M.B., Кудряшов II.А. Специальные полиномы и рациональные решения иерархии второго уравнения Неилеве // ТМФ. - 2007. - Т. 153, вып. 1. - С. 58-67.
7. Kudryashov N.A., Demina M.V. The generalized Yablonskii-Vorob’ev polynomials and their properties // Phys. Lett. A. - 2008. - Vol. 372, No. 29. - P. 4885-4890.
8. Демина M.B., Кудряшов H.A., Синелыциков Д.И. Метод многоугольников для построения томных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений для описания воли на воде // Ж. вымпел, матем. и матем. физ. - 2008.
- Т. 48, выи. 12. - С. 2151-2162.
9. Kudryashov N.A., Demina M.V. Traveling wave solutions of the generalized nonlinear evolution equations // Applied Mathematics and Computation. - 2009. - Vol. 210.
- P. 551-557.
10. Демина M.B., Кудряшов H.A. Модифицированный метод простейших уравнений // Науч. сессия МИФИ-2005: Сб. науч. тр. в 17 т. - М.: МИФИ, 2005. - Т. 7. - С. 105-106.
11. Демина М.В., Кудряшов Н.А. Степенные и нестепенные разложения автомодельных решений модифицированного уравнения Кортевега —де Вриза пятого
12
порядка // Науч. сессия МИФИ-2006: Сб. науч. тр. и 17 т. - М.: МИФИ, 2006. -Т. 7.-С. 112-113.
12. Демина М.В., Кудряшов Н. А. Иерархия второго уравнения Псилеве: локальный анализ, построение рациональных решений /'/ Науч. сессия МИФИ-2007: Сб. науч. тр. в 17 т. - М.: МИФИ, 2007. - Т 7. - С. 114-115.
13. Kudryashov N.A., Demina M.V. Special polynomials associated with the Раш1еуё hierarchies / International Workshop. - Spain, L’Ametlla de Mar, 17-23 June: Book of abstracts. - P. 36.
14. Демина M.B., Кудряшов H.A. Асимптотические разложения решений и специальные полиномы иерархии второго уравнения Пенлеве / Международная конференция ''Анализ и особенности1'. - Москва, 20 - 24 августа 2007: Сб. науч. тр. - М.: МИАН, 2007. - С. 46-48.
15. Демина М.В.. Кудряшов Н.А. Обобщенная иерархия второго уравнения Пенлеве и ее свойства // Науч. сессия МИФИ-2008: Сб. науч. тр. в 17 т. -- М.: МИФИ, 2008. - Т. 9. - С. 62-63.
13