ОГЛАВЛЕНИЕ
#
Введение ...................................................... 4
Глава 1. Параболические 2-семейства плоскостей в Р5 ..... 10
§1.1. Репер первого порядка параболического семейства ...... 10
§1.2. Внутренняя корреляция на семействе (Ь\)2 ............. 16
§1.3. Основной фундаментальный объект семейства (Ь])2 ...... 22
§1.4. Геометрические свойства семейства (Ь2)2 .............. 27
§1.5. Включение заданной 2-поверхности в семейство (£-2)2...
Глава II. Геометрия конфигурации Р ......................... 40
^ §2.1. Вмещение псевдофокального семейства прямых в конфигурацию Р ........................................................... 40
§2.2. Вмещение гиперболического семейства (£2)2 в конфигурацию Р................................................... 53
§2.3. Оптимальный репер .................................... 60
§2.4. Взаимосвязь между гиперболическими семействами
плоскостей конфигурации Р ............................. 65
§2.5. Канонический репер конфигурации Р .................... 68
§2.6. Полная конфигурация Р ................................ 73
§2.7. Фокальная три-ткань конфигурации Р ................... 83
Глава III. Проективное изгибание семейств, опрсдсля-# ющих конфигурацию Р ....................................... 89
§3.1. Проективное изгибание первого порядка параболического семейства ............................................ 89
§3.2. Проективное изгибание второго порядка параболического семейства ............................................ 93
2
§3.3. Изгибание 1-го порядка псевдокопгруэнции конфигурации Р........................................................ 100
* §3.4. Изгибание 2-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации Р 103
§3.5. Изгибание пары параболических семейств конфигурации Р........................................................ 109
§3.6. Изгибание конфигурации Р .............................. 113
§3.7. Изгибание 2-го порядка семейств (£2)2 .................. И9
§3.8. Особое решение изгибания 2-го порядка семейств
(Ь1)2 .................................................. 124
§3.9. Изгибание фокальных поверхностей семейства (£2)2 ...... 127
Заключение .................................................... 130
% Литература 131
*
з
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа относится к дифференциальной геометрии линейчатых многообразий многомерных проективных пространств. В настоящее время теория конгруэнций прямых и их пар трехмерного проективного пространства представляет классический раздел дифференциальной геометрии и достаточно полно изложена в монографиях С. П. Фи-никова [39, 40]. Одним из возможных направлений в обобщении этой теории является изучение геометрии r-параметрических семейств т-мерных плоскостей и их пар в проективном пространстве Рп. Такие семейства стали предметом научных исследований во второй половине XX века ([4, 13, 20, 25, 29, 30, 32] и другие).
Первые обобщения конфигурации Т и расслояемых пар конгруэнций С. П. Фшшкова были сделаны В. И. Коровиным [18], Р.М.Гейдель-маном [5], К. И. Дуничевым [11]. Ученики P.M. Гейдельмана, например, B.C. Фокин [41], М. А.Войтенко [2, 3] ввели обобщение этих понятии в Р4.
Заметив, что прямая в Р3 является двойственной сама себе, Г. Н. Макеев поставил задачу обобщения пар Т и расслояемых пар конгруэнций прямых в нечетномерпых проективных пространствах. В связи с этим С.Е. Тычинина рассматривала двупарамстрические семейства (£2)2 плоскостей L2 в Р$. Семейство (£2)2 называется гиперболическим, слабопараболическим или параболическим, если каждая плоскость L2 имеет три линейно независимых действительных фокуса, два фокуса пли один фокус. Пары Т и расслоясмые пары гиперболических семейств (Ь2)2 были введены и исследованы С. Е.Тычшшной [37, 36], а обобщение пар 0 Попова сделала Л.Ф. Степанова [33-35]. Эти результаты получили обобщение в пространстве р2П-\ в работах Г. Н. Макеева [26-28]. Им введено попятпе семейств которые являются обобще-
нием семейств [L2)2, и их преобразований Лапласа [25]. В.А.Глуздов изучал слабопараболические семейства (£2)2 ы пх пары в Р5 [6-10].
4
Дифференциально-геометрические свойства гиперболических семейств (£2)2 изучала Т. Б.Жогова [13-15]. Дальнейшие её работы [12, 16, 17] посвящены проективному И коррелятивному изгибанию семейств £!£_!• Л. Е. Куновская в работе [21] рассматривала некоторые свойства параболического семейства (£2)2 в ^5-
Целью настоящего исследования является изучение дифференциальной геометрии двупараметрического семейства плоскостей параболического типа в пространстве Р$.
Исследование ведется методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э. Картана [38].
Полученные в диссертации результаты являются новыми.
На защиту выносятся следующие научные положения и результаты:
• фокальные свойства параболического семейства плоскостей;
• построение конфигурации Р на базе параболического семейства плоскостей;
• включение заданной 2-поверхности в параболическое семейство плоскостей;
• связь между геометриями параболического семейства плоскостей и псевдофокального семейства прямых в Д;
• геометрические свойства конфигурации Р] полная конфигурация Р\
• проективное изгибание элементов конфигурации Р\ проективное изгибание конфигурации Р.
Диссертационная работа носит теоретические характер. В ней построена достаточно полная проективно-дифференциальная теория семейств плоскостей (£2)2 параболического типа пространства Р5. Результаты, полученные в диссертации, открывают возможность провести классификацию семейств (£2)2 по числу фокальных точек стационарной прямой текущей плоскости семейства, выяснить роль фокальных точек при изучении геометрии гиперболических и слабопараболических семейств плоскостей, а также геометрии пар Т и расслояемых пар этих семейств. Полученные в диссертации результаты могут пс-
5
пользоваться при чтении специальных курсов по дифференциальной геометрии семейств плоскостей многомерных пространств и написании дипломных работ по геометрии.
Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции молодых ученых Горьковской области (1980); на IX, X, XI, XII Международных конференциях серии “Женщины-математики” в Чебоксарах (2001, 2004), Ростове-на-Допу (2002) и Воронеже (2003); на Всероссийской научно-практической конференции в Нижнем Новгороде (2002); на VIII Международной конференции серии “Нелинейный мир” в Астрахани (2003); па научных семинарах по дифференциальной геометрии в Московском железнодорожном институте (рук. ироф. Р. М. Гейдельман), в Московском институте стали и сплавов (рук. проф. М. А. Акивис), в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова (рук. проф. А. М. Васильев), в Нижегородском госу-
• дарственном университете им. Н. И. Лобачевского (рук. проф. В. А. Иго-
шин) и неоднократно на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета.
Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях, приведенных в конце диссертации. Соавторов нет.
Приведем краткий обзор содержания диссертации.
Первая глава посвящена изучению дифференциальной геометрии параболических 2-семейств плоскостей в Р5, которые обозначим через
В §1.1 к рассматриваемому семейству плоскостей присоединяется многообразие реперов 1-го порядка, определяются инвариантные образы, связанные с семейством (-£2)2* изучаются фокальные свойства
• этого семейства, доказывается теорема существования [Ь\)2>
В §1.2 введено понятие внутренней корреляции на семействе (£2)2» которая дает возможность исследовать инвариантные двойственные образы многообразия и выяснить геометрический смысл репера 1-го порядка. Семейство (Ь\)2, как точечное многообразие, представляет собой гиперповерхность с плоскостной образующей L\. Оказалось, что
с
в плоскости Ь\ существует единственная прямая, вдоль которой касательная гиперплоскость к гиперповерхности стационарна. Эта прямая проходит через фокус и называется стационарной.
В §1.3 установлено, что третий фундаментальный объект семейства (£2)2 является основным, а четвертый — полным [22].
В §1.4 продолжено изучение геометрических СВОЙСТВ семейства (£2)2-На стационарной прямой найдены три шшарпаптпые точки, каждая из которых описывает двумерную поверхность. Любая из этих поверхностей является фокальной поверхностью параболического семейства плоскостей, а каждые две из них суть фокальные поверхности некоторого гиперболического семейства плоскостей (£2)2- Совокупность семейства стационарных прямых, трех параболических семейств и трех гиперболических семейств образует конфигурацию F.
В §1.5 решена задача о включении заданной поверхности в параболическое семейство (£2)2-
Вторая глава посвящена изучению геометрических свойств конфигурации Е.
В §2.1 вводится понятие отношения вместимости двух многообразий. Многообразие ЭЛ находится в отношении вместимости с многообразием <П, если в Ръ существует такой репер, в котором оба многообразия определяются одной и той же системой уравнений Пфаффа. Если при этом ЭЛ С 91, то будем говорить, что ЭЛ вмещено в *Я.
Двупараметрическое семейство стационарных прямых является псевдоконгрузнцией, у которой касательное пространство вдоль луча четырехмерно. Доказано, что такое семейство можно вместить в конфигурацию Е.
Двупараметрнческое семейство стационарных прямых в дальнейшем будем называть псевдоконгрузнцией.
В §2.2 находятся такие ограничения на гиперболическое семейство (£2)2, ПРИ которых оно может быть вмещено в конфигурацию .Е. Это семейство обозначается через (£3)2 и существует с произволом пяти функций двух аргументов.
7
В §2.3 введено понятие оптимального репера конфигурации Р. Опти-мальпый репер построен на двух параболических семействах и одном гиперболическом семействе (£2)2 плоскостей конфигурации 1*\ В этом репере прямая (Л1Л3) описывает псевдоконгруэнцию; точка А\ является фокусом параболического семейства, описываемого плоскостью (Л1Л.3А4); А$ — фокус параболического семейства с текущей плоскостью (А\АьАъ)\ плоскость (А1А2А3) описывает семейство (£2)2 с Ф0КУ‘ сами в точках А\, А$. Установлено, что любая пара многообразий,
составляющих конфигурацию Р, находится в отношении вместимости, а псевдоконгруэнция может быть вмещена как в любое параболическое семейство, так и в любое гиперболическое семейство конфигурации Р.
Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации Р изучается в §2.4. Оказалось, что эти семейства связаны между собой преобразованиями Лапласа [25].
^ В §2.5 построен канонический репер конфигурации Р и выяснен его
геометрический смысл.
В §2.6 введено понятие полной конфигурации Р. Для каждой пары фокальных точек прямой (А\А$) существует единственная пара, содержащая третью фокальную точку, которая гармонически разделяет данную пару точек. Вторая пара точек является парой фокусов некоторой плоскости слабопараболического семейства, причем фокальная точка будет двукратным фокусом. Таким образом, с прямой (Д1Д3) инвариантно связаны еще три плоскости, каждая из которых описывает слабопараболическое семейство. Этими семействами пополняется конфигурация Р. Каждое из трех гиперболических семейств конфигурации Р имеет шесть первых преобразований Лапласа, некоторые из • которых совпадают. Эти преобразования Лапласа также пополняют
конфигурацию Р. Полученную конфигурацию назовем полной конфигурацией Р.
Таким образом, полная конфигурация Р содержит псевдоконгруэнцию, три параболических семейства, три слабопараболических семейства и восемь гиперболических семейств плоскостей.
8
В §2.7 поучается фокальная три-ткань конфигурации Я. Оказалось, что конфигурация Я с шестиугольной фокальной три-тканью суще-^ ствует с произволом четырех функций двух аргументов.
Третья глава посвящена вопросу проективного пзгибания конфигурации Я и семейств, составляющих её.
В §3.1 и §3.2 рассматривается задача проективного изгибания 1-го и 2-го порядков параболического семейства плоскостей. Оказалось, что любые два параболических семейства плоскостей наложимы изгибанием первого порядка с произволом 52 = 1. А класс параболических семейств, допускающих проективное изгибание второго порядка, существует с произволом 52 = 3.
В §3.3 и §3.4 изучается проективное изгибание первого и второго порядков псевдокопгруэнцпи. Изгибанием первого порядка заданная псевдоконгруэнция наложима на псевдоконгруэншно любой конфигурации Р с произволом 52 = 2. Доказано, что существует с произволом 51 = 2 * класс конфигураций Р, у которых псевдоконгруэнция допускает изги-
бание второго порядка.
В §3.5 исследуется задача изгибания пары параболических семейств конфигурации Р, которая допускает изгибание только первого порядка С произволом 52 = 2.
В §3.6 рассмотрено проективное изгибание конфигурации Р. Оказалось, что конфигурация Р допускает только проективное изгибание первого порядка с произволом 51 = 13.
В §3.7 установлено, что класс семейств (Ь\)2, допускающих изгибание второго порядка, существует с Произволом *2 = 1.
В §3.8 рассматривается особое решение задачи изгибания семейства (£2)2- Оказалось, что в особом случае выделяется класс семейств (Р2)г (семейства Ро), существующих с произволом э\ = 15, которые допус-Ш, кают непрерывное изгибание второго порядка с произволом одного па-
раметра.
В §3.9 рассмотрено фокальное изгибапие семейств Доказано,
что только семейства Я$ допускают непрерывное фокальное изгибание второго порядка с произволом одного параметра. Заметим, что семейство Я1 является аналогом конгруэнций Я в Р3.
9
ГЛАВА 1. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ 2-СЕМЕЙСТВА
ПЛОСКОСТЕЙ В Ръ
§1.1. РЕПЕР ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА
1. В пятимерном проективном пространстве Ръ рассмотрим двупара-метрическое семейство 2-плоскостей. В дальнейшем 2-плоскость будем называть плоскостью.
Определение. Двупараметрическое семейство плоскостей назовем параболическим, если описывающая его плоскость имеет один трехкратный фокус.
Обозначим такое семейство (Ь2)2.
В Р$ введем проективный репер {Лр}, состоящий из шести линейно независимых точек. Инфинитезимальные перемещения этого репера определим вполне интегрируемой системой дифференциальных уравнений
('1Ар — U^pAq,
где формы Пфаффа удовлетворяют уравнениям структуры проективного пространства
= игр А ш* (р, ?, г = 176).
Отнесем семейство (Ь\)2 к реперу {Ар}. Пусть плоскость Ь\ = (Л\А2А2) описывает семейство (Ь\)2. Среди главных форм
< (г = 1,2,3; а = 4,5,6)
плоскости Ь\ на семействе (£2)2 независимыми будут две формы. Выберем в качестве независимых форм со* и ш2. Тогда
< = а?и,* + 6>|, в} = 65 = 1, Ъ\ = а\ = 0. (1.1)
Если точка
Г = х% М
10
является фокусом плоскости Ь\, то существует такое направление
т в = ш*- <рш1,
называемое фокальным, что
((/ГА1Л2А3) = 0(шос161).
Отсюда следует однородная система уравнений
х1и>* = 0 (тос10),
которая в силу (1.1) принимает вид
хг(іра* + Ь?) = 0. (1.2)
Система (1.2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда
йеі\<ра£ + Ь?| = 0. (1.3)
* Это кубическое уравнение относительно р должно иметь трехкрат-
ный корень. Прежде чем записывать условия трехкратности корня, вершину А\ репера {Ар} поместим в фокус плоскости Ь\, что не нарушит общности рассуждений. Тогда из системы (1.2) получим, что <р = 0 является корнем уравнения (1.3) и
Ь\ = 0, 6* = 0. (1.4)
Фокус А\ описывает 2-повсрхность (Лі), которую назовем фокальной поверхностью семейства (Ь\)2.
Фокальной плоскостью фокуса А\ назовем касательную плоскость Ь2 к поверхности (Лі) в точке А\.
Линейную оболочку плоскостей £2 и Ь\ назовем фокальной 3-плоско-‘Ч стыо Ьг фокуса А\.
Так как
(1А\ = ш\А\ 4- ио\ Л2 4- Л з 4* со\{А^ 4- СІ1Л5 4- а^Лб),
то
Тз = (ЛіЛ2Лз, А\ 4- а\А$ 4- а^Ле).
11
- Київ+380960830922