Некоторые задачи качественной теории функционально-дифференциальных уравнений

Содержание
Введение
Основные обозначения
1 Инвариантная производная функционалов на ('/>.!>■
1 Функциональные производные
1.1 Производная Фроше...............................................
1.2 Производная Гато................................................
2 Классификация функционалов на
2.1 Регулярные функционалы .........................................
2.2 Сингулярные функционалы ........................................
2.3 Специальные функционалы ........................................
3 Вычисление функционала вдоль линии
3.1 Операторы сдвига................................................
3.2 Суперпозиция функционала и функции .............................
3.3 Производные Дпнн ...............................................
Л Обсуждение двух примеров
4.1 П]ннп1шдпая функции вдоль кривой................................
4.2 Производная функционала вдоль кривой............................
5 Инвариантная производная
5.1 Инвариантная произиодиая........................................
5.2 Инвариантная производная в классе В[о.Ь] .......................
5.3 Примеры.........................................................
6 Свойства инвариантной производной
6.1 Правила вычисления инвариантных производных.....................
С.2 Инвариантная диф^мрепцируемость и инвариантная непрерывность . .
6.3 Инвариантные повзводные высшего порядка.........................
6.4 Разложение в ряд................................................
7 Многомерный случай
7.1 Обозначения.....................................................
7.2 Опера тор сдвига................................................
7.3 Частная инвариан тная производная...............................
8 Обобщенные производные нелинейных функционалов
8.1 Введение .......................................................
8.2 Распределения (обобщенные функции)..............................
Б.З Обобщенные производные нелинейных распределений.................
8
23
25
25
25
26
20
26
27
27
28
28
28
28
29
29
29
30
30
32
32
31
31
30
37
37
38
38
38
38
38
38
39
10
2
8.3.1 ()еноиные определения....................................
8.3.2 Обобщенная производная как инвариантная производная . . .
8.4 Свойства of>o6i цепных производных.............................
8.Г» Обобщенные производные (и мерный случим)......................
8.0 Пространство SO нелинейных распределений.......................
8.0.1 Сходимость в SD .........................................
8.0.2 Произведение н SD........................................
8.7 Базис по сдвигу ...............................................
8.8 Первообразная..................................................
8.9 Обобщенные решения нелинейных дифференциальных уравнений . .
8.10 Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами ..............................................................
II Инвариантная производная функционалов на R к R" х^[- г.О)
9 Функционалы на (Д—г,0)
9.1 Регулярные функционалы ........................................
9.2 Сингулярные функционалы .......................................
9.3 Специальные функционалы .......................................
9.4 2 Структура функционалов.......................................
10 Функционалы на R х IC х Q[~r, 0)
10.1 Регулярные функционалы .......................................
10.2 Сингулярные функционалы ......................................
10.3 Функционалы типа Вольтерра....................................
11 Инвариантная производная
11.1 Инвариантная производная функционалов.........................
11.2 Примеры ......................................................
11.3 Инвариантна»! непрерывность и инвариантная днф^м’ропцнруемость .
11.4 Инвариантная производная на 0]............................
12 Комнвариантная производная
12.1 Коинпариантная производная функционалов ......................
12.2 Коинвариантная производная в классе В[—т,0|...................
12.3 Свойства кони вариантной производной..........................
12.4 Частные производные высших порядков...........................
12.5 Формулы г-глад кого исчисления для отображений................
III Функционально-дифференциальные уравнения
13 Фазовое пространство и условная запись ФДУ
13.1 Фазовое пространство ФДУ .....................................
13.2 Условные обозначения ФДУ......................................
10
41
11
12
13
13
13
41
14
40
48
19
49
19
50
50
51
51
52
52
53
53
51
58
03
(»4
08
08
70
71
72
74
75
75
75
70
3
14 Существование и единственность решений 77
14.1 Основные теоремы................................................... 77
14.2 О продолжимости решении и их зависимости от начальных данных ■ • 81
14.3 О методе тагов .................................................... 81
15 Гладкость решений 82
15.1 Глодкость р('іпений и начальный момент............................. 83
15.2 Гладкость решении на интервале .................................... 83
15.3 Плотность специальных начальных функций ........................... 81
10 Процедура склейки 85
16.1 Общий случай....................................................... 86
16.2 Модификации многочленами........................................... 87
16.3 Процедура склейки второго порядка.................................. 88
16.4 Процедура склей к и второго порядка, для линейного ФДУ............. 89
17 Разложение решений ФДУ в ряд Тейлора 91
17.1 Общая формула...................................................... 91
17.2 Применение к нахождению порядка аппроксимации численных методов 93
18 Об инвариантной дифференцируемости решений по начальным данным 94
18.1 Линейные ФДУ ...................................................... 91
18.2 Нелинейные ФДУ..................................................... 95
19 Первые интегралы ФДУ 99
20 Уравнения нейтрального типа 102
20.1 Фазовое пространство и пространство состояний......................102
20.2 Условная запись.....................................................ЮЗ
20.3 Уравнения в полных дифференциалах.................................101
20.4 Уравнения с полным ди<|>фс]>епцналом...............................Юб
21 Операторы запаздывания. Структура ФДУ. 106
21.1 Операторы запаздывания............................................106
21.2 Структура ФДУ 108
IV Устойчивость ФДУ 109
22 Постановка задачи НО
22.1 Основные определения ...............................................ПО
22.2 Об устойчивости относительно возмущений из /У, С[-т,0) п /л//[—т,0] 112
22.3 Теорема о равномерной устойчивости..................................И4
4
23 Функционалы Ляпунова. Полная производная функционала в силу системы 114
23.1 Функционалы Ляпунова ...............................................Ill
23.2 Полная производная функционалов Ляпунова в силу системы ..........115
23.2.1 Полная производная в терминах производных Дин и...............115
23.2.2 Полная производная в терминах инвариантной производной . . I 16
23.3 Положительная определенность функционалов...........................118
23.3.1 Определения...................................................118
23.3.2 О знакоопределенности функционалов на /д//’(-т.()]...........I 19
24 Метод функционалов Ляпунова 120
24.1 Устойчивость и асимптотическая устойчивость.........................120
24.1.1 В терминах инвариантно дифференцируемых па // функционалов Ляпунова.......................................................120
21 1.2 В терминах инвариантно дифференцируемых на /./у/ [ г. ClJ
функционалов Ляпунова.........................................122
24.1.3 Примеры.......................................................123
24.2 Асимптотическая устойчивость периодических и автономных систем . . 124
24.2.1 Аналоги классических теорем .................................124
24.2.2 Модифицированные теоремы......................................128
24.3 Теоремы об обратимости..............................................130
24.3.1 Теорема об обратимости в герм и пах производной Дипп.........13(1
24.3.2 Теорема обратимости в терминах инвариантной производной . . 132
24.1 Дополнительные замечания ...........................................138
24.1.1 О структуре функционалов Ляпунова ............................138
24.4.2 Об устойчивости в интегральной норме..........................130
25 Устойчивость линейных систем 140
25.1 Некоторые общие замечания...........................................110
25.2 Конструктивный критерий устойчивости в терминах фу пламен не й-пои матрицы.................................................................Ill
25.3 Квадратичные функционалы Ляпунова..................................1 12
25.3.1 Структура квадратичных функционалов Ляпунова.................112
25.3.2 Элементарные функционалы и их свойства .......................143
25.3.3 Полная щюизводпня в силу системы..............................144
25.3.4 Знакоопределенность квадратичных функционалов.................146
25.3.5 Примеры.......................................................147
26 Метод функций Ляпунова 150
26.1 Функции Ляпунова....................................................150
26.2 Устойчивость и асимитогичажая устойчивость..........................153
2G.3 Асимптотическая устойчивость автономных и периодических систем . . 157
27 О неустойчивости ФДУ 162
27.1 Теоремы о неустойчивости............................................162
27.1.1 Функционалы Ляпунова..........................................163
27.1.2 Функции Ляпунова 164
27.1.3 Одно общее. замечание
27.2 Примеры ....................
104
105
V Метод динамического программирования
28 Функционал Веллмана
29 Уравнение Веллмана. Достаточные условия оптимальности
1С7
1С8
170
30 Задача линейно-квадратичного управления
30.1 Постановка чадами........................
30.2 Специальные функционалы качества.........
30.2.1 Конечномерный функционал качества
30.2.2 Вырожденный функционал качества .
30.3 Явные решения (>У Р......................
30.4 Докнчато.тытво Теоремы ЗОЛ (Вывод обобщен і
172 172
175 175 175 I 75
ых уравнении Риккаш) 179
31 Задача уклонения
32 Оптимальный синтез для одной нелинейной системы
185
189
33 Системы с запаздыванием в управлении 191
33.1 Постнонка задачи.................................................191
33.2 І Інннриннтпая дифференцируемость по управлению..................192
33.3 Уравнение Веллмана. Достаточные условия оптимальности............191
33.4 Линейно-квадратичная задачи управлении...........................190
33.5 Задача оптимального быстродействия...............................198
VI Стабилизация систем с последействием 200
34 Управление на неограниченном интервале времени. Оптимальная стабилизация 200
34.1 Постановка задачи.................................................200
34.2 Теорема об оптимальной стабилизации...............................202
35 Линейно-квадратичная задача управления 203
35.1 Постановка задачи.................................................204
35.2 Вывод обобщенных уравнений Риккаги................................208
30 Явные решения обобщенных уравнений Рпккати 213
30.1 Вариант 1.........................................................213
30.1.1 Основная теорема............................................213
30.1.2 Вспомогательная лемма.......................................214
36.1.3 Доказательство основной теоремы.............................210
30.2 Вариант 2.........................................................210
30.2.1 Основная теорема............................................210
0
•30.2.2 Вспомогательная лемма........................................217
30.2.3 Доказательство основной теоремы...............................218
37 Анализ регулятора 218
37.1 Яіиияґмшд управлении с обратной снятый..............................218
37.2 Анална устойчивости замкнутой системы...............................218
37.3 Решение зкніопешціальиош матричного уравнения.......................219
38 Примеры ‘219
38.1 Пример 1............................................................219
38.2 Пример 2............................................................221
38.3 Пример 3............................................................223
38.4 ГІрішер І...........................................................225
38.5 Пример 5............................................................227
38.0 Пример (>...........................................................230
Литература 234
Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Основой построения общей теории функционально дифференциальных уранне-ннй (ФДУ) является предложенная Н.Н.Краговским [77| -|83| функциональная ірак-говка решении 'ткпх систем. В отмеченных работах были определены бесконечномерные фазовые пространства систем ФДУ, введено соответствующее обобщение функций Ляпунова (функционалы Ляпунова, докатаны теоремы об обратимом п. В работах ] І.И.Краеонекого и его учеников были ранит,! новые фупкциопа.аьвые методы исследования и решении задач теории устойчивости и управлення лди ФДУ.
Настоящая диссертации продолжает исследования і’.-лом направлении.
Существенный вклад в становление и развит не теории функционально дифференциальных уравнений шюсли Н.В.Азбелев, Р.Габасов. А.М.Зверкнн. Г.Л.Каменский, Ф.М.Кириллова. Б.Б.КолмаипискиП, Н.И.Красовекнй, Л.В.КряжимгкиП. Л.Б.Ку|ь жниский, А.Л.Мартгышок, В.М.Марченко. Г. II.Марчук. Ю.А.Ми гроиольекпи. А .Д. Мышкис, С.Б.Норкин, В.Р.Носов, К).С.Осипов, Л.О.Поптрягнм. Б.С.Разумихин, К).М.Ренин, А.Л.Скубачевекий, В.Б.Тдотьяков, А.А.Шестаков. C.H.UІпмапов. Г.. I. Харатпшвили, Л.Э.Элытодьц, С.И.Т. Baker, H.Т.Banks, R.Bellman, Г.A.Burton, К.Cooke, С.СоїчІипоаїш, M.Delfbnr, R.Drivor, Л.Haddock, A.Ualauay, .I.IIale. L.IIalvani. J.Kal.o, М.КнвІїнсг, V.LnkshmikanÜiam, K.Uclikla, Y.Vbl terra и другие ангоры.
В настоящее время имеется обширная литература, посвященная различным аспектам теории ФДУ (см., например, книги и обзоры 11, 0, 15, 25. 26, 15. 16, 17, 77. IJ6, 137, 161, 163, J75, 182. 191, 203, 208, 210, 215, 230, 231. 240| и библиографию к ним). Однако даже в обзорных работах трудно отрачпть все стороны данного направления в математике, которое продолжает интенсивно ра лишаться >5 георепгнчком и прикладном аспектах.
Данная диссертация посвящена дальнейшем разработке функционального подхода 15 каче( твеппон теории ФДУ и рапнггню соотнеісгвуїищнх іюві.іх методой ф\ мк-ционалмюго анализа.
Первый круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, связан с разработкой нового математического аппарата исследования и описания функционалов и функционально-дифференциальных уравнений. Соответствующий аппарат основывается на введении новою понятия производной нелинейных функционалов инвариантной производной (г-производной). В дальнейшем, для краткости, инвариантно дифференцируемые функционалы будем также называть і-гладкими.
Гладкость (функций и отображений в постановках различных математических задач имеет принципиальное значение, так как позволяет упрощать выкладки, подучать конструктивные алгоритмы и конечные формулы. Однако, бссконсчпомсрпость фазовых пространств выбывает существенные трудности при интерпретации «5 классе функционально дифференциальных уравнений тех методов исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые требуют дифференцируемости тех или иных (функций но (фазовой переменной.
В отличие от ОДУ. для динамических систем в бесконечномерных (фазовых пространствах при исследовании гладкости применяемых функционалов могут быть н<
8
нользонаны более разнообразны«' понят ия производных. В случае ФДУ наиболее ча-(10 ИСПОДЬ(уюгся 11рОМЗВОД||а.И ФрОШС OOOTBOTCTR.VЮ1ЦИХ фупКЦНОНаЛОН II отображ«*-IIий. атякжс производные отображений вдоль (кчнснпй (привое верхнее производное число «функционала вдоль решений).
П<пользонаине щижпюдиои Фрсшс позволяет достаточно по. ню исследовать рассматриваемые задачи, однако круг таких шдач ограничен. так как Фрсшс дифференцируемость накладывает жесткие ограничения как на сами функционалы, так и на решения ФДУ (которые должны быть и этом случае непрерывно дифференцируемыми).
Правое верхнее число «функционала вдоль решении (upon ишднаи Дпни) существует всегда, что придает этому тину гладкости определенную универсальность. Однако, при этом теряется эле.чеш конструктнвиоггн, так как грсбуется. по крайней мере формально, находить решения ФДУ и осуществлять сштютетвующий пщущльпый переход.
Используя отмеченные ТИПЫ гладкости были НрОВСДСПЫ пес ЛС/ЮИЛНИЯ П111|К)КОЮ круга задач; однако, даже в них случаях данные производные не позволяю! зачастую получать простые аналоги сооз ветствующих результа то в теории ОДУ. 15 частности, это относ ится к «формуле полной производной «функционалов в силу ФДУ, численных алгоритмов для ФДУ общего вида.
Для преодоления этих трудностей в данной работе вводится понято инвариан тной производной нелинейных «функционалов.
Введение понятия инвариантной производной дает возможность разви ть соответствующую технику дифференциального исчисления нелинейных функционалов и, в частности, замешт, в теории ФДУ вычисление правого верхнего upon «водного числа вдоль решений па более простые и наглядные конструкции, основанные на инвариантной производной 1 .
Введение нового понятия гладкости позволяет исследовать новые качественные свой« ! на ФДУ.
Отмстим, что класс инвариан тно дифференцируемых функциона. и>в достаточно широк и свойство инвариантной дифференцируемости яиляоин естественным и до-статочно iijxxto проверяемым ;(дя практически всех функционалов, встречающихся на практике.
При -лом, дли линейных непрерывных «функционалов над cooj исчез bviohuimii пространствами достаточно гладких «функций инвариантная производная совладает (с точностью до знака) с обобщенной производной теории распределений.
В первой части диссертации:
- вводятся понятия инвариантной и коииварнантпой производных и исследуются их свойства для различных классов (функционалов;
1 Такое упрощение связано С тем, что ДЛЯ ’’дифференциального или интеграл иного исчисления характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий при помощи предельного перехода они дают возможность решать разнообразнейшие задачи при помощи простого алгоритма чисто алгебраического характера (и том смысле, что сам этот алгоритм уже не содержит в явном виде предельных переходов).
Благодаря этому, современные способы вычисления с дифференциалами и интегралами успешно соединяют в себе строгую логическую обоснованность с простотой и наглядностью.11 (А. Н-Колмогоров).
9
показана сия я» инвариантной щюизводпой с обобщенной производной чтории распределений и предложен ОДИН НІ возможных подходов к построению обобщенных )ЮЦІЄІІИЙ нелинейных ДІ1<]х[>Є|)Є|ІЩІЛ.І1>ПЬІХ уравнений.
Вто)н>й круг вопросов. исследованных и диссертации. связан с использованием / гладких функционалов и рамках качественной теории ФДУ (существование и едшг-спичтость решении, иииариат пая дифференцируемость решений по начальным данным, интегрируемые тины ФДУ, метод функциопа.юн Ляпунова. м(Уічм динамического программирования) и имеет своей целью покатан» возможный круг задач, который может быть исследован на их оспине.
При эчом и в рамках ранее рассмотренных задач и подходов применение техники г-гладкого анализа позволяет получить ряд новых результант.
В частности, в работе показана инвариантная дифференцируемость по начальным данным решении ФДУ; исследуется структура и некоторые свойсчиа уравнении нейтрального типа; на основе конструкций инвариантной производной вводится понятие обобщенной производной нелинейного функционала и разрабатывается соответствующий подход к понятию обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений.
Особо следусч отметить, что в диссертации принципиальным является использование концепции разделения конечномерных и бесконечномерных составляющих в структуре функционалов н ФДУ. В дальнейшем будем ш пиль юваі ь іерміш і глшікий (ИIHAll.t. включающим в себя совокупность методов исследования Ф. IV II функционалов основывающихся на использован и и:
- конструкций инвариантной производной функционалов;
-концепции разделения конечномерных н бесконечномерных составляющих в сч рук туре функционалов и ФДУ.
К настоящему времени теоретические аспекты прямого метан .Ляпунова для ФДУ разработаны с достаточной полнотой, и основное внимание емецпа.чппов сосредоточено на исследовании структуры функционалов Ляпунова и коисч рукч нвпых правилах построения подходящих функционалов Ляпунова дня достач очно широких классов систем.
С этой точки зрения использование инвариантно дифференцируемых функционалов позволяет исследовать ряд принципиальных вопросов. Прежде всего следусч отмстить, что при вычислении полной производной инвариантно дифференцируемого функционала в силу ФДУ. правое верхнее производное число вдоль решений может быть заменено на более простые конструкции (при этом выражение для полной производной имеет вид, аналогичный полной производной конечномерной дифференцируемой функции в силу ОДУ). Эго придает методу функционалов Ляпунова определенную долю конструктивности }.
Свойство инвариантной дифференцируемости присуще практически всем функционалам Ляпунова, встречающимся в приложениях, поэтому разработка соответствующих аспектов теории инвариантно дифференцируемых функционалов позво-
*Как писал А.М.Ляпунов: "к другой | второй метбде| мы причислим все те [способы исследования устойчивости], которые основываются на принципах, не зависящих от разыскания каких -либо решений дифференциальных уравнений возмущенного движения".
10
ляет классифицировать сгрук»у|>у функционалов Ляпунова, дать рекомендации для конструктивных правил их построения, а также получить ряд новых роту дымит. В частности, покатана обратимость в терминах инвариантно дифференцируемых функционалов теоремы о равномерной асимптотической устойчивости.
Отдельный раздел диссертации посвящен описанию структуры уравнения Болл-мана для ФДУ в терминах инвариантных щюизводиых, разрабої ке соотвеїсівуїоїцпх подходов к методу динамического программирования и исследованию инвариантной дифференцируемости функционалов Беллмаиа и некоторых задачах он шмального управления.
В рамках теории оптимального управления системами, описываемыми ОДУ, одним из основных направлении исследований является построение п псследовн-ние аналогов уравнения Беллмаиа для педифференцируечых функции Веллмана |32, 66, 143|. В то же врем», для общих управляемых ФДУ неизвестен вид уравнении Беллмаиа, имеющей) локальный характер н аналогичного классическому уравнению Веллмана теории ОДУ.
Как известно, классический вариант уравнения Беллмаиа в методе динамического щия раммпрования д ія ОДУ основывае те» на предположении дифференцируемое і п функции Веллмана. При »том, при построении уравнения Беллмаиа. существенно используется формула полной производной функции к силу системы.
В рамках метода динамического программирования для ФДУ проблема состоит в нахождении конструктивного общего вида уравнения Беллмаиа: в развитых ранее подходах |9. 08. 70, 73, 83, 187, 272| требуется вычисли ть функционал Бс. і імама идолъ допустимых- процессов, т.е. формально необходимо вычислять пип вс і с іву ющпе решения. В настоящей диссертации покачано, что инвариантная ;ик|>фе|мчпііір\емогп. функционалов Беллмаиа позволяет получить конструктивный аналог классического уравнони» Беллмаиа для ФДУ. не гребуюіцміі пахождечшя щчшчпш: обоснован метод динамического щюграммировапля в терминах / гладких функционалов Бел-дмаиа. Исследуется инвариантная дифференцируемость функционалов Веллмана »5 ряде задач оп тимального управления.
Третий круг вопросов, рассмотренных її диссертации, с вязан с исследованием линейно квадратичных задач управления для ФДУ (ЛКЗУ-ФДУ).
Для конечномерных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), линейно-квадратичная теория играет особую роль среди различных подходов к построению стабилизирующих управлений, так как коэффициенты матрицы усиления легко вычисляются па основе решения алгебраического уравнения Рикклти (АУР), и соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.
Однако теория линейно-квадратичных задач для систем с запаздыванием, инициированная статной II. II. К расові кого |77|, и продолженная в работах |70, 258. 259, 233, 187, 188, 193, 197, 48, 238, 266, 268, 230|, не является до сих пор завершенной. Одна из основных проблем состоит в решении специальной системы матричных обобщённы:/' уравнений Риккати (ОУР), представляющей собой систему алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными.
Предложенные в [258, 193, 70, 259, 2С4| приближенные численные методы решения ОУР являются слишком сложными для практической реализации.
11
Поэтому ужо I« норных работах, где были получены ONT |2ô8. 259|. бм.ш понав-лгны дно принципиальные задачи:
Задача А: нахождение яниых щчпениИ ОУР ;
Задача 13: разработка методов исследования стабилизирующих свойств управлений,
(ЧЮТ ВОТИ ВуюЩИХ ЯВНЫМ рсНКЧШИМ OVP.
13 работе |‘2С>6] был разработан алгоритм построении точных решений ОУР при некоторых дополнительных ограничениях на систему и фупкцпонад качества и ЛКЗР-ФДУ. Отличительной особенностью данной работы является введение обобщённого квадратичного критерии качепиа, включающего функциональные пи та-влнющпе и квадратичный функционал качеетна. Такое обобщенш* увеличивает число свободных параметров в системе и, ii])ii соответствующем их выбо)>е. позволяет построить специальную процедуру нахождения явных решений ОУР п построения стабилизирующего управления. Трудности реализации описанного в |20G| подхода смятии с необходимостью нахождения неустойчивых полюсов разомкнутой с истемы н построении специальной вспомогательной системы функций.
В данном разделе диссертации 'также используется обобщённый квадратичный критерий качества. Разработан метод, позволяющий на основе подходящею выбора коэффициентов критерия качепиа. найти явный вид решений ОУР. При этом, для нахождения явного решения полной системы ОУР достаточно ренннь только одно матричное уравнение: либо классическое АУР, либо специальное :пшли'пцшшт.ос личпрпчиог уцнитгиис (ОМУ). Данный подход позволяет решить .1 нахож щ-
НИЯ ЯВНЫХ рСПЮНИП ОУР.
Следуй1 отметить, ЧТО ДЛЯ ФДУ, И ОТЛИЧНО от конечномерных гнием. линейное управление с обра тной связью, построенное на основ«* явных решений ОУР. не всегда является стабилмлнрующим. Поэтому в диссертации иснользусюя подход к шследованию набинпирующих евойети шкя^юспных управлений (ЗиФпл И) па основе исследования свойств фундаментальной матрицы замкнутой системы.
Цель работы состои т в разработке:
1) новою дифференциального исчисления (v гладкого исчислении) нелинейных функционалов, основывающегося на понятии инвариантной п копниарпат ион н рои шодиых;
2) новых подходов и методой в рамках качественной теории функционально-дифференциальных уравнений, основывающихся на использовании аппарата г-гладкого исчисления (функционалов в на концепции разделения конечномерных и бесконечномерных составляющих в структуре функционалов и функционально-дифференциальных уравнений;
3) аналитических методов решения и анализа задач управления и устойчивости ФДУ. Научная новизна. Введено понятие инвариантной (коинвариантной) производной функционалов и развита техника соответствующего дифференциального и интегрального исчисления «функционалов (г-гладкий анализ). Разработан подход к качественной теории (функционально-дифференциальных уравнений, основанный на применении инвариантно дифференцируемых функционалов и г-гладкого анализа. Предложенные и развитые подходы позволяют получить новые розу платы о динамике ФДУ п свойствах используемых функционалов.
Теоретическая и практическая ценность. Предложенный и развитый в дне-
12
сергации подход, основанным на применении инвариан тпо дифференцируемых функционалов, позволяет исследовать ряд принципиальных вопросов качественной тео-рин функционально ‘Дифференциальных уравнений, получить новые результаты и конструктивные <|>ормулы.
Разработанные вдиссертации методы и устное..генные речу.чыты м»пуч гм\ жни» основой для дальнейшего тукчшя динамики и каче.п ценных снопеш фуикцнона п.по дифференциальных уравнений. а глюке использованы при |хчнсц|1н прикладных чадам.
Разработанные методы и алгоритмы реалiионапы и пакете прикладных нршрамм Типе-delay System Toolbox |228|.
Апробация работы. Результаты диссертации доклады нал иен и обсуждались на IV п VII Всесоюзных конференциях по управлению в механических системах (Москва, 1982: Свердловск, 1990); 111 BeeeoioHioii школе "Метод функпиП Ляпунова и его н риложо! mi я "(Иркутск. 1985); VI u VII Всесоюзных конференциях но качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 198G: Рша. 1989); Всесоюзно!! KOiu|>e])eiiiuni но теории н приложениям функционально дпффереицма. п.ных уран-нений (Душанбе. 1987): Между народном соиетеко польском семинаре 11 Ма тг'ма i и чо-ские методы оптимального управления и их нрпложенпя"(М|шск, 1989): Всесоюзном семинаре "Математическое программирование в экстремальных задачах движения" (Таруса, 1990); V Всесоюзной Чстаенекой конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление двнжениоми(Казань, 1991); \ 11 н N III Всееок» ных съездах но теоретической и прикладной механике (Москва, .1991: Пермь, 2001): Междуиа[ю;и1ом семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и синими ?а-10111" (Владивосток, 1991); World Congress on Nonlinear Analysis (I SA. Tampa. 1992): Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations (Hungary. Szeged. 1993); International Conference on Functional Differential Equations and Applications (Moscow, 199*1); I M ACS Symposium on System Analysis and Simulation (Cemiaiiy. Berlin. 1095): CIvSL Winter Workshop (Korea, I long Chou, 1998); International (‘oidejence on Electrical Engineering (Korea, Kyuiig-jn, 1998): Korea Automatic Control С опГепчк е. International Session (Korea. Pusan, 1998): CISL Winter Workshop (Korea, Seoraksan. 1999): International Conference on Differential Equations and Applications (I S.\. Atlanta. 1999): Korea Japan workshop on Predictive Control of Time-dclay Systems (Korea. Seoul. 1999); Fifth International Conference on Nonlinear Functional Analysis and Applications (Korea. Masan, 1999); Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимнзацниДЧелнбинек. 1999); Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально дифференциальные уравнения"(Воронеж, 2000); научных семинарах в Институте математики и механики УрО РАН (Екатеринбург); научных семинарах в Уральском государственном университете им Д.М.Горького (Екатеринбург); научном семинаре кафедры оптимального управления (факультет вычислительной математики и кибернетики) в Московском государственном университете; научных семинарах кафедры кибернетики Московского госуда^твенного института электроники и математики; научных семинарах в Сеульском национальном университете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 32 публикациях, и том числе в 4 монографиях. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором само<тч>ятсип.по.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав н списка
13
литературы. Главы разбиты на параграфы, нумерация тан и пара! рафов и работе сквозная. Нумерация формул и утверждений двойная: первый индекс номер части, второй индекс порядковый номер формулы внутри части. Общин объем работы составляет 250 страниц, библиография содержи ! 275 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
ВВВДВПНЕ содержит историю вопроса, обоснование ак і va.іьінк гп гемы работы и обзор ли і срач у ры.
ГЛАВА І диссертации посвящена конструкциям г гладкого ік чис„тении нелинейных на С[а,Ь] функционалов.
Поучение свойств нелинейных отображений может быть осуществлено на основе локальной аппроксимации нелинейных операторов линейными, на швасмымп и]м>нз-водными нелинейных функционалов. При зтом. в зависимости от типа используемой линейной анищжеимации, могут быть введены различные т ним прон {водных.
Введение понятия инвариантной производной нелинейных функционалов в разработанное соответствующее дифференциальное исчисление позволяют іюлучиї I» НОВЫ!' результаты в теории ФДУ.
В Разделе' I нривед<чю общее определение производной отображения ОДНОГО топологической) векторного пространства в другое и, в качестве примеров, расемот репы производная Фрепю и производная Гато. Раздел 2 посмящсп классификации функционалов па С(н.6]. Описаны основные классы регулярных н сингулярных функционалов, а также приведены примеры специальных функционалов.
В Разделах 3 и I обсуждаются примеры и техника вычисления производных ф.\ акции и функционалов
Г[.):СМ] “» R
вдоль линий. Рассмотрим дифференцируемую функцию у (.г.) : R —» R и г.тад-кую кривую .V = 7 (у), у € R. Производная сложной функции (суперпозиции) w(n) — УІііи))' У € R. может быть вычислена, в соотнегствни с правилом дмф-ференцнронаиня сложной функции, как w(y) = -Фр ?(//)- ('лсдовате. іьно, для
,Х *-7(ТУ)
вычисления производной функции д(х) вдоль кривой 7(у) можно формально под-
. . . . durit)
ставить 7[у) в заранее вычисленную функцию (производную) ——, и умножить
( ■
полученное выражение на 7(*/)-
Вопрос А. Можно ли получить производную функционала Г (0.1) вдоль линии 7 подстановкой у в некоторую a priori вычисленную производную дУ У □
Во многих случаях ответ на этот вопрос положителен. Рассмотрены соответсву-ющие примеры.
В Разделе 5 вводится вводится строгое определение инвариантной щюмзводпой функционала (0.1). На примере показано, что инвариантная прон людная отличатся от производной Фрегие (производной Гато).
Непрерывности функции ф 6 С{а,Ь\ и Ф € Ек[ф] может бі»ггь недостаточно для существования производной функции v<i>(y). Поэтому в данном разделе также вводится
14
попятно нпаоpnauvmoü npon.woOuoii функционала (0.1) а классе функции П\«.Ь). где под В[а,1> ] понимается одно и? пространств достаточно гладких функции. например, С1 \<i. /ф ( ' к\а. Ь\ и'Г.д. Рассмотрены примеры вычисления инвариантных производ-III,ix для различных классов функционалов.
И Разделе б приведены iipar.n.iia и формулы. позволяющие вычисляю имварн-ашпме производные функционалов. Показано, что для iiimapiiam noii производной функционалов < праведливы аналоги основных мранил дифференциально!о нсчнсдо-ния конечномерных функций. U зтом же разделе вводятся понятия инвариантной дифференцируемости и инвариантной непрерывности (функционалов, мнвариап i ные производиьн‘ высших порядков и разложение (.функционала в ряд но инвариантным производным.
)3 Разделе 7 рассмотрен случаи функционалов определенных на (функциях нескольких переменных. Введено понятие частной инвариантной производной п обоснованы соответствующие конструкции.
В Разделе 8 развивается одни из возможных подходов к перенесению понятия
обобщенной проипвоОион на нелинейные функционалы, <и иовынающнпея на кон-
струкциях инвариантной производной. Предложен подход к понятию обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений.
В пунктах 8.1. 8.2 приведены основные конструкции классической теории распределений. в том числе два '»киивалентных определении обобщенной производной: по правилу
{.Г,Ф) = -{1Ф')> Ф€ О. (0.2)
и как предел
(Г.Ф) = \ти'ТяФ) {!'Ф) ■ (04)
у->0 у
где Туф = {Ф{.г - у) , а < < /; }.
В пункте 8.3 описаны основные конструкции обобщенных производных иелинси-ных(функционалов
н: /)(а,1>) -> К. (0,1)
Определение 0.1 (Нелинейный) функционал и1 : О —> II. иахыиакте.я обобщенной производной (нелинейного) функционала (0.4), если для любого Ф € I)
, -<и,ТуФУ - <о,Фу
<и ,фУ = 1нн .
£->(! у
□
Отметим, что для обобщенных функций / € D' обобщенная производная (в смысле Определении 0.1) совпадает, в силу (формулы (0.3), с обобщенной производной в
смысле теории распределений. Показано, что обобщенная производная нелинейного функционала (0.4) может быть определена как С^-ипвариантная производная.
В пункте 8.4 описаны основные свойства обобщенных производных. Вводится пространство SD бесконечно дифференцируемых в обобщенном смысле нелинейных па D(a,b) функционалов, которые называются обобщенными распределениями. Очевидно, D’{a,l) € SD.
15
В остальной части раздела исследуются иопросы сущссі новаппя обобщенных решений нелинейных ди(|х]»еренцпальіи>іх уравнений в проп ране гне SI).
В пункте 8.7 покачано существовании н О базиса по сдвигу аналогичного. н неко-tojwm смысле, линейно независимым базисам в иекториых простри нетвах. 9гоі результат используется в пункте 8.8 для доказательства существовании первообразных для элементов пространства SI). Понятие обобщенного решения нелинейного уравнения введено н пункте 8.9. В пункте 8.10 доказана теорема о ра цмчпимос і и в SD линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В основе доказательства лежит использование операторов сдвиги, что позио.іиоі ( вести нахождічіие обобщенных решений к решении» классических дифференциальных уравнений вдоль сдвигов.
В ГЛАВЕ II излагается теория г гладкого исчисления для общих классов функционалов
r|f, ;!■, //(•)] : R х R" X Q[-T, 0) -> R (0.5)
применяемых в теории ФЛУ.
В Разделах 9 и 10 исследована ci руктура основных классов функционалов вірча (0.5). представляемых в конкретных случаях, как правило, в форме комбинации конечномерных функций, регулярных (интегральных) функционалов и сингулярных функционалов. Описаны основные классы таких функционалов. Введено понятие функционала с г- структуїюй.
В Разделе 11 рассматриваются конструкции г -гладкой» исчисления функционалов (0.5). Если в функционале (0.5) зафиксирована функциональная переменная //(•). то его можно рассматривать как конечномерную функцию переменных / и г. В лом случае будем творить, что функционал (0.5) имеет частную крон зводную ™ по to / и градиент J— но .т. если соответпвующая конечномерная функция и месі сооївет-сгпуюіцне частные производные.
Дня введения поня тия инвариантной проиасюдпой функционала (0.5) но функциональной Ш'ремеппой у( ) определим ряд ВС Н()М01“ТГеЛЫ1ЫХ множеств и функций. Для х € R", у(-) € Q\—t, 0) и в > 0 обозначим через Ер[х, т/(-)| множество всех неирсрын-пых продолжений пары {.с. //(•)} па интервал [0,/J]; Е[х,у()| = [J /Л,[.»% //(•)]• Введем
>*><•
функцию
+ > (>/, яД) = Р[* + 77, я + 2, ?/*(•) |, (0.6)
где ;/ > 0, г Є R\ * Є (0,/ф Уі{-) = {ГК + s),-r < s < 0} Є «[-r,0).
Определение 0.2 Иппврнаптной производной dyV функционала (0.5) о лючке {/., х, £/(•)} называется щнівоаиороиияя часлишя производная функции ^ v(;bz>0 110 £ в нуле, если ота частная производная существует и инвариантна относительно У'(-) € Е[х,у(‘)\; в этом случае dyV[t,xty(-)) = —-1 - □
s ljy=0.?-U.Ç=+0
Пункт 11.2 содержит примеры вычисления инвариантных производных функционалов. В пункте 11.3 вводятся понятия инвариантной непрерывности (г-
непрерывности) и инвариантной дифференцируемости (і-дифференцируемое! и) функционалов.
1G
Отметим, что некоторые функционалы не имеют инвариантных производных па рирывнш: функциях, шитому в пункте і J .4 введено понятие инвариантной ирои> водиой функционала па В[—т. 0], где под 13\ — г. 0] понимается upon painтва более гладких (чем СД-т,()]) функций, например, С(-7,0], <7'j-T,()j, Lipk\-r.0].
R конкретных задачах (например, при вычислении функционала Г [/.ж.//(•)] іідолі» решений) переменные ij и ч к (0.G) имекп олипаконыП *'<|>изичсский"с.\імсл характеризуют сдвиг по времени. По лому во многих случаях удобно считать приращение t и приращение вдоль )*(•) согласованными (т.с. у = £)• 13 лом случае функция (0.G) принимает вид Фу(і/,л) = \ '[/ + //, .г, //.,(•)]> Ч Є [0,,#]. г Є It". Учитывая данный <|>ак'т, в Раздел«* 12 вводится понятие коммпрпаммигй npott-wodnoO футяуюпола и исследуются ее свойства. Для функционала (0.5) вводится понятие коннварнан гной производной в классе В[—т, 0]. и также рассмотрен ряд правил и форму і позволяющих вычислять коинварпнитныо щюизводпые конкретных функционалов не используя определения.
ГЛАВА 111 диссертации посвящена разработке подхода к исследованию качественных свойств фупкцноналыщ-дифференцна.чьных уравнений
:/:(*) = F[t, x(t + s)\, -г < s < 0. (0.7)
на основе концепции разделения конечномерных и бесконечномерных составляющих п структуре' ФДУ и пгпо.іьювания инвариантной производной функционалов.
В Разделе 13 вводи тся (|>азовое пространство II It" х Q\—т. 0), удобное для разделения конечномерных н бесконечномерных составляющих BCIpVKiypC ФДУ. И условно«' представление (условная запись) системы (0.7) в пространстве II
= Ж/;(•)). {!/{■)} € II. (0.8)
где под /(•,•) : R х RM х С^(—г, 0) —> R" понимается оператор F : R х(Д-т.0] —» R" действующий в просі ракетне П х //. Использован не пространства II и условной *а-ІІИСІІ (0.8) ІІОЗІЮЛМСТ рЯЗДСДЯТЬ В структур«? И поведении ФЛУ КОІК'ЧПО- II б«'СК(Л1«'ЧНО-мернме свойства, а также инссти сік гему обозначений, аналогичную используемый в случае ОДУ. Ото дает возможность формулировать результаты таким образом, что при отсу тс твии последействия они переходят, с точностью до обозначении, в соответствующие результаты для ОДУ.
В Разделе 14 обсуждаются вопросы существования и единствен пости решений ФДУ. Доказана новая теорема существования решений ФДУ в иространстнс И. Приведен пример, показывающий, что условия теоремы не могут быть, в общем случае, ослаблены.
В Разделах 15 и IG исследуется гладкость решений ФДУ, так как во многих задачах гладкость решений дифференциальных уравнений имеет принципиальное значенні* (например, при обосновании численных методов, в задачах управления п т.д.). Однако для широких классов ФДУ производные решений имеют разрывы, являющиеся следствием разрывов производных в начальный момент времени. В данных разделах на основе техники і гладкого анализа получены условия гладкости решений ФДУ в начальный момент времени и на всем интервале, основанные на выполнении так называемых "условий склейки". Показано, что для многих классов ФДУ множество функций, удовлетворяющих условиям склейки, является всюду плотным в С[-т,0] п описана процедура построения соответствующих функций. Отсюда, в
17
частности, следует, тга в постановках многих задача можно предполагать, что условия склейки выполняются для (заданной) начальной функции.
И Разделе 17 на основе конструкций инвариантной производной получены конструктивные (|н)рму..п>і для коэффициентов в разложении решений Ф, IN’ в ряд Тейлора. Полученный формулы применены к нахождению порядка аппроксимации численных методов дчи ФДУ. Отметим, что в случае ОДУ порядок ашцюксимации явных методов Руиге Купы определяется на (К:нове разложения точного решения и правой части ОДУ в ряд Тейлора. 15 диссертации с попользованном техники і гладкого анализа показано, что в случае ФДУ порядок аппрокс имации численных методов также может быть найден на основе разложения решения и правой части ФДУ в ряд Тейлора.
13 Разделе 18 показана инвариантная дифференцируемость но начальным данным решений линейных н нелинейных ФДУ.
В Разделе 19 вводится понят не о первых интегралах ФДУ и пест еду кося их свойства. Показано, что первые интегралы ФДУ являются решениями дифференциальных уравнений <• частными и инвариантными производными. Это во многом объясняет связь функционально лнс|хфероші,иалі>іп»іх уравнений с- некоторыми типами дифференциальных уравнений г частными производными. Дня дифференциальных уравнений с сосредоточенными запаздываниями доказана теорема о существовании и числе первых интегралов.
В Разделе 20 рассматривается применение техники / гладкого анализа к исследованию свойств функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа (НФДУ)
x(t) = F[tyx(t,),x(t + s)}x{t 4-s)], -г < s < 0, (0.9)
F : R x Ru x Qj—r,Oj x Q\—r.Oj R". Основное внимание уделено исследованию структуры и свойств реничшй. На основе конструкций г гладкого анализа вводятся понятия н исследуются свойства щммисниЛ в полных Оифмфг.роицпилп'.у и щииттпй с полным ()иффч:рр.1щхиш)М.
13 Разделе 21 введено понятие тщмтори. зтшлдътюшя и дано описание структуры ФДУ в терминах таких оперите>|и>в. Введены понятия нейтрального и сильно нейтрального опера торов запаздывания в терминах свойств инвариантной дифференцируемости этих операторов. Показано, что конкретные ФДУ могут быть, как правило, струк турно описаны и в форме суперпозиции конечномерных функций, операторов запаздывания и нейтральных операторов.
ГЛАВА IV диссертации посвящена исследованию устойчивости ФДУ на основе использования функционалов н функций Ляпунова. Основное изложению ведется в терминах инвпрпапттю-дш/нферащирушых функционалов Ляпунова. Это связано с тем, что:
1) Для класса шшариантио-дифференцируеммх (функционалов выражение для полной производной в с илу системы не требует нахождения (даже (формального) решений ФДУ и может быть уточнено до вида, аналогичного тому, который она имеет в отсутствие. ’Это, с одной стороны, облегчает проверку условий устойчивости ФДУ, с другой - позволяет провести классификацию применяемых функционалов и дать ряд методических рекомендаций но их построению и вычислению полной производной в силу системы.
18
2) Свойство инвариантной ди<|хфоренцируемости является сспчггнсннмм и достаточно просто проверяемым для практически всех функционалов Ляпунова, встречающихся па практике.
(3 данной главе также получен ряд |М!зулматов о применении конечномерных функций Ляпунова при исследовании устойчивости ФДУ.
В Разделе 22 дается постановка чадами устойчивости и приведены основные определения устойчивости, невользуомые в днесе.рзацни: приводи чем ряд. строгих VIBCp-жденпй о соотношении устойчивости относи-телыю начальных возмущений ид различных пространств И, С[—г,0], 1л/>с[-т, 0).
Раздел 23 посвящен методу функционалов Ляпунова для ДФУ. В фазовом пространстве H ~ R" х Q[-t, 0) функционалы Ляпунова представляются в форме
Г[*,. г, //(•)] :Rx Ru х Q[-t, 0) It. (0.10)
Для инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова формула полной производной в силу системы (0.8) может быть уточнена до вида
По.»)!«..'е.//( )] = l^1-) + W. ■*,»(■)] + <Vr|/,f(t,.,;.;,(•))> . (tu I)
t 6 R& {j:,?/(•)} € H. Отметим, что при озеутствии последействия (т.е. //(•) = 0)
формула (0.11) совпадаем с формулой полной производной конечномерной функции в силу ОДУ, та к как в этом случае ДДф, .г. //(-)) н 0. В этом же разде ю игс. (сдуюз-ся свойства ыгшжи гелышй определенное! н функционалов на различных нросгран-стнах.
В пунктах 24.1 и 21.2 в терминах ипвариатио дифференцируемых функционалов Ляпунова (формулируются теоремы об устойчивости п асимптотической устойчивости. 13 пункте 21.3 получены новые теоремы обратимое in (в случае равномерной асимптотической устойчивой н). Обсуждаются различные варианты теорем обращения. связанные с той или иной трактовкой полной производной (функционала Ляпунова в силу системы. Для en ci ом с постоянным запаздыванием дока юна зеорема обращения в терминах инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова. Пункт 24.4 содержит дополнительный материал о структуре функционалов Ляпунова н об устойчивости в интегральной норме.
Раздел 25 посвящен исследованию линейных ФДУ. В пунктах 25.1 - 25.3 приведены вспомогательные результаты об асимптотической устойчивости в терминах собственных чисел и в терминах фундаментальной матрицы системы. В пункте 25.4 исследуются свойства квадратичных функционалов. Показано, что квадратичные функционалы инвариантно дифференцируем и получена конструктивная (формула полная производная в силу системы в терминах коэффициентов функционалов и систем. В этом же пункте получены достаточные условия знакоопределенности квадратичных (функционалов на // и С\—т,0), а также рассмотрены два примера.
Раздел 2G посвящен исследованию устойчивости ФДУ на основе использования конечномерных функций Ляпунова. Подход к исследованию устойчивости ФДУ, основывающийся на использовании функций Ляпунова, был заложен в работах
Н.Н.Красовского п Б.С.Разумихина. По существу данный подход основывается на том факте, что сели функция Ляпунова удовлетворяет некоторым условиям, то
19
это гарантирует монотонності» вдоль решений ФДУ некоторого функционала (по но самой функции!). А -»го. и свою очередь, влечет устойчивость или аенмиготическую УСТОЙЧИВОСТЬ решений. В Рачдеде 20 приведен ряд ТСОреМ об устойчивое ! и II асимптотической устой чи вопи. Новой является теорема 26.3.1. аналогичная теореме Варбаншпл Краговгкої о для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Раздел 27 содержит теоремы о неустойчивости ФДУ в'терминах инвариантно дпф-ферсчщируемых функционалов Ляпунова и функций Ляпунова.
В ГЛАВЕ V обоснован подход к методу динамического программирования и синтезу оптимального управления в системах с последействием, основывающийся на требовании инвариантной дифференцируемости функционала Веллмана. Дли простоты изложении случаи запаздывания в фазовых переменных и в управлении рассматриваются отдельно.
В Раздело 28 даетої постановка задачи оптимального управления на конечном интервале времени системой ФДУ
:/:(/) = + *),«(1))- -г < м < 0. (0.12)
еде / : ГхІІхІГх(Д- г,0) х Р -» R'\ Р Ç Rf облас ть управлення: 1 € 7 = (f0, С R, - множество кусочно-непрерывных (функций м(*) : (£,t?) U (£ Є J ). В качес тве (разового пространства системы (0.12) рассматривается // — R" х Qj—т. 0), и вводится условная запись
= ДМ’, //(•),«), h = {т, ](/(•)} € И . (0.13)
Определяется множество D допустимых пар функций (процессов) — (•' (•). «(•))• ,,а
г)
которых рассматривается функционал качества J\z\ = ФД^] + J Е[/. .r<, u{l)]dl. Для
поставленной задачи оптимального управления функционалом Рс.члиапа является И>| = inl { : 3 € D[/>]}, /; € Г X Н .
В Разделе 20 показано, что в случае управляемых систем с ти ісдеіігівпе.м соответствующие конструкции уравнение динамического программпроваиия (уравнение Веллмана) представляют собой некоторые дифференты. іьнью соотношения в частных и инвариантных производных, которым удовлетворяет функционал Веллмана
'"’И-- —г.!/(•)]+
(0.14)
+ ( Vir[^,x,y(-)]J«,^î/(0.w) ) + Щр*•■,!/(•),«]} = 0.
В случае ОДУ требование дифференцируемости функции Веллмана является весьма жестким, поэтому метод динамического программирования дает только достаточные условия оптимальности. Аналогично, для систем с последействием требование инвариантной дифференцируемости функционала Веллмана позволяет сформулировать условия оптимальности, имеющие 'только достаточный характер. Отметим. что полученное уравнение Веллмана имеет локальный характер и при окут-ствии последействия (в этом случае' 0ÿV = 0) совпадает с уравнением Ее. і. імама для
ОДУ.
21)
И Разделе 30 покачана инвариантная дифференцируемость «функционала Веллмана влинсйно-квадратичпой задаче управления на ограниченном интервале времени. При этом из нольчуется обобщенный квадратичный (функционал качества п получены условия нахождения коэффициентов (квадратичного) (функционала Веллмана в явном виде.
В Разделе 31 исследована инвариантная дифференцируемое и> (функционала Веллмана в задаче максимизации уклонения линейной системы (с переменными коэффициентами и носгояннмм запаздыванием) оч ограниченною, выпуклого и замкну юго множества. Покачано, что в зависимости оч гладкости коэффициентов системы и гладкости начальной (функции функционал Веллмана поста клеи ной чадами инвариантно дифференцируем на различных подпространствах из //.
В Ридделе 32 построены пнварпапшо дифференцируемый функционал Веллмана и синтез оптимального управлении н одной нелинейном системе второго порядка.
В Рачделе 33 рассма чрнвпючея управляемые системы, особенностью которых является запаздывание в управлении
■*{*) = *'(*)■ Ч* - А)),
где re е R" - фазовый вектор, /. € Т = м. € Р С Rr управление. А €
(О, гУ - ^о) - положительная константа, / : Т х R'1 х Р х Р —> R.
В пункте 33.1 дастся постановка рассматриваемой чадами оптимального управления. Поскольку в системе пет ыпачдываиия в фа юных переменных, то ее (фазойим пространством будет конечномерное иросчрапггво R”. В камеегне (функционального пространства управлений раесмагриваеччи Л,, — I* х Qp[— А.0). соек bi шее и« пар и = {м,//-■{•)}, где Q,,\-AA)) пространство /-мерных (функций //’(•) : [—A. U) —» 1\ непрерывных всюду на [—А,0), исключая конечное число точек разрыва первого рода, в которых они непрерывны (нрава (в, пуле (функции имею» конечный м вый предел).
Вводится множес тво !)[р] допустимых па]) г = ( т(-),//(•)) п критерии качества
i)
J[z] = / С»(/,./:(/), ?((/))/// -{- Ф[фУ)} . Функционал Веллмана определяется как 11"(/#] ~
е
inf {J[z\ : € D[p\\, р = <£,.г,«•(•)) € Г х R" х Q}>\-A,i)).
В пункте 33.2 вводится ряд дополни тельных конструкций, связанных с понятием инвариантной диффс|хч|цирусм<х:)41 функционалов по упранляющнм параметрам.
В пункте 33.3 дня систем с запаздыванием в упрагзлении получены соотношения динамического программирования в терминах инвариантно дифференцируемых (но управлению) функционалов. В этом случае уравнение Веллмана имеет вид
min { — —' + ( х, w( )l f(t,x, и, w(-t)) )
«б/’ [ (ff
(0.15)
+ йДГф,;!:; w, w(-)) + (?(/., :г,м)} = 0.
В случае систем с запаздыванием и фазовых переменных уравнение Беллмаиа позволяет строить синтез оптимального уиравленм, аналогичный результат справедлив и для систем с запаздыванием но управлению.
21
В пункте* 33.1 покачана ііпнаріїаїтіая диффещчщпруемоп ь <|>уігкциопа іа Велл-мана в задаче минимизации квадратичного функционала на траекториях линейной системы с запаздыванием и управлении.
В пункте 33.5 иск ‘.троен функционал Веллмана и исследована его инвариантная дифференцируемость в задаче оптимального быстродействия д ія системы
МО = *(*),
1 Ь2(0 = «(/ - А) ■
(область управлення Iу = [—1, I ). Показано, что функционал Беллмана инвариантно дифференцируем вс юду, исключая (как п в случае ОДУ) некоторые і ииорповерх-ности и "множечтво исуііраиляемсктііи(состоящое из позиций, из которых система переходит в начало координат только за счет предыстории управления). Погтроени синтез оптимального управления.
ГЛАВА VI диссертации посвящена развитию функционального подхода к исследованию и решению задач стабилизации систем с последействием.
В Разделе 3-І дастся общая постановка задачи оптимальной стабилизации- в терминах инвариантно дифференцируемых функционалов дастся теорема об от имя н.пой стабилизации нелинейных ФДУ.
В пункте 35.1 рассматривается задача, состоящая в построении линейного управления
о
Ф:, !/(*)) = С л: + У Г){л) у(а) <Ы, (0.17)
— т
слабили НІрующего лннемную систему ФДУ
о
X — /1 -Г -I- Лт у/(—г) -1- У С{к)ц{ь)(1.Ч + В а. (0.18)
— г
Для нахождения пнрамет|юн стабилизирующего управления (0.17) рассматриваемся вспомогательная задача минимизации обобщенного квадратичного функционала качества
со 0 0
3 - У |а;'(г)Фо .?;(£) + 2 ;?;'(<) ^ Ф,(.?) х(1 + з) Зя + ^ х'{1 + я) Фа (л) х(і + *) йя
о
о о
+
-г —г
о и
У Jх'(і + 4?) ФДх, і/) ж(/ + 1/)<Ы<1и + х'(1 - т) Ф.| х{1 - г) 4- н'(/) -V уг{/.)| <1( (0.19)
на траекториях замкнутой системы.
Следует особо отметить, что структура (функционала качества и выбор его коэффициентов не являются фиксированными и могут, вообще говоря, выбираться с определенным произволом, гак как основная задача состоит но в минимизации конкретного функционала, а в построении стабилизирующего управления.
22
В пункте 35.2 на ос ионе необходимых условий оптимальности и с использованием техники «-гладкого анализа дан полный вывод так называемой системы обобщенных ідтпитий Риккшпи (ОУР), соответствующей линейно-квадратичной задаче для
ФДУ.
В Разделе 30 получены дна варианта явных решений ОУ1\ основывающиеся на подходящем выборе? матриц Фг>. Ф|, Ф*, Ф.ч и Ф> в ’ и* качества (0.10).
В Разделе 37 приведена структура и исследуются стнОи.шзнруюнше свойства управления с обратной сия зыо. соответствующет явным решениям ОУР.
В Разделе 33 на основе разработанной) подхода построены стабилизирующие управлення дня линейных систем 2-го порядка, системы 3-го порядка (модель аэродинамической трубы) н системы 1-го порядка (модели сгорания топлива м жидкостном ракетном двигателе).
О сно в 11 ы е обозначеіі и я
Прежде всего отметим, что
1) как правило, мы опускаем аргументы функции, например, мы будем писать /' : R х R" —> R или щюсто /: однако, если необходимо явно отметить зависимо«-! ь функции от некоторых переменных, тогда мы пишем /(/..г) : R х R" -•> R (иди просто /(/..с));
2) функции, являющиеся элементами функциональных пространств ((^| г, 0). С[-т,0]. (t>[-r,0) и т.д.). будем обозначат!, </(•), //(•), чтобы отличать от вск-тиров (/, и € R".
В данном параграфе приведены основные пространства, используемые в диссертации- Основное конечномерное, пространство:
R” - евклидово пространство п мерных векторов х = (т, г „У (штрих ' обозначает трннсиопщювапмо вектора или матрицы). Скалярное произведение векторов .т, у <Е R" определяется по правилу ./;•// = .Г| у| + ... 4*хп //„ , норма век тора задается формулой ||:с|| = у/х • х ;
R = R1 .
В Первой главе рассматриваются функции, определенные на произвольном конечном интервале [а, 6): 3
С[а,6) - пространство непрерывных функций ф(-) : \a,b\ —> R с нормой ||0(*)1к; =
шах ||^(г)||;
а<х<Ь
Ск[а, /;) - щюетрапство А:-раз непрерывно дифференцируемых функции Ф(-) : [а, Ь] —>
Я;______________________________________________
3Элемеиг1,1 функциональных пространств будем называть "элемент”, "точка”, "функция".
23
12027237