СОДЕРЖАНИЕ
Введение ........................................................3
Глава I. Предклассические ортогональные многочлены..............19
§1. Дифференциально-возвратные уравнения
для ортогональных многочленов...........................19
§2. Многочлены, ортогональные на полуоси / х\
по весу Х° (1 + у) .....................................26
§3. Многочлены, ортогональные на (-оо, +оо)
/ х2\~0
по весу ( 1 + — 1 35
§4. Максимизация некоторых определителей, встречающихся
в теории планирования эксперимента......................44
Глава II. Многочлены и дробно-рациональные функции,
ортогональные па полуоси по симметричному весу..............50
§ 1. Симметричная на полуоси весовая функция................50
§ 2. Многочлены, ортогональные на полуоси
по симметричному весу...................................54
§ 3. Ортогональные на полуоси по симметрнчпому весу
дробно-рациональные функции.............................56
§4. Ортогональные на полуоси симметричные
дробно-рациональпые функции.............................69
§ 5. Свойства нулей ортогональных на полуоси симметричных
дробно-рациональных функций.............................82
Литература......................................................93
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
Ортогональные многочлены применяются в теории интерполирования [9, 22, 25] и квадратурных формул [18, 22], при решении задач математической физики и квантовой механики [28, 31], в теории планирования эксперимента [14, 26], в теории антенн, в проекционных методах решения дифференциальных уравнений и в других вопросах.
Начиная с работы Лежандра (1785 г.) о притяжении сфероидов и форме планет и работы К. Гаусса о механических квадратурах (1813 г.), в которых появились первые ортогональные многочлены (многочлены Лежандра), ортогональным многочленам посвящены сотпи работ. Такой огромный интерес к теории ортогональных многочленов объясняется простотой и широкими возможностями их применения как в самой математике, так и в других науках.
Теории ортогональных многочленов посвящены монографии [27, 28], обзорные статьи [8, 29] и отдельные главы монографий [18, 22].
Источниками получения ортогональных многочленов являются решение задач квантовой механики [23, 28], непрерывных и дискретных граничных задач [1], решение экстремальных задач, а также непрерывные дроби [12], аппроксимации Паде [3], теория представлений групп
м.
В нерпой главе статьи [20] приведены результаты о дифференциальных уравнениях четвертого, шестого и восьмого порядков для ортогональных многочленов, определяемых весовыми функциями, которые содержат функцию <5(ж). В [13] показано, что многочлены, ортогональные на (0, +оо) но весу И(х) — хае~х + Лг6(х), удовлетворяют дифференциальному уравнению
ОО
N ^ а^\х)у^ - ху" - (1 + а - х)у' - пу = 0,
п=0
4
где а ^ О, N ^ О, а коэффициенты а*(я) определяются некоторыми рекуррентными соотношениями.
В зависимости от весовой функции ортогональные многочлены являются решениями дифференциальпых уравнений или дифференциальновозвратных уравнений.
В настоящей диссертации введены в рассмотрение весовые функции, ортогональные многочлены, родственные с классическими, и системы ортогональных дробно -рациональных функций.
В первой главе мы вводим в рассмотрение две конечные системы многочленов:
1) {Ln(x;£,ü,/?)}™_0 —система многочленов, ортогональных на по-
(X \
1 + -) при а > -1, ß > 0, t > 0, 2m ^ \ß-a-1);
2) {//Т,(х;£,/3)}™_0 — система многочленов, ортогональных по всей
( х2\~0
оси по весу ( 1 Н J при ß > О, t > 0, 2m ^ [2ß - 1]. Многочлены
этих систем обладают свойствами, аналогичными свойствам классических ортогопапьпьтх многочленов, а также
lim Ln{x-tt,a,t) = Ln(x;ö), lim Hn{x\ t, t) = Hn(x)}
f—>-f*oo I—*+oo
где L„(x;q) и Ип(х) —соответственно многочлены Чебышева-JTareppa и Чсбышсва-Эрмита. Поэтому они названы прсдклассичсскими ортогональными многочленами.
Для широкого семейства ортогональных многочленов, в том числе и для многочленов Якоби, В. П. Коноплев [15, 16] нолучил дифференциально -возвратное уравнение. Мы в § 1 показываем, что имеет место дифференциально-возвратное уравнение, решениями которого являются многочлены, рассмотренные В. П. Коноплевым, а также все классические и предклассические многочлены. При этом упрощены условия и доказательство теоремы В. Г1. Коноплева.
Пусть А(х) — многочлен степени </+ 1, В(х) — неотрицательный на (а, 6) многочлен степени ^ р+2, a h(x) — неотрицательная на (а, 6) функция, удовлетворяющие условиям
- 5 -
а) существуют степенные моменты
ь
hu = J xvh{x)dx} і/= 0,1,..., Л/”;
h(x) В{х) ’
с} lim /і(х)і?(х) = lim h(x)D(x) = 0.
я-fa+O г->6-0
Для ортогональных на (а>Ь) по весу Л(х) многочленов системы (Рщ(а;)}те=о пРи 2n ^ N имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если h(x) удовлетворяет условиям а)-с), то существует такой многочлен С(х;п) степени г = тах{р, q} и такие коэффициенты oi,a2,...,Ог, что ортогональный многочлен Рп(х) удовлетворяет дифференциально-возвратному уравнению
Г
В(х)ҐДх) + (А(х) + В'{х))Р'п(х) - С(х\п)Р„(х) = £акРп-ф).
* = 1
Этому уравнению удовлетворяют классические и предклассические ортогональные многочлены при г = 0 и соответствующих /1(я) и В(х), определяющих весовую функцию h(x).
При изучении свойств предкласспческих ортогональных многочленов мы воспользовались следующей теоремой и ее следствием.
Теорема 2. Если h(x) па (а, 6) удовлетворяет уравнению Пирсона
h'(x) Л(ж) ... . о
И{х) = ~Щх) ’ (Х) ==Ро+ РіХ’ (Х) " Я0 + Я1Х + Ч2Х
и предельным соотношениям
lim /і(яШ*+1(:с) = lim h(x)B*+1(x) = О,
x->a-f 0 x->6-0
то ортогональный на (а, 6) по весу Ba(x)h(x) многочлен U = Qm (я) степени m удовлетворяет дифференциальному уравнению
B(x)U" + (А(х) + (в + 1 )B'{x))U' = 7 „.11, (1)
где 7та* = m((m + 2s+ 1 )q2 + Pi).
6
Следствие. Если {Pn(æ)}™=0 —система, ортогональных па (а, 6) по весу h(x) многочленов, то система (Р^^х)}™-,, ортогональна на (a.b) по весу B9(x)h(x).
Основные результаты §2, полученные дня предклассичееких многочленов Ln(x;t,a,0) (n = 0,1,...,m), сформулированы в виде следующей теоремы.
Теорема 3. Если о > -1, £>0, 0 > 0 и 2m ^ N(a,0) = \0 - a — 1], то
1) существует система {Ln(x;t,многочленов, ортогопаль-
( X \
ных на (0,+оо) по весу ха ^1 + -J ;
2) многочлен у = Ln(x] t, et, fi) удовлетворяет дифференциальному уравнению
х (і + -) у" + (<* +1 + {ос -.3 + 2) у' - j(n + а - /3 + 1)у = 0;
3) для стандартизованного многочлена Ln(x;t,a,0) имеет место формула Родрига
М*; «.-.Я = (і + \ У (>" (і + ?)-') ;
4)многочлен Ln(x;t,a, 0) выражается через гппергеометрнческую функцию:
Ln(x;t,a,0) = { j- Q --2п.- (o-fl)nP (-n, n-0+a+ 1,а + 1;~ n!(n - p + а + l)n \ £
5) имеет место интегральное представление
(l + T
Ln(x;t,Q,0) = J e " 1Ln(xz;a)dzt
о
где Ln(x\о) —многоч.чен Чебышева-Лагерра;
6) имеет место трехчленное рекуррентное соотношение и формула Кристоффеля-Дарбу.
Следует отметить, что в 1)-4) и 6) можно перейти к пределу при 0 = £ —► +оо. В результате получим соответствующие результаты для многочленов Чебышева-Лагерра.
7
Систему многочленов, ортогональных на (—оо,+оо) по весу к(х) =
Основные результаты сформулированы в виде следующей теоремы.
Теорема 4. Если <>0, /?>0 и2т = N(0) = [2(3- 1], го
1) существует система многочленов {Нп{х\ і,(3)}™=0, ортогональных
2) многочлен у = Нп(х\ <, /3) удовлетворяет дифференциальному уравнению
3) для стандартизованного многочлена Нп{х\£,/?) имеет место формула Родрига
4)многочлен Нп(х\Ь,$) выражается через гипергеометрическую функцию:
где Нп(х) — многочлен Чебышева- Эрм та;
6) имеет место трехчленное рекуррентное соотношение и формула Кристоффеля-Да\рбу.
Переход к пределу в //„(х; 1,8), а также в 1)-4) и 6) из теоремы 3 при /? = /.->+ оо приводит к многочленам Нп(х) Чебьппева-Эрмита и соответствующим их свойствам.
(і + у) у« + 2(1 - 0)|у' - 2(п - 20 + 1)у = 0;
5) имеет место интегральное представление
о
- Київ+380960830922