ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 4
Глава 1. Приведенная логарифмическая площадь и теоремы искажения в некоторых классах р-листных функций
§1. Неравенство площадей для коэффициентов
функций класса 9ЛР)а.(Я. 0,оо) 8
§2. Обобщение на классы 9Лр^(Я,0?оо) теорем о вращении и о произведении конформных радиусов 28
§3. Связь классов ЗЛр^Я, 0, оо) с классами С* к(Я, аьа2) 37
§4. Теорема искажения в классах С* к(В, а2) 43
§5. Оценки искажения и вращения в классах р-лмстных ^-квазиконформных функций 52
2
§6. Об искажении в классах квазиконформных функций, обобщающих класс Грунского
61
Глава 2. Приложения метода площадей к некоторым классам однолистных функций и оценки кривизны линий уровня
§7. Теоремы площадей и классические оценки кривизны линий уровня в классах однолистных функций 63
§8. Аналоги коэффициентного неравенства Альфорса^
для однолистных функций классов и 5^(оо) 67
§9. Оценки коэффициентов однолистных функций, зависящие
от радиусов их кругов покрытия. Теоремы покрытия
в классах 5*(оо) и 5’[2\оо) 75
/ \
§10. Оценки кривизны линий уровня в классах 89
Приложение. Численное исследование геометрических образов,
связанных с п-телами коэффициентов однолистных
функций и теоремами покрытия 95
Заключение 104
Список литературы 107
3
ВВЕДЕНИЕ
В геометрической теории функций комплексного переменного одно из центральных мест занимают вопросы, связанные с решением различных экстремальных задач. Восходящий к Б. Риману вариационный принцип Дирихле, носивший первоначально эвристический характер, впоследствии был строго обоснован Д. Гильбертом и Л. Пуанкаре и утвердился во многих других разделах математики. Широкое внимание привлекли две проблемы Л. Бибербаха [28,29], касающиеся точных оценок модулей тейлоровских коэффициентов ап однолистных в единичном круге А функций /, нормированных условиями /(0) = /'(0) -1 = 0 (класс 5), и изучения структуры п-тел коэффициентов 1>п(5), п ^ 3.
Проблема модулей алгебраических кривых, также восходящая к Риману, и связанная с ней задача Греча-Тейхмюллера о минимизации коэффициента квазиконформности К{{) в гомотопических классах сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов / римановых поверхностей стали истоком глубокой теории пространств Тейхмюллера. Указанные ключевые проблемы в XX столетии стимулировали развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования (Т. Гронуолл, Г. Фабер, Г. Грунский, И. А. Лебедев, И. М. Милин, Л. Л. Громова [7,8,27,46,47]); вариаций (М. А. Лаврентьев, Г. М. Голузин, М. Шиффер, П. П. Белинский, С. Л. Крушкаль [3,4,6,14,15,19,21]); модулей и экстремальных длин (Г. Греч, О. Тейхмюллер, Л. Альфорс, Дж. Дженкинс, В. А. Зорич, П. М. Тамразов, Г. В. Кузьмина [2,4,24,25,26]); параметрических продолжений и оптимального управления (Ч. Левнер,
4
11. II. Куфарев, И. А. Александров, В. Я. Гутлянский, В. И. Попов, Д. В. Прохоров [1,37]); симметризаций (Д. Пойа, И. 11. Митюк, В. Н. Дубинин, А. Ю. Солынин [9,10,11,41]).
Весомый вклад в геометрическую теорию функций внесли также Л. Берс, И. Н. Векуа, Ю. Г. Решетник, Г. Д. Суворов, Л. И. Волковыский, В. М. Миклюков, В. В. Горяйнов, В. И. Рязанов, А. Ю. Васильев, В. В. Старков [12,48]. Крупным достижением явилось доказательство Л. де Бранжсм [33] в 1984 г. гипотезы Бибербаха о справедливости на классе 5 точных коэффициентных неравенств |ап| ^ тг для всех п ^ 2. Этому предшествовали глубокие исследования проблемы другими авторами. В. Г. Шеретовым [16,30] был обоснован вариант метода площадей для классов однолистных и р-листных функций с /г-квазиконформными продолжениями с использованием метрик, порождаемых аналитическими квадратичными дифференциалами на разветвленных накрывающих сферы Римана. К полученным на этом пути результатам относится решение второй проблемы коэффициентов Бибербаха (1916 г.), заключающейся в точном описании структуры п-тел тейлоровских коэффициентов
£>„(£) = {(<*2, аз,... ,а„) 6 С"-1 : а, = /М(0)/«/!, V = 2..», / € 5} ,
где 5- известный класс голоморфных и однолистных в единичном круге А = {г : \г\ < 1} функций /(-г), нормированных условиями /(0) = /'(0) — 1 = 0? тг - произвольное натуральное число, п ^ 2.
Критерий принадлежности точки (а2, аз,..., ап) телу Вп(3) при произвольном фиксированном гг, п > 2, в форме счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеризующей область коэффициентов £>00(6'), был получен В. Г. Шеретовым [16]. Это открыло путь для приближенного численного построения п-тел, точность которого зависит только от числа используемых неравенств указанной счетной системы.
В более широком плане развитие методов комплексного анализа актуально в свете их современных применений в алгебраической геометрии и
5
теории чисел, теории многообразий малых размерностей, математической и теоретической физике. Как известно, римановы поверхности, пространства Тейхмюллера и гармонические отображения нашли глубокие приложения в теории струн и солитонов, сыграли ключевую роль при решении проблемы Ферма. Традиционными потребителями идей и методов, рожденных в комплексном анализе, остаются механика твердого тела и гидродинамика.
Замечательные успехи геометрической теории функций открыли новые возможности для исследования нерешенных еще задач.
Целью диссертации является систематическое изложение ряда взаимосвязанных вопросов, касающихся применений двух вариантов метода площадей к решению новых экстремальных задач на классах однолистных и р-листных аналитических функций, допускающих /с-квазиконформные продолжения на сферу Римана или ее разветвленные накрывающие.
Методика исследования заключается в адаптации метода приведенных площадей и указанного выше варианта метода площадей, развитого В. Г. Шеретовым, к задачам о неналегающих парах областей, об оценках коэффициентов и теоремах искажения и покрытия. Параллельно используются принцип Дирихле для комплексных гармонических отображений, ряды Пюизе, квазиконформные продолжения и отражения, аналитические квадратичные дифференциалы на римановых поверхностях и порождаемые ими особые римановы метрики, зависящие от нескольких комплексных параметров. При выводе оценок кривизны линий уровня в классах Е^ использованы результаты В. В. Черникова [40j, Р. Кюнау [20], В. Я. Гутлянского и В. А. Щепетева [37,44]. Для построения геометрических образов, относящихся к изучаемым классам отображений, использован пакет аналитических вычислений Maple V.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все полученные в диссертации результаты, за исключением материала § 7, носящего подготовительный характер, являются новыми и обоснованы строгими математическими доказательствами. Объекты исследования - классы
6
однолистных и р-листных аналитических функций с квазиконформным продолжением и нормировками точечного типа, отображающих канонические области (круги, круговые кольца, всю риманову сферу) на подобные канонические области либо на подходящие р-листные их накрывающие. Основные результаты касаются получения теорем типа искажения, вращения и покрытия, точных либо асимптотически точных оценок начальных тейлоровских (лорановских) коэффициентов для разложений отображающих функций в окрестности начала координат или бесконечно удаленной точки, а также оценок кривизны линий уровня в классах отображений с р-кратной круговой симметрией.
Указанные оценки зависят от радиусов кругов покрытия элементов либо от таких параметров изучаемых классов как коэффициент квазиконформности, число листов римановой поверхности образа и порядок группы симметрии.
Во всех случаях выполняется принцип соответствия: надлежащие специализации доказанных теорем дают известные результаты других авторов, касающиеся однолистных и р-листных функций.
Работа в целом носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть востребованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные и квазиконформные отображения.
На заключительном этапе диссертационные исследования поддержаны грантом РФФИ (проект 01.01.00112).
7
ГЛАВА 1. ПРИВЕДЕННАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПЛОЩАДЬ И ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ Р-ЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
§1. Неравенство площадей для коэффициентов функций класса *ШР1*(Я, 0, оо)
В работе [35] рассматривается класс 9Лр(0,ос) нар р-листных и ме-роморфных функций, заданных в единичном круге А = {г : \г\ < 1}, имеющих в этом круге разложения
Р1=Ьр)г> + Ь™1Х*+1 + ...,
^ = ^>-р + ^+12-р+1 + ...
(1.0)
и удовлетворяющих условию неналегания образов /^(А^/^Д) = 0. С помощью метода площадей в [35,36] для функций класса 9Лр(0,оо) доказано неравенство
оо
1/=1
2 2 Ь(2)
1 I/ + а(2) и ^ 2р1п -р 6(1) ир
(1.1)
(1) (2) » , где и — коэффициенты разложении
1п А(*) = У' а{1)ги 1п ;^(фР = У' а(2)2^
2-г * ’ а(2) 2 •
|/=1
Следствием этого неравенства является оценка
(1.2)
8
со знаком равенства только для функций
*!(*) = //Л”, Р2{г) = це{*г~р, /х > 0, б,у>€К.
В [35] рассматривается также класс Ср(а1,а2)> содержащий пары р-листных, регулярных в А функций с разложениями
/1(2) = ах +
и=р
оо
/2(2) = а2 + ^2 а?)г\
и=р
удовлетворяющих условию Угиг2 £ А /\(гх) ф г}3/2(г2), г)8 = е2#1, .9 € М. В этой же работе устанавливается связь между классами 9Лр(0,оо) и Ср(а,1, а2), с помощью неравенства площадей (1.1) доказывается ряд оценок коэффициентов функций класса Ср(ах,а2).
Обобщая определения вышеописанных классов, будем рассматривать классы С* к(Я,а,1Уа2) и 9ЛР 0,оо). Класс Ш1р>*(Р,0,оо) образован парами (/'ь.Рг) р-листных в круге А функций Рх, р2, таких, что
1) существует р-листное ^-квазиконформное отображение 6' сферы Ри-мана С на ее р-листную разветвленную накрывающую со свойством Р1 = С|д, Р2 = (5|д, где (5(г) = 0(1/г) для любого 2 £ С;
2) функции Р„, ^ = 1,2, аналитичны в круге Ад = {2 : |г| < Я}, О < Я < 1, и имеют там разложения
Очевидно, что Р2 и Р2 /г-квазиконформны в кольце А\А/е = {г : Я ^ \г\ < 1} и отображают А на взаимно неналегающие области Рх(А), Р2(А), расположенные на римановой поверхности 6*(С).
9
- Київ+380960830922