Асимптотики по времени и по гладкости решений линеаризованных задач гидродинамики

Диссертационная работа посвящена изучению качественных свойств решений ряда начальных и начально-краевых задач описывающих малые колебания жидкостей. Под качественными свойствами решений понимаются точные асимптотические представления решений при / —> со, изучение гладкости решений, а также, в некоторых случаях, изучению динамики разрывов решений, порожденных негладкими начальными условиями. Основными моделями, подлежащими изучению, являются линейные системы уравнений, описывающие стабилизацию вязких жидкостей. Рассматриваются сжимаемые вращающиеся жидкости, а также экспоненциально стратифицированные жидкости. Первыми и фундаментальными работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы СJI. Соболева [11,|2| уравнения движения вращающейся жидкости отличаются от известных уравнений Навье-Стокса наличием слагаемого [м,й>], равного векторному произведению вектора скорости П на вектор угловой скорости вращения (о и учитывающего эффект вращения системы координат (см. [3]). Учет этого слагаемого оказывается особенно важным, когда движение носит глобальный характер, как эго имеет место, например, в динамике атмосферы и океана.
В работах С.Л. Соболева исследовалось движение идеальной (невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. Наибольший интерес при качественном исследовании системы С.Л. Соболева представляет вопрос об асимптотическом поведении при /->оо этого решения. В работах P.A. Александряна [4] Т.Н. Зеленяка [5], В.Н. Масленниковой [6], В.Н. Масленниковой и М.Е. Боговского [7),[8], В.П. Маслова [9], В.Г. Лежнева [10] исследовалась асимптотика при /->оо решений различных задач хэя уравнения Соболева
<'2 \ ^ п
— :\и + (о —-уц=0. которое при определенных условиях эквивалентно
системе Соболева, как в ограниченных, так и в неограниченных областях. Наряду с идеальной жидкостью В.Н. Масленникова с учениками рассматривали
J
вязкие жидкости |111“[ 13], а также сжимаемые жидкости с нулевой вязкостью 114).
Подробное освещение результатов по математической теории вращающейся жидкости можно найти в обзорных статьях [ 15|-( 17|.
Наряду с асимптотическими оценками при /-> со решений задач для линеаризованных систем уравнений движения вращающейся жидкости в работах С.В. Успенского и Г.В. Демиденко устанавливались опенки норм решений в различных пространствах С.Л. Соболева. Рассматриватись различные краевые задачи для уравнения Соболева, уравнения внутренних волн, уравнения гравитационно-гироскопических волн, уравнения волн Россби, уравнения Ьуссинеска и др. Авторы объединяют подобные задачи в класс так называемых уравнений Соболевского типа, или уравнений, не разрешенных относительно старших производных. Изучаются асимптотические свойства при / —> оо решений краевых задач в цилиндрических областях. Исследование основано на предложенном С.В. Успенским методе, основанном на доказательстве теорем вложений для функциональных пространств Соболева-Винера. Изучение краевых задач основано на построении последовательностей приближенных решений с последующей их оценкой в 1.р- нормах. Подробная
библиография и изложение результатов содержится в монографии [18].
В настоящее время в связи с проблемами океанологии, физики атмосферы, а также проблемами охраны окружающей среды, возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Особенно активно изучались качественные свойства решений задач
д2 •> д2 д2
для уравнения внутренних волн —TAu+N A'w = 0, (Д =—г--г...+—г;
дг1 dxl ôx;,
д1 д2
А' =—Г- + ... + —^—) (см. [19|-[22]). Из большого числа работ, посвященных
ârf с9дг-_,
изучению начальных и начазьно-краевых задач для уравнения внутренних волн, укажем здесь работы М.И. Вишика [23], С.А. Гальперна [24]. VI.И.
4
Лайтхилла [25], P.E. Шовальтера [26], Т.Н. Зеленяка и В.П. Михайлова [27], Г.В. Демиденко [281, С.В. Успенского и Г.В. Демиденко [29], [30]. Волыпос количество результатов по теории невязкой стратифицированной жидкости содержится в работах С.А. Габова, А.Г. Свешникова. Результаты исследований обобщены в монографиях [31 ],[32].
Дальнейшим развитием уравнения внутренних волн является
д д
учитывающее вязкость среды уравнение —( vA)y/+N А'у/= 0.
dt et
относительно функции тока у/ ( v -коэффициент вязкости), эквивалентное в некотором смысле системе уравнений, рассмотренной в 4 и 5 главах диссертации. Задача Коши для уравнения такого вида исследовалась в работах С.А. Габова и Г.О. Малышевой [33], С.А. Габова, Г.О. Малышевой, А.Г. Свешникова [34]. Особый интерес при этом представляют задачи с разрывными начальными условиями, что объясняется традиционным интересом теории сгратифицированных жидкостей к явлению растекания однородною пятна одной жидкости в другой (коллапс пятна интрузии). Задача представляет математический интерес, поскольку в этом случае, вообще говоря, отсутствует классическое решение.
Методика изучения стабилизации решений краевых задач для параболических уравнений, развитая в работах В.П. Михайлова. А.К. Гущина. Ф.Х. Мукминова [35]-[37], была применена Ф.Х. Мукминовым в работе [38] для изучения свойств решения первой смешанной задачи для системы нестационарных уравнений Навье-Стокса (без учета вращения среды). В этой
работе получена равномерная оценка убывания решения со скоростью Доказательство основано на опенке типа опенки Нэша ([39]) для решения задачи. В своей работе Ф.Х. Мукминов указывает, что система уравнений динамики вращающейся жидкости сильно отличается от изученной им. Оценки убывания решения задачи динамики невращающейся вязкой жидкости изучались также В. А. Солонниковым [40]. Отметим результаты по
5
стабилизации решений задач Коши для параболических уравнений, содержащиеся в работах Ф.О. Порпера и В.Д- Репникова [41]-[42].
Основным отличием задач, рассмотренных в диссертационной работе, по сравнению с работами [35]-|42] является неоднородность символа дифференциального оператора, обусловленная наличием кориолисовых членов, или стратификацией среды. В отличие от работ [11-[24], нами рассматриваются вращающиеся сжимаемые вязкие жидкости и экспоненциально стратифицированные вязкие (а также, в главе 6, сжимаемые) жидкости.
В работе впервые строятся точные асимптотики по времени / -> со решений ряда линеаризованных систем уравнений гидродинамики, не обладающих свойствами однородности (или квазиоднородности). Построение асимптотик основано на изучении весьма тонких асимптотических свойств корней соответствующих характеристических многочленов, рассматриваемых, как неявно заданные функции остальных двойственных переменных. Важным этапом в построении асимптотик по времени / —»со решений рассматриваемых задач является последовательно применяемый принцип локализации, позволяющий, позволяющий изучать г лавные члены асимптотик при / -> со решений на основании рассмотрения некоторых многомерных интегралов, зависящих от большого внешнего параметра лишь в произвольно малых окрестностях некоторых критических точек.
Задача построения асимптотик решений не может считаться завершенной без доказательства теорем существования и единственности решений соответствующих систем уравнений. Поэтому значительная часть работы посвяшена изучению разрешимости поставленных начальных и начачьно-краевых задач, а также оценке норм решений этих задач.
Кроме того, в задачах с разрывными начальными данными изучена динамика разрыва решения, т е. построена асимптотика решения по гладкости
Перейдем к более детальному изложению результатов работы.
Ряд задач гидродинамического характера приводят после их
линеаризации к необходимости изучения систем уравнений с дифференциальным оператором, который в достаточно обшсм случае имеет вид
ді ох
ды
а&хїї - ЬУсііуїї-[її, со] + гУи„+2 + (1ёпип+1
ді
е^л±2_ти+(ІІУЇЇ
а
где
Ч
а/ ді
гг Т .. .. \'Г
(I)
/ є К+,хє ЯЛ; (./(*,/) = (н ,ип+1>ип+2) -искомые
функции,
ІІІХ
_ дщ >и =—- + ...
дхх
+
ди.
, _ а2« д2и
АХЫ у +... Ч у
ас2 аг„2
н еотри цател ы і ы е постоя н н ы е
I дхп ’
а,Ь,2ус1,е,пк1л/,г будут введены ниже, когда при различных п и некоторых сочетаниях данных постоянных оператору (1) будет придан конкретный
гидродинамический смысл; еп = (0;...0;1) , со - вектор угловой скорости
т
вращения системы координат; - знак транспонирования.
В работе изучаются начальная и начально-краевые задачи для системы уравнений с различными вариантами оператора А. Доказываются теоремы существования и единственности решений рассматриваемых задач; формулы представления решений и строятся точные асимптотики но времени / -> со
/ К
(находится старший член разложения решения в асимптотический ряд по -).
/
В главе 1 рассматривается система
_ _
[] - і'Ач - і'РУсііму + Уу4 = 0;
сі
а‘^± + (Н\>у = 0, д/
(2)
которая представляет частный случай системы АН -0 с оператором А вида (1) при п-2> \сі = т -1 = с{ = г = 0; г = I; а = V - динамический коэффициент
вязкости V = /л/р{),/3 = 1 +—(//,Я - первый и второй коэффициенты вязкости.
и
постоянная плотность покоящейся жидкости), с-а1- коэффициент
сжимаемости жидкости, обратно пропорциональный скорости звука; (о = соё^.
Искомые функции: V = {у,;у2;у3- вектор скорости, у4 - эффективное давление в жидкости, равное произведению отклонения давления от стационарного и величины р() 1. Система (2) приведена в работах [43]-[46].
Для системы (2) стави гея задача Коши
^и0= у°(л);у4|^=у^(д). (3)
После применения к левым частям системы (2) преобразований Фурье /*-« и Лапласа Ь,^у задача (2)-(3) перейдет в уравнение
А(у,і*)0 = 0\ (4)
где 0 = 1^гГ'„Л1']М° = = {'Vе}.
Если обозначить через характеристический многочлен системы (4):
1у(У>х) = ^ А(у,іх) = а1 у (у + V | л |2) Ч | л |2(1 + а2у/3у)(у + у | л* |2 )2 + +а2со2у(у + у | $|2) + й>2$2(1 + а'уРу)у то решение системы (4) можно записать в виде
0(у,*)=В(у,*)1>-'(г^)0()(*\ (5)
где элементы Чт(/’л) матрицы В имеют степень (по /) не выше третьей.
Для тою чтобы с помощью (5) получить решение исходной задачи (2)-(3),
проводится анализ свойств у - корней характеристического многочлена Р(у^).
_ і і
Полагая (ИхА)= Р:._>хР/_¥1[11], где I) определено в (5), и используя стандартную норму в пространствах Соболева ІУ^1 (ІР)
|«(-/)|и =! }(!+(,у|2)"' і /•'г_м[ии.')112 ^!,/2,
іР
сформулируем следующие утверждения
Утверждение I I. Если начальные функции Vі), / = 1,4 в (3) принадлежат
пространству №2(Р'\ то компоненты ик(хА),к = 1,4 решения (./(ха) задачи
8
(2ИЗ) при каждом / >0 принадлежат И/2°(/?')= С2(/С') и справедливы оценки
4 4
к = \ 7=1
Утверждение 1.2. Если начальные функции V у — 1.4 в (3) принадлежат пространству IV"1*2(IV). т £ 0, то компоненты ик{х*1\к = 1,4 решения Ц(х./) задачи (2)-(3) при каждом I >0 принадлежат 1К2;;(/Г) и справедливы оценки
вир[(1 + /)“' II «*(-,/) II,„]£с'У|| у” ||„|+2, к = 1,4.
/>0 /=\
Утверждение 1.3. Пусть //(*,/)- решение задачи (2)-(3) при однородных условиях (3). удовлетворяющее при некоторых т >1 и Г] > 0 условию
£|||и*(-/)Ит(1+'Г2''<//<».
А=1о
Тогда 11 (;с,/) = 0 при почти всех / > 0 и х е /V.
Доказательство утверждений 1.1 - 1.3 проводится в §§ 1-7 работы. Для этого потребовалось установить ряд вспомогательных утверждений, связанных с построением асимптотик корней характеристического многочлена Р(у,х) системы (2), а также оценок ряда интегралов, зависящих от параметров. Отметим, что условия утверждений 1.1-1.3 являются достаточными условиями существования решения задачи (2)-(3).
В этих же разделах работы доказываются утверждения, связанные с построениями асимптотик при / —» со некоторых интегралов из представления фундаментальной матрицы решений системы (2), что позволяет построить асимптотику самого решения 1!{х.1) = {//(лг,/),н4(*./)| задачи (2)-(3).
Сформулируем основной результат главы 1.
Условие 1.1. Вектор-функция У’Ч.г) = ;У‘'(.г).х^.т)! интегрируема в IV и
при //>3/2 существует интеграл [{|(1 - Дг)/; У°(.г) | +(1+ \ х I) | У°(лг) \\clx < оо,
'V
где (1- Ах)пУ = /,7-1Л(1+1л'|2),;/<х-*л-[У]], /у_>л- и /Г7_1Г - прямое и обратное
преобразование Фурье (в обобщенном смысле).
Теорема 1.1. Пусть выполнено условие 1.1. Тогда для решения
(/(*./) = {/7,//41 задачи (2)-(3) справедливо асимптотическое представление при
/ —>со
_3 _1 5
У(х,() = {! 2{Г(Л,В)со$ох + 1:(В-Л)$т(01) + 1 4/73+/ 4/\Д |У°(у)</у +
/?3
+ Г /’'(.г- ^,/)У°(_у)ф + ехр(-/(2а2к(1 + р)Ух) [ Р'*(х-у,1— )У0(у)с1у,
* * ду
я*
IV
где
Р(А,В) =
( А -в 0 0> 0 0 0 °1 ГО 0 0 0^
-в А 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
;К = а. ; Р\ = а.
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
, 0 0 0 0/ ,0 0 0 0, ,0 0 0 К
I :• з
3 I I
а. =-Г(\/4)сога!у *(\6\i2)а, = Г(3/4)<уг«;Т Ч8л/2)
А = }(я!(0) - За(6')й;«'У))5ш Ш&: Н = )(Ь \в) - Щв)а'(в))$\п Ш0\
а(в)=
'ГЦ0) + у р\в) + Ч\в) 2 (р'(в) + ч\в))
■М0) =
чЧв)
(2 (р(0) + у1рЧ0> чЧвШгЧв) + ЧЛ(0))У
4 <0) = -$\\у 0-а Ао ':р = у( 1 + -энг 6 ■ /3).
Элементы матрицы Р\х,1) = {/*'.(-*Э)!,.*- непрерывные в /Сх[0,оо) функции (т,/), для которых
Нт- —1: =0:15 к.т £ 2: Кт-^(Д--У = \т^—1* - 0
гм 1+М 1+1Л'| ; 1+1 лТ
и при / —>со справедливы оценки
10
| ./:'т(^./)!<С\Л1(1-+; ДГ|)/ 4:{к.гп) = (1,4),(2,4),(4,1),(4,2);
5
|Щ(Х,1) |< (\ „,( 1+! .г |)/ '; (к.т) = (1,3),(2,3),(3.1 ),(3,2).(3.4).(4,3),
а о
равномерные но всем хеИ . Элементы матриц Р'"(хА%—)={#*„(*,/,—)}, кт
ду су
д
операторы вида —) = £™ (.х,/)(1 -Л,)' при 1 <крп < 4:?} > 3/2,
ду
коэффициенты (д\/), 1 < А\/и<4 непрерывные и равномерно по
{x.t)eR: х[0.со) ограниченные функции.
В работе |65| показано, что числа А и В при всех рассматриваемых значениях параметров а,/3,.а>,у отличны от нуля. Таким образом, полученная в теореме I асимптотика является точной. Результаты, изложенные в главе 1.
опубликованы в работах [66]-[70], смежные задачи изучались в статьях
[711,[72].
В главе 2 рассматривается уже неоднородная система (2) при / > 0 хе
■4(^,7)
at сх
ч"4У
( си______________________________________________________
— -[Tv(ö\-vAn + VuA = F-
К (6)
а1 —djvM =(/, (д:,/)е/?++, dt
при некотором упрощающем предположении // = 0. Здесь
l'(xj) = j /'h IA,l'\ j7, заданные функции Rt+ = P,-v: / > Q,x = (x\xy),
д*' = (д,,д'2)€ R2,X) >0J. Рассматривая систему (6) в R\, дополним ее следу юти м и уело ВИЯ м и
ÜUo=0,//4 Uo=0;*'€ rt2,.v4 >0; w |Vj=0= W{x\i\ t >0tx’eR2:
у (7)
lim m=0; lim //4=(). t > 0,.v' e R .
Ile ограничивая общности, будем считать, что ö) = j0,a>cosu/.6>sin^j'. /д = const > 0.0 < у/ < nil. 11аряду с задачей (6)-(7) рассматривается задача
получающаяся из (6)-(7) после применения преобразования Фурье-Лапласа Гх,^. ,у е С,з' е Я2. Здесь и дальше в главе 2
Введем необходимые функциональные пространства
Определение 2.1. Пространство Нт,т> 0- целое состоит из функций
зависящая от параметра Л > 0.
Определение 2.2. Число у принадлежит области ФД-£,<!>0)сС (£>0,0 <,£0 <со! 2), если Яе/ > —в и при -£ <Кеу <0:| \ту \>307 11ту ±бо\>£0; при Яе/ >0:\у\>бй9\у ±ш\>6й.
Определение 2.3. Пусть тук> 0- целые числа, £>0. Функция и(х\хъ^)
принадлежит пространству Н*к$ = {и | и(х\х,Оехр(-$) е /,2(Д++)} с нормой
где ;!•; - норма в £2 (/?*„).
Заметим, что при д = 0 пространство Н^к 6 есть анизотропное пространство Соболева. Как известно, преобразование Фурье-Лапласа позволяет ввести в Нт к з эквивалентную норму
{V, V, ,/,я, w} = 1,_ГРХ._, {и,и,, Р,С,№}.
д я
g(x:}), 0<т. <ссвсе обобщенные производные которых —~ для 0<к<т
дх.
принадлежат Л2(ТО- В качестве нормы в Нт используется норма
12
■ «i:.w»{sup I f f[(l+ I r \2k+1 s' |2w) | U |2+1 ^JL^dx^ds’dy}"1^ = /1 + iy2.
r^n-^R2 0 ca3
Определение 2.4. Пусть //,*■> О- некоторые числа, SeR. Функция w(.v',/) принадлежит пространству
= !w I w(x\/)exp(-<sr) е L2(Rl)},Rl = {/,х': / > 0,jc’ е R2)
с нормой
V, +/0о
,1/2
(Н„ж.г = !5иР 1 |(Н/12*+И2")М2^}
У\ >*л
В главе 2 доказаны следующие теоремы
Теорема 2.1. Пусть у е С и А-' е удовлетворяют одному из условий:
а) у е П .Д-£,£0); з* е И17
о)Яе/ > -£; 15'|= д/л,2 + > 7>,
где £>0 достаточно маю; 30 е(0,<у/2);<? >0.
Тогда при любых / е £2(/^),#е Н[ существует единственное решение {V,уЛ),\7е Я2,у4 €Н\ задачи (8)-(9) и справедлива оценка
Ю+И + К!2)
к=О
2\2-к
дку
|2 \1-Ar
2 \1-£
&3
dkg
+ Sd+l?'l + l-v'|2)
к =О
аЧ’4
дх;
А=()
+ Xa+iyi+i^i2)3/2iw;(/;.v')i2], /=«
-норма в 12(Я');с] = с[(а\й),у7до,Я,£)>0.
Теорема 2.2. Пусть ЯД*,/) € Я0+00, ] = 1.2,3; (7(*,/) е Я^00, XVj(x,J) е Ну з , у = 1,2,3. Тогда существует единственное решение задачи (6)-
3Д<>
2 4
(7) U(xj) = {u7u4}:uj(x7t)e H2xSJ = \XXui(xJ)eH?lSy где J>0 - любое число, и справедлива оценка
с, = с,(сг,<у,и,£) >0. Граничные условия (7) выполняются в следующем
Отметим, ЧТО В предположении бЯ + ! , (7 е /У2 I 0,^1 е /Уз 5 ,у = 1,2,3
1 2’° 2 4°
граничные условия (7) выполняются и в классическом смысле:
Далее в главе 2 рассматривается однородная система уравнений (6) (Г =0-(У = 0) и проводится обоснование принципа локализации при г —> со решения задачи (6)-(7), суть которого в возможно более точном выделении в представлении решения тех его составляющих, которые могут внести существенный (т.е. степенной) вклад в асимптотику при / —> со решения задачи. Теорема 2.3. Пусть функции 1 < / <3, принадлежат
пространству Н\ у ,£'о>0. Тогда для решения и! е Н^л= 1,2,3;
1 < / <4,/: = 0,1,2;<!>, 0- символ Кронекера; е е (0,£0)- достаточно малое число;
смысле
2 4
х3 —>-И)
Нгп и(х\х^) = W(дf,,/); йт и(*\*з»0 = 0; йт кДа^а-^О = 0.
справедливо представление
2
(Ю)
14
% = 7]s(s') е СДЯ2): tjs(s') = 1 гтри |У|<<7/2;^(л') = 0 при |5><?;7^>0; <>'0 е (0,<у/2), S >0 - произвольные числа.
Участвующие в представлении (10) компоненты вектор-функции w° = w°(/,jr#) = {M|°,W2,w? }7 строится по решению {v,v4J задачи (8)-(9)
л т
следующим образом ü (s\y) = -v |Xi=0 +kvA |Гз=0,к = {0,0,1} ; величины
bfj = $>(« i =bjj(s\s3,y) представляют собой дробно-рациональные
функции, способ построения явного вида которых указан в тексте работы; у € С;(л',л'3) е R3; числа оД1 и oyt. выбраны следующим образом
= <2 = 3; <’ = < = 2;<> = < = <> = 1; <> = <!, = 0,; j = 1,2,3; <;=< = 2; о-;;] = О при (УД) ф (4,2); о.к = 0 при 1 < j < 4Д = 1,2;
= ^ °2,з “ 0; <73 3 - сг4 3 = 2;
з
Г'(-£,<50)=игп("4'’<5о). гДе Т„(-е,00)={уеС\\у-уп\=50 при Re/>0;
П=\
| Im/-Im/rt |= 3{) при — £ < Re/ < 0}; = ico\ у2 — —/й>; /3 = 0.
1 л
Условие 2.5. Функция w(x,J)eL](R+xR ) сферически симметрична: \у(Фх',/) = w(x ,0 при любом повороте Ф системы координат в R\ и при
СО
некотором > 0 конечен интеграл (w)c = J J(l+1 х' |2) | w(/,jc') | ехр(г70г)Дс'с//.
о яг
Теорема 2.4. Пусть при с0> 0 функции \У(х',г)е^зз > У = 1>2,3
удовлетворяют условию 2.5. Тогда дня решения {w,w4J: Uj(xJ) s Нj = 1,3; н4(/,х) e//,*u ( £>0 - любое) задачи (6)-(7) (F=0;Gs0) прих е R2, Хл ^ h (h > 0 любое) справедшво асимптотическое представление при / —» со
Vw42
= 16л-"3/21/'1/4^21_АаА_1/2гдА/2Г(у + |)/-А/2_3/4С7(А)(т)| J \У(*',/)с&'Д+ a=i 24 о**
х>
15
4*
£п
£0
где матрицы Gik\x),k = 1,2,3, и G(t,x) имеют вид (7(|) = {GyJ}, j = 1,4; / = 1,3;
Gfj =0,0\1У (4,3);0‘!> =ü)/vG4 3;G/j = -Lg,.,;i = 1,2,4;у = 1,2; G<2) = G„(£)
< = 1,2; Gf3)=^Gj.3;G^)=0,(/,y)=(3.1),(3.2),(4.3);
G/3; = 0,(/,./>(3.1),(3.2);G$ = G3>,, (U) = (3.1),(3.2);
(1+1 jc|)0(1) (1+1 jc 1)0(1) (1+!аг’|2 +x3)0(1)
-7/4-,* (1+1 jc |)0(1) (1+1 JC 1)0(1) (1+іх'!2+Лз)0(1)
(l+l jc|2)0(/-,/2) (1+|*|)0(Г1/2) (1+|л'|+дг32)0(1)
Jl+| дг'І2 +дг3)0(1) (1+1У І2 +дг3)С>(1) (1+1 jc|)G(/1/2)
є є (0,1/4)- любое число: функции G.Д-х), j = 1,2,3,4; / = 1,2,3, имеют вид
• /:(3) _
G = /
Gu = (-!)' + «ГЖ'2"“[(-1)М cos(/ 2идг3) + sin(^oilvx,)],
G2J = -1 + c"4e/2v** [(-!)' sin( л/л> / 2 v^jc, ) + cos(Vö?/2i'j:3)],
G3J =-1 + cy X<e/2t-x,[x1 + (-iyx2][sin(V^/2t/x3)-cos(VüT/2i/x3)],
<?«=-[*+НУ* ],/ = U 2,
Gu =-x2 -e~'*'2vXf[x} sin(\'(o/2vx^)- x2 cos(Vö)/2i/jc,)],
G2i = .x, - с 2wx‘ [ jc, cos(vVy / 2v.x3) + .x2 sin( Vö>/ 2i/x.)],
G33 = 1 + v" ‘f:2yx* [sin( ylo)72vx3) - cos (V<y 12vx3)], G4 3 =*—1; причем оценки величин ()(■) равномерны по х'е R2yx3>h и не зависят от
W(*',/).
Результаты, изложенные в главе 2, опубликованы в работах [73]-[75].
В главе 3 работы изучается еше одна начально-краевая задача для системы (2) в полупространстве .г є R3 = {х I jc є R\x, > 0}. Эта задача состоит в нахождении решения U(xj) = {v(jc,/),v4(jc,/)} системы (2) (при /7 = 0) при xeR'j >0, удовлетворяющего начальным условиям
16
V |,=^= V0(т);\'4 |,=^= у'1(х\ х е Я3 (11)
и граничным условиям
VI 1х3 =*> = 'у?(*'>');1х, =+о= 'V? (*',/);У4 1,з =^,= ш^х',/), X' е К2,1 > 0. (12)
Начально-краевая задача (2),(11),(12) может быть упрощена если начальные функции {V0,} в (11) допускают гладкое продолжение с Я+ на все Я3. Действительно, с помощью результатов главы 1 стандартным методом сводим задачу (2),(11),(12) к случаю V0 = 0^ = 0. При этом в условиях (12) следует заменить уу* (*',/)> / = 1,2,4 на \у®. -у*(х\/),./ = 1,2,4 , где = у^(У,+0„/),
{уг ^4} - решение задачи (2)-(3) при начальных функциях {Л7°,Л/}} (/-оператор продолжения с Я+ на Я ).
Таким образом, после применения преобразований Лапласа и Фурье /у^» мы приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
^ ____
){у,у4} = 0, 0<*3<сс. (13)
ах3
при граничных условиях
':'11х,=о=й? ;^2|^=0='Йг5;у4|Хз=0=*5» (,4)
где знак обозначает применение преобразования /у_>у.
Характеристическое уравнение системы (13) Р{у,Л) = <\с\ А{у,1$\Л) = § (^еР\уеС- параметры) является уравнением шестой степени по Л. Учитывая, что пригодны лишь те решения системы (13), которые стремятся к
нулю при х3 —»со, в работе выделяются гри Я-корня характеристического
многочлена Р(у^\Л), для которых ЯеЯ, <0 при всех .у'е Я2,|$'|*0и /:Ке/ = (). Так как эти корни простые, то решение £/(*,/) = {у(лс,/),у4(*,/)} задачи (2), (11) записывается в виде
(/(х,0= ^/,;^[^(:/(л',Г)2Г/(.у',у)ехр(^х3)], (15)
/=1
17
где вектор X, *- 0 является решением линейной системы уравнений
Л(у,М} ,іх2,Лі)Хі =0 величины С,(У,у) определяются с помощью граничных условий (14). Из (15) вытекает представление £/(*,/) = С/(х\х3р)* XV* (У,/), где \\/в=|\\[д\*,\\в4]. Элементы участвующего в этом представлении тензора Грина
0(х\X,,/), имеют вид С1іт(х,і) = '£.Оіт^х,і);СітІ(х,і) = {К1 п,(/,л\,/)|,
/=1
У = 1,2Д4;/и = 1,2,3,где функции К1я! находятся из (15) и граничных условий
(14). Последующие опенки основаны на дальнейшем углубленном изучении свойств Л- корней характеристического многочлена Р(у,х\Л) при
дополнительном предположении р = 0,а\гох >а0. Это позволяет установить асимптотические опенки при / --> оо функций (7;т!(х\х^1) входящих в элементы тензора Грина С(х\х^1).
Теорема 3.1. Пусть р = 0 и а\:со' >сгп. Тогда при любых У е 1Р,х. > И > 0 и при і -> со справедливы оценки
I |< с( 1+ і У І)Г2,у = 1,23.4;т = 1,2,3;/ = 1,2;
\Glms(xp)\<c(\+\xt\+x;y-2J = \XЗЛ,m = \X
| б;.з.,(д-,/)|< с [(1+1УІ+ХІУ2 + Ґ”], у = 1,2,4;
Ох |-ХЗ(д,/) = (1 -к о( 1))Г7Т(3/2)Г(1 /4)а>-V-’Ил-у’У3 \ где константы с\сг не зависят от (хА),є-сколь угодно малое положительное число.
Асимптотика для 0’3 в теореме 3.1 является точной, причем
оценка о(1) при / -> со равномерна по Xі є Р2 ,д3 > И > 0.
Из оценок, полученных в теореме 3.1 вытекает, что асимптотика 0„(х,1) совпадает с асимптотикой 0;т?(хА). С помощью теоремы 3.1
находится при /—><х> и х3 > /? > 0 точная асимптотика решения //(*,0
задачи (2), (11), (12) (V0 =0; =0), если функции \\г*(У,/), / =1,2;
18
\у'|(У,/) финитны но I и достаточно быстро убывают при У—»со. В общем
случае указанное условие не выполняется, гак как таким свойством не
обладают, вообще говоря, функции \/г !х^=0,у4 |Хз-о (см- выше). Однако в том
случае, когда существуют продолжения /у°,/у“ с IV на все IV, обладающие свойствами
/у-(У,л'3)=- у"(У,-х,),./=1,2;/у3(У,л> \Цх'гхг)’у1у°л(х\хгУ=- \0л(х'-х,);х3< 0; (16) при всех х'е IV и продолженные таким образом функции удовлетворяют условиям : Ы) е у = 1,4,/« > 1, то построенное по начальным
функциям {/ V0,/ V®} решение задачи Коши {уг,е И/2т(/?3),«? > 1 для системы (2) также удовлетворяет условиям
V/ Ц-_о=0;у; |^0=0; у; и=о=0. (17)
Как показано в § 22 работы, при выполнении следующего условия решение задачи (2),( 11),(12) при ^ = 0 и \У" =0 принадлежит пространству Соболева при каждом / >0.
Условие 3.1. Вектор-функция У°(х) = {V0,имеет конечную норму
ИГ={£ [ ^\1)У)(х)\г с!х\{п и У°|Г1=и=0;^ 1^0=0;./== 1,2,4;
у=1 дЗ |а|<4 схз
0 Я'у°
=<>=°;%^и0=о.
=0^з
а*31х5=0" ’ д4
Теорема 3.2. Пусть выполнено условие 3.1. Тогда для решения начальнокраевой задачи (2),( 11),(12) при \\* = \\г2 = \\‘1 = 0 справедливо асимптотическое представление при ( —> ос
(/(*,/) = 2«3Г7'4/,| у“(л)*/.*+ \Г(х-у,1)1У"(у)с1у +
кз
+ ехрН(2£ГИ1+ /?))"'! } Г(х-у,1~)П/0(у)с1у,
ду
19
где /3 = {0,0,1,0} , число а}> 0 и матрицы Р\РЯ определены в теореме 1.1;
IVй- продолжение V0 с Р1 па Р3, обладающее свойствами (16).
Последний раздел главы 3 посвящен в основном доказательству разрешимости и единственности решения начазьно-краевой задачи (2),(11),(12) при Р - 0 и у°(лг) = 0;\ (4(л ) г 0 в пространствах Соболева.
Определение 3.1. Функция м(У,.х3,/),У € Я2,*3 >0,/>0 принадлежит пространству Соболева #22,1)(#^+), если при любых > 0 существует преобразование Фурье-Лапласа и($\хЪуу) = Р[^гРх'^[и(х\х^у1)\ такое, что конечна норма
ос
N(2.1) = ! ] |(1+1/2|+|у'12)2 Л3Ж'ф}|/2
я3 о
Наряду с пространством #221)(^++)> будет использоваться аналогичное пространство Я^1^/^.) с нормой
N1(1.1) =<1 /(1+1/Л2 +1-V'I2)IЙ-(л',дг3,/>/)|2 ск,Жс1ц)ш.
/?3 О
Определение 3.2. На функциях \у(У,/)е 5'(/С'), равных нулю при /<0, определим оператор Ма к 0 по формуле
МалЛ'» = /^,.^,[(1+1 у |)ст(1+1 .V' !2)'(| .V' |У Й(Б»1, где Щх\у) = Ь1_>уРх’_>>.'[\\(х\1)\уа€Р,гс€Р,в = 0Л,2,... (все определения в смысле теории обобщенных функций)
Условие 3.3. Компоненты вектор-функции \У6={\у*(У,/),\у 2(У,I),м-’3(У,/))1 принадлежащие У(/^) и равные нулю при / <0, удовлетворяют следующим условиям: А/и и ,ЛУ/,А/. 7 ^/, / = 1,2; М, , х лчвъМ{) м* принадлежат
12' 12 'V1 2* 2* 3
1МР1) и, следовательно, конечны нормы
20
М
ип0™1 12’12’
Мцлчг,
= |(1+| |)" (1+1|2)'6' |й?(.*\///)|2 Л'ф
+
+ /(1+1Л |)2(1+| л2)» I Л'|4| ЪЦЫм) I2 &Лц <00, / = 1,2;
(18)
к^?| +|к.,^в3 +|ии>^(2< }((1+|/||)2(1+|л-'!2)Чл'|8 +
1 Л3
+ (1+ | М |)2(1+1 Л' |2 )21 *' |4) | ш) |2 Шц < 00.
Условие 3.4. Для компонент вектор-функции \Ув(.*',0={^1 ,\У2,\У®}7 , принадлежащих 8'(И3) и равных нулю при / <0, конечны интегралы
(19)
1
/з|л'|2 л/| А II-V'I2
где ф',53)еС00(К3);7>0;?/(.?',) = 1 при М2<£02, /7(л',л3) = 0 при
? Л
151 > 4£0 ,<?() >0 достаточно мачо.
(20)
(21)
, ч \ 2
В дальнейшем через ({\У ;/} обозначается сумма интегралов, стоящих в
гр
правых частях (18)-(21).
Теорема 3.3. Пусть компоненты вектор-функции Wв(JcV)={wJ,W2,Wз^,
(У,/)е/?+ удовлетворяют условиям 3.3, 3.4, и аАу2со2 ><т() >0. Тогда
существует решение У(х,/) = {у,,у2,у3,у4}Г однородной системы уравнений (6) при однородных начачьных условиях (11) и неоднородных граничных условиях (12), компоненты которого Уу(л,/) при у = 1,3 принадлежат пространству
Соболева а компонента у4(*,/)- пространству //^1Л)(/?^+), причем
справедлива оценка
Условия (11) и (12) выполняются в смысле сходимости по норме В /,2(И1). Решение задачи (6), (II), (12) единственно в классе вектор-функций (/(*,/), у
которых г//еЯ‘2-|)(Л^+),; = ГЗ, н4 е ЯУЛ)(Я?+).
Асимптотика решения У(дт,/) задачи (6), (II), (12) при /*'=0:0 = 0;
V0 =0 строится при дополнительном условии:
Условие 3.5. Вектор-функция \У* имеет носитель, заключенный в полосе
0 < / < /V, У 6 /^2 и существует интеграл //= [(1+1УI)! \У*(У,/ <со.
Справедлива следующая теорема
Теорема 3.4. Пусть Д = 0, аху~аУ ><т0 > 0, V0 =0 и выполнены условия теоремы 3.3 и условие 3.5. Тогда для решения задачи (2), (11), (12) ггри У е Я\х, > /? > 0 и при г со справедливо асимптотическое представление
У(л\/) = /~7/4(1 + о( 1 ))Г(3/ 2)Г( 1 /4)а3;'2(4д)“1 к;4/31 4(>-, г)с/ус/т + 0(х,/),
где /3 = {0Д1,0}/; (2(х,/)- вектор-функция со значениями в /С, элементы <//(** О» У = М которых удовлетворяют оценкам
^7(.г,/)|<с7“2(1+1т]+л7) -ну' 2+с|^^| , | с/з(.V,/><^7_2( 1 НО )|\/(
(1.1)
,; = 1,2,4: с константами с > 0,сл. >0, не зависящими от (.г,/), \у 7; £ — сколь
угодно малое положительное число.
Результаты, изложенные в главе 3, опубликованы в [76]-[79|.
В главе 4 работы изучается задача Коши для системы уравнений
Ж-,-)С/ =
et дх
^-АЛМ]
5/ р*
22
ди4
р* wXj
с)«-, ц . 1 ди*
—£ - -£- Дм2 + № + — —±
Cl Р* р. Э*2
ж r2 -1
Лг р*£ и2
0/
дм, дм2
= 0, (/ = {м1э|12,|1з,и4Г , (22)
дх, дх2
в том частном случае оператора Л, определенного в (1), когда /? = 2;<у =0;а- рр*1; ■ = р*1\(1 = g, е = т = 0; / = 1; </ = 0; г = -^2р*^'1. Система уравнений (22) моделирует в приближении Буссинеска малые колебания вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости в вертикальной плоскости
у
(см.[47]). Использованы обозначения {щ м2) - вектор искомой скорости жидкости; м3 - отклонение плотности от стационарного значения, м4 -отклонение давления от стационарного значения, р* -коэффициент, харакгеризующий стационарную плотность, р - коэффициент вязкости, N -частота Вейсяяя-Брента, # - ускорение свободного падения.
В качестве начальных условий для системы (22) взяты условия
1/40= ulU,x) 1/40 = 0 » U-H> = Р(АХ) =
А + Их2 при | х |< R,
(23)
0 при | х\> R;
где A,H,R> 0 - произвольные постоянные. Условия (23) моделирую наличие в начальный момент времени круговой (в вертикальной плоскости) зоны интрузии со скачком плотности р()(х).
В этой главе строится вначале обобщенное решение задачи (22)-(23), а затем изучается его гладкость, распространение разрыва и строится асимптотика решения при t —» со.
Введем следующие обозначения
P(/,.v) = det Л(у,л)=|л|2 у2 +PpV I -v Г 7+ N'sf, / е С; .s = {s,,.v2};
-1
.4
Л
R(/,.s) = {Bbe2,e^e4y ={5,s2g; -.vfg; (р./ + pI v|2); is2g(p*y + p\s\l)Y .
23
Определим также (пока формально) функции
єк(х,і) = р;\хі-^А———■—г1. (24)
где а1 =а2= 1; а3 =а4 =/ >0.
Наряду с задачей (22)-(23) рассмотрим также обобщенную задачу Коши в пространстве обобщенных функций )
= {0,0, А>(*Ж'),0}Г, (7 = 0 при / < 0, (25)
дх
где 5(1)- дельта-функция Дирака.
Как известно (см.[48]), обобщенное решение уравнения (25) существует, если существуют свертки ПО X € Р2
1]={€х *{ах -Д)А>М;£2*(а2 -Д)ро(х);6‘з*(я3-Д)А)(^);^4 * (я4 - Д)р0(.т)} (все операции в смысле теории обобщенных функций).
Асимптотические оценки корней
Уу(*) = -^І5|2+(-іУ^. //2иі4^2р,2^., ] = 1,2 (26)
2 р, 2р.} иг
характеристического многочлена системы Р(у,6*) при | ^ |—> со позволяют
установить следующую теорему
Теорема 4.1. Функции Єк(х,і), к = 1,4 непрерывны вместе со своими
первыми производными по х при любых X * 0,х е К2, и / > 0. При 0 < л/7 | Л |< 1 справедливы представления и оценки
2л- V/1 -V |
^ 1 Л Л
—--£}(х,1) = — + я'(Х,І); I — Є4(х,і) I +1 — £,(*>) |< (1+ і 1п(л/71 л |) |),
д\х\ 27г\х\ дхх дх2
где функции ё(х^)^\х^)- непрерывные и непрерывно-дифференцируемые (по х) функции при всех хе. IV И I >0.
24
Если теперь воспользоваться хорошо известной (см.[48]) формулой теории обобщенных функций
ДЛ = {Ар0} - <5,, - [р0 Ь. ^.
а*.
і де Д- оператор Лапласа; д. ,—— дельта-функция и ее производная по
* дп
внешней нормали к сфере соответственно, сосредоточенные на 5Я,
\Po\s “ скачки функций р0(х) и ее производной по нормали на
* дп * ' дп
сфере 5Я соответственно, {Ар0\ - “классическое” значение функции Ар0 в /Р ( в точках где р0(х) терпит разрыв, Ар0 не определено).
Теорема 4.2. Существует обобщенное решение Щхр) = {и,,м2,м3,м4}7
задачи (25), представимое при любых / > 0, л є Я2 у | .* Я в виде
2л /?
ик(х91)-ак | |£к(х! -рсоьу/,х2 - ръи\ у/р)(Л + 11ръ\\\у/)рс1рс1ц/ +
о о
2/7
+ л } (—Д-— СОЗц/ + д£^У,1'>51П у/) | ^ =х<(А + НЯ5Іпір)сіір, (27)
>’2 = ^2
о дУі дУг
Л: = 1,4, причем компоненты и1(хр\и2(^,0*«4(^>0* являются непрерывными
функциями переменных х е Я2 >0, а компонента м3(л:,/) непрерывна при
г > 0, ] .г |* Я , при этом
и3(рсо&у9/жш ^,/]|рвЛЧ)-11з(/7С08^^»т (МИр=я+о=Л +#/&т у/ (у/ф,2л:1 / > 0). Начальные условия (23) выполнены для и,,«2 при каждом хеЛ2,а для при
Далее приводятся оценки построенного в теореме 4.2 решения в нормах пространств Соболева с весом (по /). Обозначим
X
« III/2*= \ О +/)"Г 5(1-Н|л*|2У ! и(5,/)|2 ЖЛ,
Я2
25
где iï(sj) = Fx^s[u(x,t)\; к > 0; / e R.
Утверждение 4.1. Для решения (27) задачи (25) при р0(х)9 определенном в (23), и к > 2 конечны нормы
III ит III 1.* < °°; III III о,л- < 00 > tn = 1,2; III ы3 - A) HI u. < оо;
dt
ai % hi I., < « .ni
<3/ or
Утверждение 4.2. Решение (27) задачи (25) при р0(х), определенном в (23), удовлетворяет начальным условиям (23) в следующем смысле
lim II «*(-,011, (/>2)=0’Л = 1’2; lim II «з(-0-Poll* <Rh=0
/->40 > f —>4-() ''2(Л I
Следующее утверждение обеспечивает однозначную (в некотором смысле) разрешимость задачи (25).
Утверждение 4.3. Пусть IJ(xj)- решение задачи (25) при р0=0, удовлетворяющее условиям
III «. Ill u < «. Ill «3 III U ■< ■»; III ™ Ilk. < *; III ^ III u < «; III J4 III... <
du du
m = 1,2; j = 1,2 при некотором к*>0. Тогда м, = м2 = и3 =—- = —— = 0 при
дх1 дх2
почти всех х g R2 и / > 0.
Основные результаты главы 4 связаны с построением асимптотик при /—>оо элементов матрицы фундаментальных решений £k(xj) (см.(24)) при t —> со. На этой основе с помощью представления (27) строится асимптотика самого решения задачи (22)-(23).
Теорема4.3. Для вектор-функции С (xj)~{£,(x,/), £2(x9t\ £3(*,/),
st*
£л(х,1)\ (см.(24)) при любом х е R2 и л:2*0 справедливы следующие
асимптотические оценки / -» -foc
£(х,1)={€и(х2)Г1 +о(Г'),0(Г1*Т)МГ2\0(Г*п)}г,
26
«AJ
где £n(x2) = "2^2—Jcos[ca2l^-------------jda, г - - любое положительное число;
для производных
дхj дх2
|^ = {о(Г-1),0(Г5/2),0(Г3/2),6>(Г3/2)}7'>
W]
^ = {х;2£12(х2У1+о(Г'),Х2%2(х2Г312+о(Г3'\сКГ3,\0(Г3'2)}г,
ОХ 2
где
^k2) = %"Jsin[Qar2] 3° ' t/a;
тг N J (1 + а )
о / Ч £ Гг !«(5«2-3)
Ws-/ т , J cos[ax2]— J~da.
2yj7r рчр N о (1 + б? )
•ч
Оценки о(-) и О(-) - равномерны по х на любом компакте К с R, не пересекающемся с прямой т2 = 0.
Теорема 4.4. При каждом х е Я2 и \х\* Я, где R- радиус интрузии для решения U = {щ>и2*иу,иА} задачи (22)-(23) справедливы следующие асимптотические оценки при / -> со
I 2л К
и, (*,/)=- J J £и(х2-psiny/)(a + hpsin у/)pdpdy/ +
0 о
2/Т
+ —I ----------------, т (а + ИЯ ц/)с1у/ +о(1
I ' {х2-Rs.nl у/)
«2(дг,0 = 0(Г1+Г);«з(х,0 = 0(Г3/2); и4(*,0 = 0(/-3/2).
Функции £п(хг) определены в теореме 4.3; г>0; оценки 0(-),о()
равномерны по х на любом компакте К с: Я2, не пересекающемся с окружностью | .х|= /? в Я2.
Результаты главы 4 опубликованы в [80],[81 ].
В главе 5 продолжается изучение системы уравнений (22), в которой для упрощения записи положено р* = 1, что не ограничивает общности полученных результатов. Система (22) рассматривается при однородных начальных и неоднородных граничных условиях вида:
1<к |,=44)== !-3; щ |Г2=4Ч,= у„(Х|,/); их />0(*|»') , (29)
где д-, €/С т2 >0; / >0, \ 0(х,/),/?0(х,/)- заданные функции. Наряду с задачей (22),(29) может быть рассмотрена соответствующая обобщенная задача
.Ц^±)и=Р(хЛ (х,/)еД\ (30)
д1 дх
где Г(л\/)= |-2/л'0и,(2р^-(д1,О-2р0(л1,/»'(.^)А0}/ . При этом
сиг,
предполагается, что компоненты ик решения И уравнения (30) удовлетворяют условиям
ик (х,,-лг,, О = -ик (х}, л\,/), к = 1,4; ик (хх -х2,/) = м4 (д-,, х,,/),к = 2,3. (31)
Решение уравнения (30) в У(/?л) существует, если существует свертка Р с фундаментальной матрицей решений системы (22) (см. [48]). Обобщенным решением задачи (22),(29) будем называть сужение на /С <8) И решения 1Iе У(IV) уравнения (30).
Учитывая результаты главы 4, решение уравнения (30) можно записать в
виде
Ч = IV + V + {0.0,0,1-"Хх[2м, I .VГ2 д,( V)])г. (32)
В следующей теореме выписываются формулы для нахождения КОМпонент векторов IV = Iи ], 2, УУ4, IV4 {7 И V = { V,, у2, V-,, \! в
представлении (32).
Теорема 5.1.Решение задачи (22), (29) представимо в виде (32), где д*е/?г,/ >0и
+ [7(1'1)'я|(.«,0]*(2/а'„(^>/)) + [705!)п*2(.г,/)]*(2?о(^>0)}, * = 1,2;
/ I
= *7-1Л [7(1 л 1)ХШ3 (*.0]*((«1)4_* 2/л? „(.V,,/)) +
У-1 '
+ (7(1 *1)£л/ 0,0] *(2ро(51,0)>, * = 3,4; у=1 '
т1 =“«2(Г| -ГгГ'ехрОу); /и2 =«2У2(Г| -ГгГ'ехрО'У);
«11 = -«2Г|(Г| -ГгТ'ехрО'ДИ"2;«!2 =-^2/2(/1 -Гг)"1 ехр(/201-Ч'2 «г =«■(/]-ГгГ'ехр^,/); ^ =«'|/|(Г|-Г2)''ехР(У|ОиГ2; т22 = -«|/г(Г1 - Г:)'' ехр(/20; п\ = *?72(7| - ГгУ' «Ф(7201 -V|"2;
т{ = (-1)'+1Л^ V\/1-/2),схр(//);
п{ = (-1У N 2g~'st(yl -г,)’1 ехр(//)|л)'2;
«4 =(-!)■'*/ 2-№ Iл'Г2 (/| ~ГгУ' ехр(г/); У = К2.
«4 =(-1)2^’ 2.?12521*Г* (71 -Уг)"1 ехр(/у/); у = 1,2;
2
V* = 12У-;Д х {[(1 - 7(1 * \У)4 (лу)] *(//*<) (*„/)) + / = 1 1
+ 2[(1 - 7(| .V!))/?{(*,()]» /?0 (■»',')}, * = 1,4;
.11-, ,\/+1 'Л27/ ехрОу). ,/ ,,ы «I/, ехр(/,0
«1-(-1) — —, а2-Ч~и ; : ,
(71-Гг) (/1-72)
,/ _, 'V Ч ехР(/У) _, ,,/+! л'|л2Л' 2 ехроу) Я(г 1-72) (71 -72) И
/,' =( ]у+1 7Л1Л'2 схр(уу). А, =(~1) 7^'| ехр(//1)
(7| — 7г) 1л' I2 ’ 2 (7|-7г)И2
,1 , -У Л1 ехр(7У) / / м2^'| Л ехр(Г/0
л.ч=(-1) — ---------------— ;я4=(-1) -,-г--------—■
К(7|-72) (71 - 72)
Здесь Х/(5)- корни (26) характеристического многочлена системы (30):