Оглавление
Введение
1. Актуальность темы................................................
2. Цель диссертации.................................................
3. Методика исследования............................................
4. Научная новизна . . . .........................................
!
5. Публикации и апробация раСюты . . ..............................
6. Структура и объем работы ........................................
7. Содержание работы................................................
1. Предварительные сведения.
1.1. Определение гиперфункции.......................................
1.2. С’Я-гиперфункции на гиперповерхности ..........................
1.3. Теорема двойственности Гротендика..............................
1.4. Строгие граничные значения.....................................
2. Голоморфное продолжение гиперфункций, заданных на границе области
2.1. Потенциал простого слоя........................................
2.2. Представление Пуассона.........................................
2.3. Граничное значение гармонической функции ......................
2.4. Теоремы о скачке . . . .......................................
2.5. Однородная 3-задача Неймана....................................
3
3
4
5
5
5
6
6
15
15
20
23
23
28
28
32
33
35
38
2.6. Преобразование Бохнера-Мартинелли............................... 39
3. Голоморфное продолжение распределений, заданных на границе области 43
3.1. Основное утверждение ........................................... 43
3.2. Доказательство вспомогательных результатов...................... 46
4. Аналог задачи с косой производной для гармонических функций
в С2 55
4.1. Постановка задачи...............:............................... 55
4.2. Основной результат.............................................. 56
4.3. Вспомогательные результаты...................................... 61
Список литературы................................................ 66
Введение
1. Актуальность темы
В начале XX века открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907) функция, голоморфная на границе области со связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой области.
Бохнер и Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области (см. [20], а так же [17]). Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали СЯ-функциями.
Известная теорема Гаргогса-Вохнера (см., например, [16]) утверждает что для того чтобы функция /, заданная на границе ограниченной области 12 в Vп(т > 1) со связным дополнением, имела голоморфное продолжение в 12 необходимо и достаточно, чтобы / была СЯ-функцией на 12, то есть
г
для всех внешних дифференциальных форм типа (п,п - 2) с коэффициентами класса С°° в окрестности границы.
Эта теорема доказана для различных классов функций.
Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных
о)
от (1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное продолжение функции } в 12.
Так в работах Л.А.Айзенберга, А.М.Аронова, А.М.Кытманова, А.В.Романова, Г.Фолланда, Дж.Кона был и сследован вопрос о функциях, представимых в области 12 интегралом Бохнера-Мартинелли. Ими была доказана голоморфность таких функций различных классов гладкости (несмотря на неголоморфность ядра Бохнера-Мартинелли). Эти же утверждения можно формулировать в терминах ортогональности функции ядрам Бохнера-Мартинелли. Поэтому данные теоремы служат обобщениями теоремы Гартогса-Бохнера.
В работе Г.Фолланда и Дж.Кона [23] было дано утверждение, эквивалентное представимости функции класса С°°(Г2) интегралом Бохнера-Мартинелли. В работе А.М.Аронова, А.М.Кытманова [4] рассмотрены функции класса С1^). У Л.А.Айзенберга, А.М.Кытманова [2] — непрерывные функции, а у А.В.Романова — интегрируемые [11].
В работах А.М.Кытманова, И.А.Цих [8], [19] рассмотрены вопросы одностороннего голоморфного продолжения С/?-функций в фиксированную область.
В работах Стаута [33], Росея и Стаута [30] изучены граничные значения дифференциальных уравнений. Эти граничные значения являются гиперфункциями, если на граничное поведение решений не накладывается дополнительных условий.
2. Цель диссертации
Исследование голоморфности функций, представимых интегральными формулами с неголоморфными ядрами (Бохнера-Мартинелли, Коши-Фантапье определенного вида), граничные значения этих голоморфных функций являются гиперфункциями иди распределениями.
Обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на гиперфункции и распределения, ортогональные ядрам интегральных представлений при интегрировании по целой
границе области.
3. Методика исследования
Используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнений математической физики.
4. Научная новизна
Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации следующие:
- показано, что гармонические функции (не имеющие ограничений на порядок роста вблизи границы ограниченной области), представимые в этой области 12 интегралом Бохнера-Мартинелли голоморфны в этой области;
- дано обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на случай гиперфункций и распределений, ортог ональных ядру Бохнера-Мартинелли ггри интегрировании по границе области;
- показано, что решениями однородной 9-задачи Неймана являются только голоморфные функции;
- дан критерий голоморфного продолжения функций и распределений в С2 в терминах аналога задачи с косой производной.
5. Публикации и апробация работы
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35-41], из них в соавторстве [35-36]. Теоремы 2.1, 4.1 получены в соавторстве. Остальные утверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю.
6
- Київ+380960830922