Интегро-дифференцирование комплексного порядка в гельдеровских классах

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................... 4
Глава 1. Вспомогательные сведения..........................21
§1. Классы И7, Фр и некоторые их свойства.
Вспомогательные неравенства............................21
§ 2. Сведения из гармонического анализа на сфере ......... 24
§3. Обобщенные пространства Гельдера. Некоторые
замечания о плотных множествах.........................30
Глава 2. Дробное интегро-дифференцирование комплексного порядка на отрезке....................................... 37
§ 4. Дробные интегралы и производные мнимого порядка и
их свойства............................................37
§•5. Оценки типа Зигмунда дробных интегралов мнимого порядка в обобщенных пространствах Гельдера
ВД,1],р) ..............................................40
§ 6. Оценки типа Зигмунда дробных интегралов и
производных комплексного порядка в пространстве Гельдера
ЩФЛр) .................................................50
§ 7. Теоремы о действии дробных интегралов и производных комплексного порядка в обобщенных пространствах Гельдера. Изоморфизм обобщенных гельдеровских пространств .............................................. 58
Глава 3. Операторы типа сферической свертки в обобщенных пространствах Гельдера р) 66
з
§8. Оценки типа Зигмунда для сферических операторов
типа потенциала и гипсрсинулярных интегралов порядка О ^ Не а < 1 ......................................... 66
§ 9. Мультипликаторы сферических гиперсингулярных
интегралов при комплексных порядках ...................82
5 10. Теоремы о действии сферического оператора типа
потенциала и гииерсингулярного иптеграла. Изоморфизм обобщенных гельдеровских пространств ............ 87
§11. Операторы сферической свертки со степеннологарифмическим ядром в пространстве Яи/(5,„_і,р). Теоремы о действии................................... 91
Глава 4. Неравенства типа Чебышева и их приложения ....... 103
§12. Аналоги неравенств Чебышева в случае почти
синхронных функций .................................. 103
§13. Приложение к операторам типа потенциала ............. 110
§ 14. Приложение к нелинейным интегральным уравнениям . 112
Литература ............................................... 116
4
Введение
В теории интегральных операторов одной из важных задач является задача выяснения связи между гладкостью образа интегрального оператора и его прообраза. Решение подобной задачи играет существенную роль в вопросах разрешимости интегральных уравнений, их устойчивости и др. Понятие гладкости может при этом формулироваться в самых разнообразных терминах. Один из способов, позволяющий достаточно тонко уловить гладкостпые свойства функций, использует понятие обобщенной гельдеровости, формулируемой в терминах поведения модуля непрерывности.
Основной объект исследуемый в диссертации — это операторы дробного интегро-дифференцирования на отрезке [0,1) и на сфере в IRn, комплексного порядка <г: 0 ^ Rea' < 1.
Оператор дробного интегро-дифференцирования Римапа-Лиувилля на отрезке [а, Ь] обычно задается в виде
1 } ip{t)dt. 1 d ? <p(t)dt
(“+¥,)(ж) ~т!(х-t) 1-“ “ Г(1 + a) fa / (ж - в<ж<(0’1)
где порядок а допускается положительным. Дробная производная формально может быть определена по формуле = /“+, 0 < а < 1 (если использовать правую форму в определении (0.1) дробного интеграла), но более удобна использовать ее запись в форме Марию:
/(X) а у f(x - t) - f(x)
о
а < х < b. (0.2)
mo f)(x) - № _ 7°/(«"О-ЯЛ)
(Va+J)\x) (х_а)сГ(1-а) Г(1 — а) I $+<*
В такой форме дробная производная определена при 0 < а < 1. Известно (см. [38]), что этот оператор является левым обратным к дробному интегралу /+ в рамках Ьр пространств: = (р, 1 < р < 1/а,
5
если понимать сходимость интеграла в правой части (0.2) в следующем смысле:
Вопросу о поведении операторов дробного иптегро-дифференциро-вания в пространствах функций, имеющих заданный модуль непрерывности, посвящено немало работ. Первые точные результаты здесь принадлежат Г.Х. Харди и Д.Е. Литтлвуду [49], 1928 г. Мы приводим их здесь при несколько больших офаничениях на параметры А и а в виде удобном для нас в дальнейшем (более полные формулировки можно найти в [38]). Именно в этой работе фактически были установлены следующие теоремы (см. [38], с. 56)
Теорема. Пусть <р(х) £ Нх[а,Ь\, 0 < А < 1, а > 0, а + А < 1. Тогда дробный интеграл имеет вид
где ф(х) 6 Пх а[о,&] и Ф{о,) = 0.
Эти теоремы обычно объединяют в виде единого утверждения о том,
пространство #о+аг[а,6], <х + А < 1, где нижний индекс 0 определяет подпространство функций из указанных классов, выделяемое условием <р(а) = 0. В дальнейшем этот результат Харди и Литтлвуда обобщался в самых различных направлениях: весовые пространства, переменный порядок дробного интегрирования и др. Остановимся вкратце на некоторых из них.
7“+¥> = Г(1 + а)(Ж ~ а)<> +
где ф{х) 6 Нх+ое[а,Ь\ и ф(а) = 0.
Теорема. Пусть (р(х) £ Hx[a.J)\, 0 < а- < А ^ 1. Тогда дробная производная имеет вид
что дробный интеграл изоморфно отображает пространство #(f[a, Ь] на
6
Б.С. Рубин [34], [61], обобщил эти результаты на весовой случай, доказав следующую теорему для оператора дробного интегрирования /£+ в пространствах #о([а,6],р).
Теорема. Пусть 0 < А< 1,0 < а < 1 и А 4* ос < 1. Оператор /“+ ■изоморфно отображает пространство Н$([а, Ь],р) на пространство
Яо+“(К6ЬЛ где
п
р(х) = П к - а ^ я < #1 < • • • < яп = 6 (0.3)
1Ь=1
и
0^р.1<А + 1, А + а < дц; < А + 1, & = 2,3,...,п.
Доказательство этой теоремы (как и упомяннутого классического безвесового результата Харди и Литтлвуда и других теорем такого рода) включает ограничениость операторов дробного интегрирования и дифференцирования из #о([а,6],/>) в Н$*а([а, Ь\,р) и обратно соответственно, а также представимость любой функции из Н$4'л([а, Ь], р) дробными интегралами порядка а. Заметим, что ограничения на порядок веса р\ и рп в концевых точках а и Ь могут быть ослаблены.
В работах [27]-[29], [37] (см. также монографии [38], [62]) X. М. Мур-даев и С. Г. Самко исследовали действие операторов дробного интегро-дифференцирования в обобщенных пространствах Гельдера со степенными весами р(х) = (х—а)И и р(х) = (х-аУ(Ь-х)и, 0 < // < 2, 0 < д < 2 и установили изоморфизм, осуществляемый оператором /*+ между обобщенными пространствами Гельдера Щ([а, Ь],р) и #£в([а,6],р), где иа(1;) = £ао;(г), и(1.) характеристика из класса типа Бари--Стечкина.
Карапетянц Н. К., Мурдаев X. М. и Якубов А. Я. [13]—[15] рассмотрели дробное интегро-дифференцирование в обобщенных гельдеровских пространствах, определяемых поведением интегральных модулей непрерывности, а именно, в пространствах #£([(),!]), 1 < р < ос.
7
Исследованию дробных интегралов и производных в гельдеровских и обобщенных гельдеровских классах посвящены также работы Сам-ко С. Г., Мусалаевой 3. У. [63], где рассмотрены общие веса, Карапетян-ца Н.К и Мусалаевой 3. У [16]-[19], где рассмотрено (периодическое) дробное интегро-дифференцирование по Вейлю, причем в этих работах допускается и произвольный положительный порядок у дробного интеграла.
В работах Б. Росса и С. Самко [60] и Н. Каранетянца и А. Гинзбург [21], [53] дробные интегралы рассматривались уже в пространствах гельдеровских функций с переменным порядком в определении пространства. В этих работах найдены условия на функцию, определяющую этот порядок, при которых имеют место аналоги теорем Харди и Литтлвуда..
В работах [22], [23], [52], Н.К. Карапстянц и А. Гинзбург получили локальные оценки дробных интегралов в пространствах суммируемых функций. Отметим, что имеется бурно развивающееся направление, связанное с двух-весовыми оценками интегральных операторов в весовых пространствах суммируемых функций (в частности, дробных интегралов). Поскольку наши интересы связаны с гельдсровскими классами, мы здесь лишь сошлемся на работы В. Степанова [42], [64] и обзор Е. Дынькинш Б. Осиленкер(х[11]. Более полпое представление о результатах в этом направлении и современном состоянии вопроса можно найти в монографиях В. Кокилашвили, М. Крбец [57] и И. Гспебашвили, А. Гогатишвили, В. Кокилашвили и М. Крбец [48].
Отметим, что в выше перечисленных работах порядок а дробного интеграла действительный. Комплексный порядок а дробного интегрирования впервые появился в работах Ж. Лиувилля, Б. Римана, А. Б. Лет-никова [26], 1868 г., и др. Дробные интегралы чисто мнимого порядка а = г0 (см. [38]) вводились X. Хольмгреном [50], 1868 г., X. Кобером
8
[56], 1941 г., Г. Калишем [54], 1967 г. Исследованию в Ьр операторов интегрирования чисто мнимого порядка посвящена работа М. Фишера [47], 1971 г. Обстоятельное исследование формул композиции для дробных интегралом мнимого порядка проведено в работах Э. Лава [58], [59].
Важным этапом изучения дробного интегро-дифференцирования функций из обобщенных гельдеровских пространств (ср. [27]-[29], [37], [13]~[19]) является получение оценок типа Зигмунда, т. е. оценка модуля непрерывности дробного интеграла (дробной производной) через модуль непрерывности исходной функции.
Оценка модуля непрерывности сингулярного интеграла с ядром Коши или что тоже самое с ядром Гильберта на единичной окружности для произвольной монотонной функции (р(х) впервые была дана А. Зигмундом [66], 1924 г. Полученная им оценка
где и(у?, £) — модуль непрерывности в С, хорошо известна под названием оценки Зигмупда.
Заметим, что оценки типа Зигмунда для сингулярного интеграла на замкнутом контуре в случае модулей непрерывности к-то порядка получены в работе Е.Г. Гусейнова, В. В. Салаева [10], а в случае модулей непрерывности дробного порядка в работе С. Г. Самко, А. Я. Якубова
[35]. Подробный обзор других подобных результатов для сингулярного оператора дан в [9]. Изучению действия сингулярных интегралов по Мп в обобщенных гельдеровских пространствах с весом и без веса посвящены работы АбдуллаеваС. К. [1], [2]. В многомерном случае рассматривалось поведение потенциалов Рисса (многомерных операторов дробного интегрирования, порожденных степенями Лапласиана) в обобщенных пространствах Гельдера, а также поверхностные потенциалы на сфере, см. работы В. Г. Вакулова [5]—[8], Самко С. Г. [41], также работу С. К. Аб-
9
дуллаева [3], относящуюся к операторам типа потенциала. Операторы типа потенциала чисто мнимого порядка по Мп рассмотрены в работах: Заволженский М. П., Ногин В. А. [12] и Ногин В. А. Карапетянц А.Н. [30].
Гиперсингулярные интегралы появляются как операторы, обратные _к операторам типа потенциала и представляют собой дифференциальные операторы дробного порядка. В Мп были получены оценки типа Зигмунда в работе С. Г. Самко, А. Я. Якубова [36]. Операторы типа потенциала и гиперсингулярные интегралы с большой полнотой изучены в работах [31]—[33], [36], [39], [41], [5]—[8].
Следующий интересующий нас этап в исследованиях но дробному интегро-дифференцироваиию связан с многомерным анализом и распространением результатов типа Харди-Литтлвуда на операторы типа потенциала в М" и на сфере в К”.
Операторы типа потенциала на сфере обычно задаются с помощью мультипликатора по сферическим гармоникам. Известен потенциал, ядро которою является элементарной функцией. Этот оператор, порожденный мультипликатором,
Г(т + ^ - |) Г(т+^ + |)
Ш ~ I П-1
имеет вид
(Ка<р)(х) =------------ [ ^ , Ат, а > 0,
1 1 7п-і(а)сУ
—1
х&вп-и 7«-і(<*) = 2“^Г /Г (
а ф п — 1,п + 1,... ,
(0.4)
п — 1\
2 ) 7
и является непосредственным аналогом на сфере риссова потенциала. Подробнее о таких операторах см. [40]. Павлов П. М. [33] получил обращение риссова потенциала А'а, 0 < а < 2 па сфере в виде Vа — (А4*)"1 = сЕ + где И* г— сферический гиперсингулярныЙ
10
интеграл:
(С>)(1) - ^3=0),1 0 < < 2- ' (0-5»
^п-1
и показал, что оператор Т>а является левым обратным к оператору Ка
в пространстве Ьр(8п-\) : Т>аКа(р = р, 1 ^ р < ос, где Т)а понимается ^ т^гу ^ /гг — 1 — а\ / (п — 1 + а\
Р /V
как 4- lim с = Г I ■
Вакулов Б. Г. [5]-[8] получил оценки типа Зигмунда для операторов сферической свертки положительного порядка от. Например, для сферического потенциала она имеет вид:
cj(pKaf, h) < chTjt&Mdt, 0 < р < п - I.
h
Здесь p(x) = \x - а\и, x,aeSn-1, pf Є C(5n_i) и і/= min(l,/i). Далее на основе этих оценок устанавливается изоморфизм:
(s„-0) = яйн(&-0, "ЄФ?_а+[(ф «>о.
Ka(Ht(Sn-Up)) = J7£W(S„_ьр), ш Є ФГп^нД-а+ы при а > 0, а ф 1,2,..., ос — [а] < /* < n — a -f [а].
Диссертация посвящена исследованию дробного интегродифферсн-цирования комплексного (0 < Rea < 1) и чисто мнимого порядка (Rea = 0). Оператор /"+ может быть определен и при комплексных значениях параметра а. При этом естественно возникает вопрос: на что отображается пространство #А[0,1] (или Н*[0,1]) и будет ли этот образ зависеть от Im а. Ответ на такой вопрос прозрачен, если речь вести о потенциалах, заданных в Lp(R1), 1 < р < оо, ар < 1 и перейти к рассмотрению символов. В случае дробных интегралов на отрезке такое соображение использовать не удается, хотя оно может служить косвенной подсказкой. Здесь мы покажем, что образ дробного интеграла на отрезке не зависит от Iina; при этом аналог упомянутою выше результата об изоморфизме принимает вид:
/0“+(ЯоА[0,1]) = ff0A+R*"[0,1], 0 < Rc a < 1, 0 < А + Re a < 1.