О постановке корректных граничных задач для систем уравнений в частных производных

Оглавление
Введение 4
1 Задача Дирихле для вырождающихся многомерных систем уравнений второго порядка 25
1.1 Задача Дирихле в шаре................................ 25
1.2 Задача Дирихле в области {-«(ЛСі) < хп < и;(Л?!)}.... 33
2 Первая краевая задача для вырождающейся системы двух уравнений _, 41
2.1 Краевая задача для системы с тремя параметрами....... 41
2.2 Краевая задача для системы с четырьмя параметрами ... 52
3 Задача Коши для вырождающихся систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка 58
3.1 Задача с начальными условиями для гиперболической распадающейся системы...................................... 59
3.2 Задача с начальными условиями для вырождающейся гиперболической системы второго порядка .'................ 67
Заключение 81
2
писок литературы
Введение
Теория дифференциальных уравнений в частных производных имеет очень богатую историю.
Исследования в теории дифференциальных уравнений в частных производных идут в двух направлениях. Создается общая теория дифференциальных уравнений в частных производных, т. е. для общих уравнений и граничных условий изучаются вопросы существования решений, их единственности, устойчивости и т. д. В приложениях, когда получают какую либо математическую модель того или иного явления, то из общей теории можно узнать, оправдана ли она с математической точки зрения. С другой стороны, существуют много уравнений в частных производных, описывающих те или иные физические, биологические и другие явления (например, уравнение теплопроводности и диффузии, уравнение колебаний мембраны, упругого тела, звука, уравнения гидродинамики и газовой динамики, уравнение Шредингера в квантовой механике и т. д.), решение которых надо изучать при различных граничных условиях, в том числе надо изучать различные качественные свойства этих решений.
Важным разделом теории уравнений в частных производных является теория краевых и начальной задач. В механике сплошных сред, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной
4
теории оболочек, кристаллооптике и т. д. встречаются многомерные системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые могут менять тип и вырождаться. Вырождение системы может повлечь за собой нарушение корректности постановки классических краевых и начальных задач. В этом случае оказываются коррсктпыми задачи в видоизмененной постановке. Например, задаются начальные или граничные условия с весами; берется меньшее число начальных или граничных условий, чем в классических задачах; краевые условия задаются только на части границы области, в которой рассматривается задача. Поэтому исследование типа системы и правильная постановка задач для вырождающихся систем является одним из важнейших направлений в теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Значительный вклад в развитие теории вырождающихся систем дифференциальных уравнений в частных производных внесли И.Г. Петровский, М.И. Вишик, М.В. Келдыш, A.B. Бицадзс, А.Д. Джураев, А.И. Янушаускас, P.C. Сакс и др.
Многие свойства эллиптических и гиперболических уравнений обобщаются на системы уравнений в частных производных [2], [17], [31], [37].
В ограниченной области D п- мерного евклидова пространства рассмотрим дифференциальное уравнение
где а,;(А)-непрерывные, а 6;(А), с(А) и д(Х)- ограниченные функции в замкнутой области Д А = (11,... ,х„). Уравнение (0.1) называется эллиптическим в области Д если в этой области собственные значения матрицы ||о^|| либо все положительны, либо все отрицательны [45].
5
Е
(0.1) называется вырождающимся эллиптическим уравнением в области Д если на всей границе Г области И или на некоторой части этой границы хотя бы одно из собственных значений матрицы ||йу|| обращается в нуль; соответствующая часть границы называется поверхностью вырождения [45]. Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике.
В 1937 году И.Г.Петровский выделил широкий класс систем уравнений с частными производными, которые теперь называют эллиптическими по Петровскому [37].
На решение этих систем обобщаются многие факты, справедливые для решений одного эллиптического уравнения [38], например, все достаточно гладкие решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения.
В 1948 году А.В.Бицадзе построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которой нарушалась нетеровость задачи Дирихле [11]. Эту систему можно записать в виде одного комплексного уравнения, которое теперь называют уравнением Бицадзе [30]
= 0, ы = и + IV, г = х + \у.
В вещественной форме систему А.В.Бицадзе можно записать так
-Да + 2£ (и, + а„) = 0, ^
-Дц 4- (м* + г-у) = 0.
6
Пример А.В.Бицадзс сильно стимулировал исследования по теории эллиптических систем уравнений в частных производных и показал, что такие системы необходимо более тонко классифицировать. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем не всегда нсгеровы, поэтому класс систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями.
В 1951 году такие ограничения предложил М.И.Вишик [15]. Он добавил к условию эллиптичности по Петровскому требование сильной эллиптичности, т. е. либо положительной, либо отрицательной определенности симметрической составляющей характеристической матрицы системы.
Сильно эллиптические системы в смысле разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, то есть эти задачи всегда нетеровы. На третьем Всесоюзном математическом съезде, проходившем в 1956 году в Москве, была подчеркнута важность изучения не сильно эллиптических систем и сформулирована задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем [31].
В настоящее время достаточно полно разработана теория эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными [10]. Интересные результаты в теории классических граничных задач для эллиптических уравнений второго порядка получены у Ж. Жиро [62] - [69], А.Д. Джураева [18], К. Миранда
[31] и др. С помощью представления решений через произвольные голо-
7