Содержание
1 Введение 4
2 Хеджирование в полных рынках 8
2.1 Модель Блэка и Шоулса............................................. 8
2.2 Вспомогательные результаты ...................................... 10
2.3 Дуальные характеризации в модели Блэка и Шоулса.................. 11
2.4 Структура оптимального хеджа в модели Блэка и Шоулса............. 13
2.5 Хеджирование в полных моделях финансовых рынков ................. 16
3 Хеджирование в неполных рынках 22
3.1 Модель со случайными волатильностью и процентной ставкой......... 22
3.2 Вспомогательные результаты....................................... 23
3.3 Дуальные характеризации в модели со случайными волатильностью и процентной ставкой................................................... 24
3.4 Структура минимального хеджа для модели со случайными волатильностью и процентной ставкой.......................................... 26
3.5 Хеджирование в неполных рынках .................................. 33
4 Хеджирование в финансовых моделях с ограничениями 34
4.1 Модель с разными процентными ставками и платой за лизинг акции . 34
4.2 Вспомогательные результаты....................................... 35
4.3 Дуальные характеризации в модели с разными процентными ставками
и платой за лизинг акции......................................... 38
4.4 Структура оптимального хеджа в модели с разными процентными ставками и платой за лизинг акции ....................................... 39
4.5 Хеджирование в финансовых моделях с ограничениями................ 43
5 Введение 48
6 Хеджирование в полных рынках 49
2
6.1 Оптимальный хедж в модели Блэка-Шоулса как огибающая Снелла. Дуальная мартингальная мера............................................51
6.2 Оптимальные хеджирующие стратегии для Американских опционов Азиатского типа....................................................... 53
7 Хеджирование в неполных рынках 69
7.1 Модель с разными ставками привлечения и размещения, лизингом и операционными издержками.............................................. 70
8 Введение 74
9 Оптимальное инвестирование в диффузионной модели 76
9.1 Оптимальное инвестирование без операционных издержек............. 76
9.2 Оптимальное инвестирование с операционными издержками ........... 78
3
Глгта I
Оценивание и хеджирование Европейских опционов
1 Введение
1. Классический опционный контракт на финансовый актив (например, акцию, облигацию, валюту, ...) представляет собой соглашение, при котором одна сторона (покупатель) получает право (но не обязательство!) купить (для опциона покупателя или опциона колл) или продать (для опциона продавца или опциона пут) некоторое количество единиц актива в определенный момент времени в будущем по заранее оговоренной цене. Заключение сделки по опциону предусматривает премию, которую покупатель должен заплатить продавцу.
Если обозначить Т—момент погашения опциона, Б?—цену финансового актива в момент Т и К—цену исполнения опциона, то владение опционом колл эквивалентно получению в момент погашения суммы /т = тах(5т—К, 0) = (5г — К) +. Аналогично, можно говорить, что владение опционом пут приводит к получению выплаты /т =
(АГ-5Г)+.
Вообще говоря, произвольный опционный контракт (Европейского типа) можно мыслить себе как обмен денежными платежами: в начальный момент времени Ь — 0 покупатель платит продавцу некоторую сумму С (стоимость опциона), в момент погашения /. = Т, напротив, продавец платит покупателю сумму /х, определяемую условиями контракта. В случае, когда размер выплат зависит только от стоимости актива на момент погашения: /х = д(Бт), опционы называют стандартными, в противном случае—экзотическими. Примерами стандартных опционов служат рассмотренные выше опционы покупателя и продавца, примерами экзотических опционов-так называемые Азиатские опционы, выплата которых зависит от среднего значения цены акции на временном интервале [0,Т]: /х = ^(5г,( 1/Т)/0Т 5и<£а).
Характерной чертой опционных контрактов является несимметричность прибы-
4
лей и убытков для участвующих сторон. Как правило, максимальная прибыль покупателя опциона является неограниченной, тогда как величина его максимального убытка ограничена премией, уплаченной за опцион. Напротив, максимальная прибыль продавца опциона равна премии, полученной от эмиссии опциона, в то время как его убытки неограничены.
В связи с этим возникает следующий естественный вопрос:
• Каким образом продавцу опциона застраховать себя от возможных убытков, связанных с выполнением обязательств по опциону ?
2. Рассматриваемый в дальнейшем подход к страхованию продавца опциона от потерь состоит в следующем: необходимо к данному опциону подобрать такую стратегию с потреблением (т.е. без притока капитала извне) на рынке базовых активов, чтобы ее капитал Vp на момент погашения был бы не меньше выплаты по опциону /т:
Vp > /г- (1.1)
В дальнейшем мы будем рассматривать только стратегии с неотрицательным капиталом в каждый момент времени:
Vt > 0. (1.2)
Данное ограничение позволяет исключить из рассмотрения портфели с очень высокой степенью риска, такие, например, как ’мартингальные” стратегии удвоения ставок.
Определение 1 Стратегия с потреблением, капитал которой удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2) называется хеджирующей1.
Для продавца опциона насущной задачей является минимизация издержек на хеджирование, что приводит к следующей проблеме:
• среди всех хеджирующих стратегий найти стратегию с минимальным капиталом в каждый момент времени 0 < t < Т.
хот английского слова hedge (забор)
Ниже будут приведены недавние результаты относительно структуры минимального хеджа для различных типов моделей финансового рынка.
3. Современная теория хеджирования берет свое начало в знаменитых работах Ф. Блэка и М. Шоулса [29] и Р. Мертона [66], где, в рамках модели "геометрического” броуновского движения, была описана структура минимального хеджа для стандартных опционов. Замечательной особенностью указанной модели Блэка и Шоулса является то обстоятельство, что минимальная хеджирующая стратегия произвольного опциона автоматически оказывается само финансируемой, т.е. ее потребление равно нулю. Простые экономические аргументы показывают, что в этом случае для покупателя и продавца опциона отсутствуют арбитражные, возможности (т.е. способы получить прибыль без риска), если и только если во всякий момент времени цена опциона равна капиталу минимального хеджа.
Модели финансовых рынков обладающие тем свойством, что платежная функция всякого опциона воспроизводима (replicable, attainable) в виде капитала некоторой самофинансируемой стратегии называются полными. Указанное свойство позволяет сопоставить опциону эквивалентный набор базовых активов, что чрезвычайно удобно на практике. Но этой причине практически все известные модели финансовых рынков являются полными.
В работах М. Харрисона и Д. Крепса [50], М. Харрисона и С. Плиски [511, [52], была вскрыта "мартингальная" структура свойства рынка быть полным. Именно, было показано, что модель финансового рынка является полной, если и только если существует единственная эквивалентная вероятностная мера, относительно которой дисконтированные цены активов являются локальными мартингалами. При этом, как оказалось, в основе математической теории хеджирования в полных рынках лежат два фундаментальных факта стохастического анализа: теорема об интегральном представлении мартингалов и теорема Дуба-Мсйера о разложении супермартингалов.
Типичная трудность, с которой сталкиваются при использовании модели полного рынка, состоит в необходимости точного знания входящих в модель коэффициентов. Например, для применения модели Блэка и Шоулса необходимо точное знание зна-
6
чекия краткосрочной процентной ставки в каждый момент времени в будущем, что, конечно, в принципе невозможно. Учет же стохастического характера процентной ставки приводит к тому, что модель становится неполной, т.е. минимальная хеджирующая стратегия уже не является самофинансируемой.
Одной из первых в проблематике хеджирования опционов в неполных финансовых рынках явилась работа Н. Эль Каруи и М. Кенес [42]. Здесь было показано, что общая методика хеджирования в неполных финансовых рынках требует одного нетривиального обобщения теоремы Дуба и Мейера, состоящего в возможности представления супермартингала в виде, инвариантном относительно семейства мартингальных мер. В [42] указанное опциональное разложение было получено для того случая, когда рассматриваемые процессы являются решениями стохастического дифференциального уравнения. В предположении, что цены активов локально ограничены, существование опционального разложения было доказано в работе Д.О. Крамкова [62]. В полной общности данный результат был доказан в работе X. Фельмера и К).М. Кабанова [46], см. также работы Ф. Делбаена и В. Шахермайера [36] и Д.О. Крамкова [9]. Отметим также работы С. Джека [54] и Ж. Лиселя и К. Стрикера [23]. где было получено важное обобщение теоремы об интегральном представлении мартингалов, позволяющее для моделей неполных рынков охарактеризовать достижимые (attainable) опционы, т.е. такие опционы, для которых минимальный хедж существует и является самофинансируемой стратегией 2.
К сожалению, даже модели неполных рынков являются чересчур идеалистическим приближением реальности, что приводит к необходимости введения в рассмотрение рынков с ограниченилми. Примерами ограничений могут служить взимание некоторой платы за короткую продажу акции3, наличие разницы в процентных ставках
■'Другой (не рассматриваемый здесь) подход к проблематике хеджирования в неполных рынках был развит в работах X. Фельмера и Д. Зоидермана [49], М. Швайцера [73], X. Фельмера и М. Швайиера [48], A.B. Мельникова и M.JI. Нечаева (15]. Здесь авторы предложили в качестве хеджирующих портфелей использовать стратегии самофинаисируемые в среднем. Отметим, однако, что данная методика не исключает возможности больших убытков для продавца опциона при некоторых
(пусть и достаточно маловероятных) сценариях поведения рынка.
3Короткая продажа актива состоит во взятии его взаймы и продаже. Коротко продавать актив
7
- Київ+380960830922